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1、换元法教学目标对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简例题精讲【例 1】 计算： (1+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ) ( + + ) -(1+ + + )
2、( + )2 4 2 4 6 2 4 6 2 4【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【解析】 令 1 +1 1 1 1 1 1+ + =a ， + + =b ，则： 2 4 6 2 4 6【答案】1 1 原式 =( a - ) b -a (b - )6 61 1=ab - b -ab + a 6 61 1 1 = ( a -b ) = 1 =6 6 616【巩固】 (1+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ) ( + + + ) -(1+ + + + ) ( + + )2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4【考点】换元法 【难度】2 星 【题
3、型】计算【解析】 设 a =1 1 1 1 1 1 + + ，则原式化简为：(1+a)(a+ )-a (1+a + )=2 3 4 5 5 51【答案】51-3-5.换元法 .题库教师版page 1 of 6 -621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 【巩固】 计算： + + + + - + + + +126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【解析】 令621 739 458 739 458+ + =a ； + =b ， 126 358 9
4、47 358 947 378 378 原式 =a b + - a + b = 207 207 (a-b)378 621 378 = =9207 126 207【答案】 9【巩固】 计算：( 0.1 +0.21 +0.321 +0.4321 ) ( 0.21 +0.321 +0.4321 +0.54321 ) -( 0.1 +0.21 +0.321 +0.4321 +0.54321 ) ( 0.21 +0.321 +0.4321 )【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【解析】 设 x =0.21 +0.321 +0.4321 ， y =0.21 +0.321 +0.4321 +0.543
5、21 ，原式 =( 0.1 +x ) y -( 0.1 +y ) x =0.1 ( y -x ) =0.054321【答案】 0.054321【巩固】 计算下面的算式( 7.88 +6.77 +5.66 ) ( 9.31 +10.98 +10 ) -( 7.88 +6.77 +5.66 +10 ) ( 9.31 +10.98 )【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【关键词】2007 年，希望杯，2 试【解析】 换 元 的 思 想 即 “ 打 包 ” ， 令 a =7 . 8 +8 6 +. 7 ，7 b =9.31 +10.98 ， 则 原 式 =a ( b +10 ) -( a +1
6、0 ) b =( ab +10a ) -( ab +10b ) =ab +10a -ab -10b =10 ( a -b )=10 ( 7.88 +6.77 +5.66 -9.31 -10.98 ) =10 0.02 =0.2【答案】 0.2【巩固】 (1 +0.12 +0.23) (0.12 +0.23 +0.34) -(1+0.12 +0.23 +0.34) (0.12 +0.23) = 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【关键词】2008 年，希望杯，第六届，六年级，二试【解析】 设 0.12 +0.23 =a ， 0.12 +0.23 +0.34 =b原式 =(1+a)b-(
7、1+b)a=b-a=0.34_ 。【答案】 0.34【巩固】 计算： ( 1 +0.45 +0.56 ) ( 0.45 +0.56 +0.67 ) -( 1 +0.45 +0.56 +0.67 ) ( 0.45 +0.56 )621 739 458+ +126 358 947 739 458 378+ +358 947 207 621 739 458 378+ + +126 358 947 207 739 458+358 947【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算1-3-5.换元法 .题库教师版page 2 of 6 5 7 3 7 3 4 5 7 3 4 7 3 4 4 【关键词】迎
8、春杯【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 a =0.45 +0.56 ， b =0.45 +0.56 +0.67 ， 有原式 =( 1 +a ) b -( 1 +b ) a =b +ab -a -ab =b -a =0.67621 739 458 739 458 设 a = + + ， b = +126 358 947 358 947 378 378 原式 =a b + - a + b =( a -b ) 207 207 378 621 378= =9207 126 207【答案】 0.67 9【巩固】 计算： ( + + ) + + - + + + + =12 32 1
