小学奥数经典应用题 盈亏问题(三).题库版.docx

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1、6-1-7. 盈亏问题（三）教学目标1. 熟练掌握盈亏问题的本质.2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题知识精讲盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为 “ 亏”，分配有余称 之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也 就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈 +亏) 两次分得之差 =人数或单位数(盈 -盈) 两次分得之差 =人数或单位数(亏 -亏) 两次分得之差 =人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.

2、也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换； 2.关系互换.模块一、利用条件关系转换解盈亏问题转化被分配物质【例 1】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个， 少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又已知苹果每人 分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）.苹果个数为 137-5=8

3、6（个）.桔子数为 133+4=43（个）.答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子.【答案】 13 个小朋友，苹果 86 个，桔子 43 个【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副， 余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍 各多少副？【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，如果每次分羽毛球拍 52=10（副），最后应余下 152=30（副）， 因为 14-52=4（副），分到最后还差 30 副，所以比每次分

4、10 副总共差 30+30=60（副），所以有小组： 604=15（组），乒乓球拍有：515+15=90（副），羽毛球拍 902=180（副）.6-1-7.盈亏问题（三） .题库教师版page 1 of 6( ) ( ) ( )【答案】羽毛球拍 180 副，乒乓球拍 90 副【例 2】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每 1 个苹果配 2 个梨分堆，那么梨分完时还剩 2 个苹果；如果按每 3 个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩 1 个梨.苹果和梨各有多少个?【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第

5、一种方案是 1 个苹果“搭配”2 个梨，第二种方案是 3 个苹果“搭配”5 个梨.如果将这两种方案统一为 1 个苹果“搭配” 若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1 个苹果搭配 2 个梨，缺 4 个梨；1 个苹果搭配 5/3 个梨，多 1 个梨”，此时盈亏总额为 4 +1 =5 (个)梨，两次分配数之差为2 -5 / 3 =1/ 3 (个)梨.所以有苹 果 (4 +1) (2 -5 / 3) =15 (个)，有梨 15 2 -4 =26 (个).【答案】苹果 15 个，梨 26 个【巩固】 有若干梨和苹果，如果 1 个梨和 3 个苹果分成一堆，则多 2 个梨，如果 2 个梨和 5 个

6、苹果分成一堆， 则少 2 个苹果，则梨有 个，苹果有 个。【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】2010 年，学而思杯，3 年级，第 11 题【解析】 6 -2 3 -2.5 =8 个梨， 8 -2 3 =18 个苹果【答案】梨有 8 个，苹果有 18 个【巩固】 有红球和绿球若干个，如果按每组 1 个红球 2 个绿球分组，绿球恰好够用，但剩 5 个红球；如果按 每组 3 个红球 5 个绿球分组，红球恰好够用，但剩 5 个绿球，则红球和绿球共有_个。【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】2006 年，希望杯，第四届，五年级，二试，第 14 题【解析】 设红球

7、有 a 个，绿球有 b 个。在第一种分法中，(a-5)1=b2；在第二种分法中,（b-5）5=a3。解 得：b=80,a=45.所以红球和绿球共有 80+45=125 个。【答案】 125 个【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2 个梨；如果按半个 苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 1 个苹果配 3 个梨，多 2 个梨；半个苹果配 2 个梨，即 1 个苹果配 4 个梨，剩半个苹果，即少 2 个 梨.苹果有：（2+2）（4-3）=4（个），梨有：34+2=1

8、4（个）.【答案】 14 个【巩固】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅 笔和橡皮刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生如果每堆有1 块 橡皮 2 支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有 3 块橡皮和 5 支铅笔，橡皮分完时还剩 5 支 铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 如果增加 10 支铅笔，则按1 块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3 块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支) 铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅笔分，则正好分完，可以

9、分成：15(65)=15(堆)，所以，橡皮数 为：153=45(块)，铅笔数为：15610=80(支)【答案】橡皮 45 支，铅笔 80 支【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只如果 5 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多 4 只，小 灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 126-1-7.盈亏问题（三） .题库教师版page 2 of 6只那么小白兔和小灰兔共有多少只？【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 “7 只小白兔和 3 只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12 只”说明小白兔少了 1237

10、28（只），这样原来笼子数有：（284）（75）16（个），所以小白兔有 165484（只）， 小灰兔有 16348（只），合起来有 8448132（只）【答案】 132 只【例 3】 幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖她发给每个小朋友 2 块巧克力，7 块奶糖和 8 块 水果糖发完后清点一下，水果糖还剩 15 块，而巧克力恰好是奶糖的 3 倍那么共有_ 个小朋友【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】2009 年，迎春杯，中年级组，复试题【解析】 方法一：画线段图分析，由题意知：从奶糖的 7 份中取 2 份，那么剩下的 5 份就和上面的 2 小段相等如图：那么 2 小

