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1、aa函数与导数主观题专项练习12018北京卷设函数 f(x)ax2(4a1)x4a3ex. (1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a； (2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围解析：(1)因为 f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以 f(x)ax2(2a1)x2ex.所以 f(1)(1a)e.由题设知 f(1)0，即(1a)e0，解得 a1.此时 f(1)3e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.1 1 若 a ，则当 x，22 时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极
2、小值1 1若 a ，则当 x(0,2)时，x20，ax1 x10.所以 2 不是 f(x)的极小值点1综上可知，a 的取值范围是，2 .22019安徽省安庆市高三模拟已知函数 f(x)eln xax(aR) (1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 ae 时，证明：xf(x)ex2ex0.e解析：解法一 (1)f(x) a(x0)，x若 a0，则 f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增e若 a0，则当 0x0；ae当 x 时，f(x)0，所以只需证 f(x) 2e，x由(1)知，当 ae 时，f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，)上单调递减，所以 f(x) f(1)e.maxe (x1)
3、e设 g(x) 2e(x0)，则 g(x) ，x x2所以当 0x1 时，g(x)1 时，g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x) g(1)e.min所以当 x0 时，f(x)g(x)，e即 f(x) 2e，x即 xf(x)ex2ex0.解法二 (1)同解法一(2)证明：由题意知，即证 exln xex2ex2ex0(x0)，e从而等价于 ln xx2 .ex1设函数 g(x)ln xx2，则 g(x) 1.x所以当 x(0,1)时，g(x)0；当 x(1，)时，g(x)0，故 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减 从而 g(x)在(0，)上的最大值为 g(1)1.e设函数
4、 h(x) ，则 h(x)exe(x1)ex2所以当 x(0,1)时，h(x)0.故 h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增从而 h(x)在(0，)上的最小值为 h(1)1.综上，当 x0 时，g(x)h(x)，即 xf(x)ex2ex0.32019甘肃第二次诊断已知函数 f(x)2x2ax1ln x(aR)2 2x3(1) 若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2) 若 a5，求 f(x)的单调区间；(3) 若 30，所以 f(x)在0， 4 4和(1，)上单调递增1 1当 x，1时，f(x)0，所以 f(x)在，1上单调递减4 4 1 4x2ax1(3
5、)由 f(x)2x2ax1ln x 得 f(x) 4xa .x x设 h(x)4x2ax1，a216，当 3a4 时，0，有 h(x)0，即 f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增又 f(1)3a0，所以 f(x)在 x1，e上有唯一零点ax2x42019武汉调研已知函数 f(x)ln(x1) ，其中 a 为常数(x1)(1)当 10 时，求 g(x)xln1 ln(1x)的最大值 xx(x2a3)解析：(1)函数 f(x)的定义域为(1，)，f(x) ，x1.(x1)3当12a30，即 1a 时，2当1x0 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 2a3x0 时，f(x)0，即 a 时，
6、2当1x2a3 时，f(x)0，则 f(x)在(1,0)，(2a3，)上单调递增，3 xxx) 1 ln(1 x x x x 2222 2x x 2当 0x2a3 时，f(x)0，则 f(x)在(0,2a3)上单调递减3综上，当 1a 时，f(x)在(1,2a3)，(0，)上单调递增，在(2a3,0)上单调23 3递减；当 a 时，f(x)在(1，)上单调递增；当 a2 时，f(x)在(1,0)，(2a3， 2 2)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减1 1(2)g(x)x ln(1x)xlnxg ，g(x)在(0，)上的最大值等价于 g(x)在(0,1上的最大值 1 1 1 1 令 h(x
7、) g( x) (lnx1) 1 ln(1 x) 1x1 2lnx ，x 1x则 h(x) ln(1x) .x3 (x1)由(1)可知当 a2 时，f(x)在(0,1上单调递减，f(x)f(0)0，h(x)0，从而 h(x)在(0,1上单调递减，h(x)h(1)0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)g(1)2ln2，g(x)的最大值为 2ln2.52019湖北省七市教科研协作高三联考已知函数 f(x)(x1)exax2(e 是自然对 数的底数，aR)(1) 判断函数 f(x)极值点的个数，并说明理由；(2) 若 xR，f(x)exx3x，求 a 的取值范围解析：(1)f(x)的定义域为 R
8、，f(x)xex2axx(ex2a)当 a0 时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有 1 个极值点；1当 0a 时，f(x)在(，0)上单调递增， 2在(0，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增，f(x)有 2 个极值点，综上所述，当 a0 时，f(x)有 1 个极值点； 1当 a0 且 a 时，f(x)有 2 个极值点； 21当 a 时，f(x)没有极值点2(2)由 f(x)exx3x，得 xexx3ax2x0.当 x0 时，exx2ax10，exx21即 a 对 x0 恒成立xexx21设 g(x) (x0)，x(x1)(ex1)则 g(x)
9、.x2设 h(x)exx1(x0)，则 h(x)ex1.x0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，即 exx1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， g(x)g(1)e2，ae2；当 x0 时，原不等式恒成立，aR；当 x0 时，exx2ax10，设 m(x)exx2ax1(x0)， 则 m(x)ex2xa.设 (x)ex2xa(x0)，则 (x)e2m(0)1a，若 a1，则 m(x)0，m(x)在(，0)上单调递增， m(x)1，m(0)1a0，5 x 0，使得 x(x 0)时，m(x)m(0)0，不符合题意，舍去a1.综上，a 的取值范围是(，
10、e262019贵阳市普通高中高三年级摸底考试已知函数 f(x)xln xaxa(aR) (1)f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 yxt，求 a 和 t 的值；(2)对任意的 x1，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解析：(1)函数定义域为 x(0，)，f(x)ln x1a，由已知 f(1)1，则 1a1，即 a2，所以 f(1)0220，将(1,0)代入切线方程有 t1，所以 a2，t1.(2)对任意 x(1，)，f(x)0 恒成立，a即 ln x a0 恒成立，xa xa令 g(x)ln x a，有 g(x) ，x x2当 a1 时，g(x)，g(x)随 x 的变化情况为xg(x)g(x)(1，a)单调递减a0极小值(a，)单调递增由表可知 g(x) g(a)ln a1a，min1x又因为在函数 h(x)ln x1x 中，h(x) ，x所以 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以 h(x)h(1)0，a所以 g(x) g(a)h(a)1 不合题意；xa当 a1 时，g(x) 0，则 g(x)在1，)上单调递增，x2a所以 g(x)g(1)0，即对任意 x(1，)，ln x a0 恒成立，x故 a1 满足题意，综上所述，实数 a 的取值范围为(，16