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1、高三立体几何重点专题复习教案 空间的角教学目标:掌握异面直线所成角的概念和异面直线所成角的求法;2. 掌握直线与平面所成角的概念,以及直线与平面所成角的求法;3. 理角二面角及平面角的概念掌握求二面角大小的方法.4. 培养学生将空间问题转化为平面问题的化归能力.教学过程:一、 提问检查基础知识1、 两条异面直线所成角的定义？范围是多少？2、 直线与平面所成角的定义？直线与平面所成角的范围是什么？怎样求直线与平面所成的角？3、 二面角的定义？怎样定义二面角的平面角？二面角的平面角的范围？怎样确定二面角的平面角？ 二、基本技能训练讲评:在一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则
2、这两个二面角的大小关系是( ) (A)相等 (B)互补(C) 相等或互补 (D)不能确定讲评:复习二面角的有关概念,选 D三、基本方法课堂演练：1如图，在正方体 AC 中，求面对角线 A B 与对角面 BB D D1 1 1 1所成的角D1OC1A1B1DCAB解：连结 AC 与 B D 交于 O ，连结 OB ， 1 1 1 1DD AC1 1 1，B D AC1 1 1 1，AO 1平面BB D D1 1，A BO1是A B1与对角面BB D D1 1所成的角，在Rt DA BO1中，AO =112A B1，A BO =30 1说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后
3、求斜线与其射影的夹角 另外，在条件允许的情况下，用公式cosq=cosq cos1q2求线面角显得更加方便2如图， AB 平面 BCD ， BD CD ，若 AB =BC =2 BD ，求二面角 B -AC -D AE的正弦值BFCD200分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过 D 作 DE AC 于 E ，过 E 作 EF AC 交 BC 于 F ，连结 DF ，则 C 垂直于平面 DEF ， FED 为二面角 B -AC -D AC DF ，的平面角，又AB 平面BCD，AB DF，AB CD，DF 平面ABC，DF EF，DF BC，又AB CD，BD CD，CD 平面
4、ABD，CD AD，设 BD =a ，则 AB =BC =2a，在 Rt DBCD 中， SDBCD=1 1BC DF = BD CD ， DF = 2 232a，同理，Rt DACD中，15DE = a2 2， sin FED =DFDE3a= =15a2 2105，所以，二面角B -AC -D的正弦值为105四、综合能力提升1 、 已 知 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 为 直 角 梯 形 ， AB DC ， DAB=90 ,PA 底 面 ABCD ， 且1PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点。21、 证明：面 PAD面 PCD；1、 求 AC 与 PB 所成的角余弦值
5、；2、 求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。PMEANBDC分析：本小题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角的有关知识与思维能力及空间想象能力。 （1） 证明：PA面 ABCD,CDAD,由三垂线定理得：CDPD，因而，CD 与面 PAD 内 内条相交直线 AD、PD 都垂直，CD面 PAD，又 CD平面 PCD，面 PAD面 PCD。（2）解：过点 B 作 BECA，且 BE=CA，则PBE 是 AC 与 PB 所成的角连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE= 2 ，又 AB=2，所以四边形 ACBE 为正方形，由 PA面 ABCD 得：PEB=90 ,在 PEB 中，BE=
6、BE 10cos PBE =PB 52，PB=5，AC 与 PB 所成的余弦值61112(3)解：作 ANCM，垂足为 N，连结 BN，在 PAB 中，AM=MB，又 AC=CB， AMCBMC. BNCM,故ANB 为所求二面角的平面角。 CBAC，由三垂线定理，得 CBPC，在 Rt PCB 中， CM=MB ，所以 CM=AM.在等腰三角形 AMC 中,AN MC =CM2AC-( )22ACAN =32 2=5 5AB=2, cos ANB =AN 2 +BN 2 -AB 2 2=-2 AN BN 32故所求的二面角余弦值为 说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方法求解.7. 如图所示
7、,正三角形 ABC 的边长为 3，过其中心 G 作 BC 边的平行线,分别交 ABAC 于 B ,C , 将C1 1 1 1折起到B C 的位置.使点 A 在平面 BB C C 上的射影恰是线段 BC 的中点 M,求(1)二面角 A B C M 1 1 1 1 1 1 1 1 1的大小。（2）异面直线 A B 与 CC 所成角的余弦值大小。1 1 1AACCBGPMB7. 解 (1) 如图所示，连结 AM ， A G .1G 是正三角形 ABC 的中心，且 M 为 BC 的中点 A 、 G 、 M 三点共线， AM BC B C BC1 1 B C AM 与 G ，即 GM B C ， 1 1
8、 1GA B C A GM 是二面角1 1 1 1A - B C - M 的平面角1 1 1点 A 在平面 BB C C 上的射影1 1 1为 M ， A M MG ， A MG = 90 1 1在 Rt DA GM 中，由 A G = AG =1 12 GM 得 A GM = 60 ，即二面角1A - B C - M 的大 小是 60 1 1 1(2) 过 B 做 C C 的平行线交 BC 与 P ，1 1则 A B P 等于异面直线 A B 与 CC 所成的角1 1 1 1 1由 PB C C 是平行四边形得1 1B BP = C C = 1 = BP ，1 11PM = BM - BP
9、= ， A B = AB = 21 1 1A M 面 BB C C 于 M ，1 1 1 A M BC ， A MP = 90 1 1在 Rt DA GM 中，15210 0A M =AG sin 60= 1 13 3 3=2 2在Rt DA MP中，1A P 2 =A M 2 +PM 1 123 1 5 =( ) 2 +( ) 2 =2 2 2在DA B P中，由余弦定理得 1 1=cos A B P = 1 1522+12 -= 2 21 8A B 2 +B P 2 -A P 1 1 1 12 AB BP 1 1 12 A B 与CC 所成角的大小为arccos 1 1 158五.课堂小结
10、:（1） 本节我们复习了用几何方法求异面直线所成的角、直线与平面成角、二面角的平面角等几个概念，同 学们要注意这几个角的定义、范围等。（2） 在用几何方法求空间角时，要注意空间角转化为平面角求解这一转化思想。（1） 常用的解题步骤是：一作、二证、三计算学生作业1.一条直线和平面所成角为 ，那么 的取值范围是（ ）（A）（0,90） （B）0,90（C）0,180 （D）0,180答案：选 B2.从平面外一点 P 引与平面相交的直线，使 P 点与交点的距离等于 1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A）0 或 1 （B）0 或无数条（C）1 或 2 （D）0 或 1 或无数条答案：选 D3、
11、如图，在正方体 ABCD-A B C D 中，E、F 分别为棱 AB、C D 的中点，则 A B 与截面 A ECF 所成角1 1 1 1 1 1 1 1 1的正弦值为（ ）（A）3 6 1 2 2（B） （C） （D） 3 3 3 3A1DDFB1CC1讲评:复习直线与平面所成角的求法.容易证得平面 A B CA ECF,即B A C 为所求.1 1 1 1 1在B C 中,容易求解.选 B1 110 如 图 ， 设 ABC 和 DBC 所 在 的 两 个 平 面互 相 垂 直 ， 且AAB=BC=BD，CBA=DBC=1200。（1） A、D 的连线和平面 BCD 所成的角；（2） A、D 的连线和直线 BC 所成的角；AE B（3） 二面角 ABDC 的正切值；B10 答案.(1) 45 (2) 90 (3)-2DC