11、段和 5 份都看成 10 份量，那么总量就相当于 19 份量，水果糖中原有的 8 份就是现在的 16 份，则剩下的 15 块水果糖就占有 3 份，则1 份就是 5 块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16 5 =80 （块），小朋友的人数是： 80 8 =10 （人）方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1 份，则巧克力剩下 3 份，而巧克力与奶糖每人分得相差 5 块， 对应剩下的糖相差 2 份，水果糖与奶糖每人分得相差 1 块，则对应剩下的糖应相差 2 5 =0.4 份，所 以水果糖最后应剩下 1 -0.4 =0.6 份，恰是 15 块，所以 1 份对应的是 15 0.6 =25 ，所以应用盈亏

12、问题 共有 (25 -15) (8 -7) =10 （人）【答案】 10 人模块二、盈亏问题的综合运用【例 4】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是 2 元钱 5 个，结果小明少花了 4 元钱，那么小明共买了多少个球？【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 花球原价 1 元钱 2 个，白球原价 1 元钱 3 个即花球原价 10 元钱 20 个，白球原价 10 元钱 30 个那 么，同样买花球和白球各 30 个，花球要比白球多花 10 2 =5（元），共需

13、要30 2 +30 3 =25（元）现 在两种球的售价都是 2 元钱 5 个，花球和白球各买 30 个需要 (30 5) 2 2 =24 （元），说明花球和 白球各买 30 个能省下 25 -24 =1 （元）现在共省了 4 元，说明花球和白球各有 30 4 =120 （个）， 共买了 120 2 =240 （个）【答案】 240 个【例 5】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放 3 块方糖，结果共6-1-7.盈亏问题（三） .题库教师版page 3 of 6用了 1 包方糖和第 2 包中的 24 块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放 1 块方糖，最后第 3

14、包方糖 还剩下 36 块，那么每盒咖啡有多少袋？【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答【解析】 小唐喝前 2 盒咖啡，每袋放 3 块糖，相当于喝 6 盒咖啡每袋放 1 块糖；小唐喝后 3 盒咖啡，每袋放 1 块糖，所以喝后 3 盒用掉的方糖总量是前 2 盒用掉方糖量的一半 小唐喝前 2 盒咖啡一共用掉方糖一包又 24 块，喝后 3 盒咖啡用掉方糖一包差 12 块，因此一包又 24 块方糖与两包差 24 块方糖一样多，一包方糖有 (24 +24) (2 -1) =48 （块）于是喝前两盒咖啡用掉方糖 48 +24 =72 （块），每盒咖啡的袋数为： 72 3 2 =12 （袋）【答案】

15、12 袋【例 6】 巧克力每盒 9 块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了 一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还 要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答【解析】 新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的 小朋友人数是 11 的倍数增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友 分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是 9 的倍数减 1 符合这两个条件 的最小的数是 44 ，而且它刚

16、好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有 44 个小朋友，最后 有 46 个小朋友【答案】 46 个小朋友【例 7】 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本，书 不够问第二组有多少人？【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答【解析】 如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人5 本，书不够说明第一组人数少于 48 4 =12 （人），多于48 5 =9L 3 ，即 9 人；如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每

17、人 4 本， 书不够说明第二组人数少于 48 3 =16 （人），多于48 4 =12 （人）；因为已知第二组比第一组多 5 人，所以，第一组只能是 10 人，第二组 15 人【答案】 15 人【例 8】 有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到 7 张；如果每人分 8 张卡片，则 还缺少 5 张现在把所有卡片都分完，每人分到 60 张，而且还多出 4 张问：共有多少个小朋友？【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答【解析】 首先由题意，一盒卡片每人分 7 张则有剩余，每人分 8 张则少 5 张，证明总人数多于 5 个 如果一共有 7 盒卡片，则所有人每人要想分到8 7

18、 =56 （张）卡片，还缺 35 张，卡片张数比题中所 述要少如果一共有 9 盒卡片，则只要再添上 5 9 =45 （张）卡片，就能使所有人每人分到 8 9 =72 （张），人数为1(45 +4) (72 -60) =4 5 ，不满足总人数多于 5 个的要求12类似地，当卡片总盒数多于 9 时，都不满足总人数多于 5 个的要求因此卡片一共有 8 盒，添上 5 8 =40 （张）卡片，就能使所有人每人分到8 8 =64 （张），所以总人 数为： (40 +4) (64 -60) =11 （人）6-1-7.盈亏问题（三） .题库教师版page 4 of 6(二解) 60 7 =8L 4 ， 60

