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1、22222B或 2 CD22第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪 法国最杰出的数学家韦达发现的韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例 1 】
2、已知 a 、 b 是方程 x -x -1 =0的两个实数根，则代数式 a +a(b -2) 的值为 思路点拨 所求代数式为 a 、b的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例 2】如果 a 、b 都是质数，且 a -13a +m =0 ， b -13b +m =0 ，那么b a+a b的值为( )A123 125 125 12322 22 22 22或 2思路点拨可将两个等式相减，得到 a、 b的关系，由于两个等式结构相同，可视 a、 b为方程 x2-13 x +m =0 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 x 、 x 的对称
3、式，这类问题可通过变形用1 2x + x 、 x x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：1 2 1 2(1) 恰当组合；(2) 根据根的定义降次；(3) 构造对称式【例 3】 已知关于 x的方程： x -(m -2) x -m4=0(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根(2)若这个方程的两个实根 x1、 x2满足 x = x +2 ，求 m 的值及相应的 x 2 1 1、 x2思路点拨 对于(2)，先判定 x1、 x2的符号特征，并从分类讨论入手21 722【例 4】设 x1、x2是方程 2 x2-4 mx +2 m2+3m -2 =0的两个实数根，当 m 为何值
4、时，x +x1 22有最小值? 并求出这个最小值思路点拨 利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是 在一定约束条件下 0)进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满 足判别式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价 性【 例 5 】 已 知： 四 边形 ABCD 中 ， AB CD ， 且 AB 、 CD 的 长 是关 于 x x -2 mx +( m - ) + =0 的两个根2 4的 方 程(1) 当 m2 和 m2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由(2) 若 M
5、、N 分别是 AD、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P，Q，PQ1，且 ABCD， 求 AB、CD 的长 (2003 年哈尔滨市中考题)思路点拨 对于(2)，易建立含 AC、BD 及 m 的关系式，要求出 m 值，还需运用与中点相 关知识找寻 CD、AB 的另一隐含关系式注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问 题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负 性22222B2D222学历训练1 (1)已知 x 和 x 为一元二次方程 2 x -2 x +3m -1 =01 2的两个实根，并 x 和
6、x 满足不等式1 2x x1 2 x +x -41 21，则实数 m取值范围是 (2)已知关于 x的一元二次方程 8 x +( m +1) x +m -7 =0 有两个负数根，那么实数 m的取值范围是 2已知 a 、 b 是方程的两个实数根，则代数式 a3+a2b+ab2+b2的值为 3CD 是 ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x -6 x +4 =0 的两根，则ABC 的面积 是 4 设 x 、 x1 2是 关 于 x的 方 程 x +px +q =0 的 两 根 ， x1+1 、 x2+1 是 关于 x的 方 程x 2 +qx +p =0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于(
7、)A1，-3 B1，3 C-1，-3 D-1，35在 ABC 中，C90，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，a、b 是关于 x 的方程 x -7 x +c +7 =0 的两根，那么 AB 边上的中线长是( )A3 52 2C5 D26方程 x +px +1997 =0 恰有两个正整数根 x1、 x2，则p( x +1)( x +1) 1 2的值是( )A1 B-l C -1 12 27若关于 x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：x ( x +1) +x ( x +1) =( x +1)( x +1) ，1 1 2 2 1 2判断 ( a +b ) 2 4 是否正确?8已知关于 x的方
8、程 x -(2 k -3) x +k +1 =0 (1) 当 k是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根 x1、 x2满足： x + x =3 ，求 k 的值 2 19已知方程 x2+px +q =0 的两根均为正整数，且 p +q =28，那么这个方程两根为 10 已知 a 、 b 是方程 x -x -1 =0 的两个根，则 a4 +3b的值为 11 ABC 的一边长为 5，另两边长恰为方程 2 x 2 -12 x +m =0 的两根，则 m 的取值范围 是 CD22CD12 221222222212两个质数 a 、 b 恰好是整系数方程的两个根，则b a+a b的值是( )A
9、9413 B9413 9413 9413194 99 9713设方程有一个正根 x1，一个负根 x2，则以 x 、 x 1 2为根的一元二次方程为( )A x2-3 x -m -2 =0B x2+3 x -m -2 =0C x - 1 -4 m x -2 =0D x - 1 -4 m x +2 =014如果方程 ( x -1)( x2-2 x +m ) =0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数 m 的取值范围是( )A0m1 Bm3 3 3BC)的长是关于 x 方程的两个根(1)求 rn 的值；的（2）若 E 是 AB 上的一点，CFDE 于 F，求 BE 为何值时，CEF 的面积 C
10、ED 的面 积的 ，请说明理由316设 m 是不小于 -1的实数，使得关于 x的方程工 x2+2( m -2) x +m2-3m +3 =0 有两个不相等的实数根 x1、 x2(1) 若 x +x =6 ，求 m 的值1 2mx mx(2) 求 + 1 -x 1 -x122的最大值17如图，已知在ABC 中，ACB=90，过 C 作 CDAB 于 D，且 ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又关于 x 的方程 整数 m、n 的值14x -2( n -1) x +m -12 =0 两实数根的差的平方小于 192，求18 设 a、 b、 c为三个不同的实数，使得方程和 x +ax +1 =0 和 x +bx +c =0 有一个相同的实数根，并且使方程 x +x +a =0 和 x +cx +b =0 也有一个相同的实数根，试求 a +b +c 值的参考答案