9、7 32 17 13 12 32 17 13 32 17 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【关键词】2007 年，第五届，走美杯，初赛，六年级。【解析】 设5【答案】39a =5 7 3 7 3+ + 、 b = + ，则有 12 32 17 32 17原式 =a b + - a + b 13 13 4 4 4= a - b = ( a -b ) 13 13 134 5 5= =13 12 39 1【例 2】 计算： 1 + + 2+1 1 1 + +2007 2 3+12008 1- 1 + + 2+1 1 1 + +2008 2 3+12007【考点】换元法 【难度】3 星 【
10、题型】计算【解析】 令 a =1 1+ +2 3+1 1 1 ， b = + +2007 2 3+12008，1原式 =(1+a)b-(1+b)a=b+ab-a-ab=b-a=20081【答案】20081 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 + + + + + + - + + + + + +11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算1 1 1 1 1 1 1【解析】 设+ + + =a ， + + =b ，11 21 31 41 21 31 41 1 1 原式 =
11、a b + - a + b 51 51 1 1=ab +a -ab - b51 511 1 1 1( a -b ) = =51 51 11 5611-3-5.换元法 .题库教师版page 3 of 6 ( ) 2 【答案】15611 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1【巩固】 计算（ + + + ）( + + + ) -（ + + + + ) ( + + )5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【关键词】2008 年，清华附中1 1 1 1 1 1 1【解析】 设 + + + =A ， +
12、+ =B ，5 7 9 11 7 9 11 1 1 原式 =A B + - A + B 13 13 =A B +1 1 A -A B - B13 13=1 1 1 1 A -B = =13 13 5 65【答案】165 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1【巩固】 计算 1 + + + + + + + + - 1 + + + + + + + + 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算【解析】 设 1 +1 1 1 1 1 1 1 1 + + + =A ， + + + =B2 3 4 5
13、 2 3 4 5【答案】 1 1 1 1 1 1 1 1 原式 = A B + - A + B = A B + A -A B - B = A - B = ( A -B ) = 6 6 6 6 6 6 6 616【例 3】 计算：1 2 3+ + +2 3 49 1 2 3 + + + + +10 2 3 4+910 1 1 2 - 1 + + + 2 2 3+910 2 3 + + 3 4+910【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯【解析】 设 t =1 2 3+ + +2 3 4+910，则有 t21 1 +t -(1 +t ) t - =t2 2 21 + t -
14、 t2 2t 1 +t - - =2 2 12【答案】【例 4】 计算2 +3 +14 +11+112009+1 +1 +3 +114 +11+112009【考点】换元法 【难度】4 星 【题型】计算1-3-5.换元法 .题库教师版page 4 of 61 +22 2 22 2 2 222【解析】 设 N =3 +4 +1+112009. 原式=11 +1N+1 +111 +1N=1 1 N N +1+ = + =1 . 2 N +1 N 2 N +1 2 N +1N N +1【答案】 18 11 8 11 8 11 1 1 【例 5】 计算： + - + 1 + + -11 8 11 8 1
15、1 8 8 11 【考点】换元法 【难度】3 星 【题型】计算8【解析】 (法一)设 x = ，则原式 =118 11(法二)设 x = + ，那么 x11 821 1x 2 + -x -x 2 x=88 1 1 11 +x + x -2 + x x 8882 112 82 112 = + +2 ，所以 + =x112 82 112 822-2 1 1 1 1 2 811 8 11 1 1 1 而 - = + - = + -2 = x + -2 8 11 8 11 8 11 8 11 88 x 88这样原式转化为x2 -x -2 (1+x)(x-2)x2 -x -2 =1 x 2 -x -2
16、8888 =88 在这里需要老师对于(a+b)(c+d)=(a+b)c +(a+b)d =ac +bc +ad +bd 的计算进行简单的说明.【答案】 88【例 6】 计算：2010 2 2009 2011 +1【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 设 a =2009,（a +1)2 a 2 +2 a +1原式 = = =1（aa +2）+1 a 2 +2 a +1【答案】 1【巩固】 计算2008 +2009 2007 2008 2009 -1（4 级）【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 设 a =2008a +( a +1)(a -1) 原式 =a( a +1) -1 a +a 2 -1=a +a 2 -1=1【答案】 11-3-5.换元法 .题库教师版page 5 of 61-3-5.换元法 .题库教师版page 6 of 6