19、8 =7 L 4 ，说明卡片的盒数是 8 盒，“若都分 8 张则还缺少 5 张”，即如果 我们在每盒中加 5 张（8 盒共加 40 张），每人就可以得到 8 8 =64 （张），现在实际每人得到 60 张， 即每人需要退出 4 张，其中要有 4 张是每人 60 张后多下来的，还有 40 张是我们一开始借来的要还 出去，即要退出 44 张， 44 4 =11 （人），说明有 11 人【答案】 11 个小朋友【例 9】 一班和二班的学生一起出去划船，要求一班和二班的学生不能坐同一艘船，但每船都按要求尽量坐 满，如果 7 人一船，则共需 15 船；如果要求 8 人一船，则恰好全部坐满；如果要求 10

20、 人一船，则 一班比二班多 3 船，那么一班和二班分别有_、_人.【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】2010 年，学而思杯，5 年级，第 13 题【解析】 8 人一船，则恰好全部坐满，那么两班人数都是 8 的倍数；10 人一船，则一班比二班多 3 船，说明 一班比二班人多. 7 人一船，肯定也是一班船多，多的数目也是 3 左右. 由于两班船和是 15，是奇数， 所以差也应该是奇数. 下面我们按照差分别是 1，3，5 分别讨论.发现在船数差 3 和差 5 的时候，会出现 10 人每船时差 3 的情况，但是第一种一班人数没有 8 的倍数， 所以取第二种情况，一班 64 人，二

21、班 32 人.【答案】一班 64 人，二班 32 人.【例 10】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多 4 人，乙班比丙班多 4 人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班 每个小孩少分 3 个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5 个枣，结果甲班比乙班共多分3 个枣，乙 班比丙班总共多分 5 个枣问：三个班总共分了多少个枣？【考点】盈亏问题 【难度】6 星 【题型】解答【解析】 设丙班有 x 个小孩，那么乙班就有（x +4）个小孩，甲班有（x +8）个小孩乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣，那么 x 个小孩就少分 5 x 个枣，而乙班比丙班总共多分 5 个 枣，所以多出来的那 4 个小孩分了（5x

22、 +5）个枣同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分 3 个枣，那么（x +4）个小孩就少分（3x +12）个枣，而 甲班比乙班总共多分 3 个枣，所以多出来的那 4 个小孩分了 3x +12 +3 =3 x +15 个枣甲 班 每 个 小 孩 比 乙 班 每 个 小 孩 少 分 3 个 枣 ， 4 个 小 孩 就 少 3 4 =12 个 枣 ， 因 此 我 们 得 到 ： 5 x +5 =3 x +15 +12 ，解得 x =11 所以，丙班有 11 个小朋友，乙班有 15 个小朋友，甲班有 19 个小朋友；甲班每人分 12 个枣，乙班每 人分 15 个枣，丙班每人分 20 个枣共分了 1

23、2 19 +15 15 +20 11 =673 （个）枣【答案】 673 个【例 11】动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了 10 箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只 狒狒多分 1 根，每只猴子比每只猩猩多分 1 根。分完后，只剩下 2 根香蕉。如果每箱香蕉数量相6-1-7.盈亏问题（三） .题库教师版page 5 of 6同，都是 40 多个，而且猴子比狒狒多 6 只，猩猩 16 只。那么，动物园里有_只猴 子。A. 18 B. 19 C. 20 D. 17【考点】盈亏问题 【难度】6 星 【题型】选择【关键词】2006 年，迎春杯，中年级组，复试，8 题【解析】 B ，由题意知

24、，共吃了香蕉 400 500 根，且个位数是 8 。设有猴子 n 只，则有狒狒 (n-6)只。因为 猩猩的数量介于猴子与狒狒之间，所以 17 n 21 。再设每只猴子吃了 a 根香蕉，则每只猩猩吃了 (a-1)根，每只狒狒吃了(a-2)根。共吃香蕉an +(a-1)16+(a-2)(n-6)=an +16a -16 +an -2n -6a +12=2an +10a -2n -4=2a(n+5)-2n -4=X 。 X 的个位数是 8，且 17 n 21若 n =17 ，则 X =44a -38 。 a 的个位只能是 4 或 9 ，不满足 400 X 500 ；若 n =18 ，则 X =46a -40 。 a 的个位只能是 3 或 8 ，不满足 400 X 500 ；若 n =19 ，则 X =48a -42 。 a 的个位只能是 0 或 5 ，当 a =10 时， X =438 ，符合题意； 同理， n =20 或 21 都不符合题意。所以有猴子 19 只。【答案】 196-1-7.盈亏问题（三） .题库教师版page 6 of 6