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1、数列讲义数列求和的方法数列求和的方法一、公式法来源:1自然数方幂和公 式： 1 +2 +3 +n=n(n+1)212+22+32+n21= n ( n +1)(2n +1) 613+23+33+n31= n(n +1)2 2【例题 1】设数列a n的前 n 项和S =2 a -a ，且 a , a +1, a n n 1 1 2 3成等差数列.（1）求数列a n的通项公式；（2）记数列1an的前 n 项和 T ，求得 n| T -1| n11000成立的 n 的最小值.【变式训练】已知等差数列a满足 na3=2，前 3 项和S3=92.()求an的通项公式，()设等比数列bn满足b = a ，
2、 b = a ，求 b1 1 4 15 n前n 项和 T .n二、分组法类型一、等比数列+等差数列混合求和：【例题 2】已知数列a 是 321,6221,9231,12241，写出数列a 的通n n项公式并求其前 n 项和 S .n- 1 - 数列讲义数列求和的方法【变式训练】已知数列a 的通项公式为 a =2n(nN*)，数列b 是以函数n n n 1 y =4sin 2 p x + -1 2 前 n 项和 S .n的最小正周期为首项，以 3 为公比的等比数列，求数列a - b 的n n类型二、奇数项和偶数项分别求和：【例题 3】已知数列a 满足 a 1，a a 2n(nN*)，则 S =n
3、 1 n1 n 2 012。+3,( n N * )=3S -S【变式训练】【2015 高考湖南，文 19】（本小题满分 13 分）设数列 a =1, a =2 ，且 a已知，1 2nn +1n +1a n的前n项和为Sn，（I）证明：an +2=3an；（II）求Sn.类型三、正数项和负数项分别求和后再求和：【例题 4】在公差为 d 的等差数列 a 中，已知 a 10，且 a 2a 2,5a 成等比数列n 1 1, 2 3()求 d，a ；n（）若 d0(nN )，公比 q(0,1) ，且 a a 2a a a a 100，n n 3 5 4 6 3 9又 4 是 a 与 a 的等比中项4
4、6（）求数列a 的通项公式；n（）设 b log a ，求数列|b |的前 n 项和 S .n 2 n n n- 2 -xx数列讲义数列求和的方法n2 当n为奇数时 ，【例题 5】已知函数 f(n)n2 当n为偶数时 ，a a 等于3 100且 a f(n)f(n1)，则 a a n 1 2A0B100C100D10 200类型四、特定项的和结合后再求和、倒序相加法：【例题 6】设 f(x)4 1 2 2 014，若 Sf( )f( )f( )，则 S_.来 4 2 2 015 2 015 2 015【变式训练】数列a 满足 a (1)na 2n1，则a 的前 60 项和为_ _n n1 n
5、n三、裂项相消法常用的裂项公式：1 1 1= - n( n +1) n n +11 1 1 1= ( - )(2 n -1)(2n +1) 2 2n -1 2 n +1a =n1 n +1 + n= n -1 - na =a +( a -a ) +( a -a ) +(a-a n 1 2 1 3 2 nn -1)【例题 7】已知数列an是递增的等比数列，且a1+a =9, a a =8.4 2 3（）求数列an的通项公式；（）设Sn为数列a的前n 项和， nb =nan +1S Sn n +1，求数列b的前n 项和 nTn.【变式训练】数列a 满足 a =1 ，且 a n 1n +1-a =n
6、 +1 n（ n N*），则数列1an的前 10项和为四、错位相减法若数列a n是等差数列，数列b n是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列a b n n，当求数列的前 n 项和时，常常采用将a b n n各项乘以b n的公比 q，并向- 3 -bannnnn后错一项与原a b n n数列讲义数列求和的方法的同次项对应相减的方法 . 错位 相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 注意 1 要考虑 当公比 q 减时要注意末项.为 1 时为特殊情况 ， 错位相【例题 8】已知数列a 满足 a nn +2=qa ( q为实数，且 q 1)，n N *, a =1, a
7、 =2n 1 2，且a +a , a +a , a +a 2 3 3 4 4 5成等差数列.(I)求q 的值和a n的通项公式；(II)设b =nlog a2 2 n , n N a2 n -1*，求数列 n的前n项和.【变式训练】设等差数列a 的公差为 d，前 n 项和为 S ，等比数列 b 的公比为 q已知n n nb =a ， b =2 ， q =d ， S =100 1 1 2 10（）求数列 a ， b 的通项公式；n n（）当 d 1 时，记 c = n ，求数列 c 的前 n 项和 T bn【课时作业】1. 已知等 差数列a 的前 n 项和为 S ，a 5，S 15，则数列n n
8、 5 51a an n +1的前 100 项和为( )100A.101B.99 99C.101 100101D.1001 1 2 1 2 3 1 2 3 9 12.已知数列a ： ， ， ， ，若 b ，那么2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 a an n1数列b 的前 n 项和 S 为 ( )n nA.nn14nB.n13nC.n1D.5nn13.数列 a nn1 9，其前 n 项之和为 ，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn n1 10- 4 -n nn nn1nnn24n数列讲义数列求和的方法0 在 y 轴上的截距为( )A10 B9C10 D94. 已知函数 f(x)x
9、22bx 过(1,2)点，若数列1f ( n )的前 n 项和为 S ，则S 的值为( )n 2 0142 012 2 010 2 014 2 014A. B. C. D.2 011 2 011 2 013 2 0155.设B C 的三边长分别为 a 、b 、c ，B C 的面积为 S ， n1,2,3，若 b c ，bn n n n n n n n n n 1 1 1c 2a ，a a ，b 1 1 n1 n n1AS 为递减数列nc a b a，c ，则2 2BS 为递增数列 nCS2n1为递增数列，S 为递减数列2nDS 为递减数列，S 为递增数列 2n1 2n6. 已知数列a n的前n
10、项和S =1 -5 +9 -13 +(-1)n-1(4n-3) n，则S=2014.17设 S 为数列a 的前 n 项和，S (1)na ，nN ，则：n n ()a _；（）S S S _.3 1 2 1008.等差数列a n的前 n 项和为Sn，已知a =101，a2为整数，且S Sn4.（I）求a n的通项公式；（II）设b =n1a an n +1，求数列b n的前 n 项和Tn.9. 直线 l ：yx 2n与圆 C ：x2y2n n2a n 交于不同的两点 A ，B ，nN .数列a 满n n n n1足：a 1，a |A B |2. 1 n1 n n()求数列a 的通项公式；n2n1 n为奇数 ，（）若 b an n为偶数 ，求数列b 的前 n 项和 T . n n10.在数列an( n N *)中，其前n项和为Sn，满足2 S =n -n n2.（）求数列an的通项公式;- 5 -an2数列讲义数列求和的方法（）设n2 n, n =2 k -1 b = 1, n =2 kn +2 n（k为正整数）,求数列b的前 n2 n项和T2 n.- 6 -