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1、第十二章一、基础知识：（一）随机抽样：第 95 炼 高中涉及的统计学知识第 95 炼 高中涉及的统计学知识其它高考考点1、抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到容量为n的样本2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤： （1）先将总体的 N 个个体编号（2）确定分段间隔 k ，设样本容量为 n ，若N N 为整数，则 k =n n（3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k，例如：第 2 段所确定的个体编号为l +k，第m段所确定的个体
2、编号为l +(m-1)k，直至完成样本注：（1）若Nn不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被 n 整除，再进行系统抽样。例如 501 名学生所抽取的样本容量为 10，则先随机抽去 1 个，剩下的500个个体参加系统抽样（2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到 （二）频率分布直方图：1、频数与频率（1） 频数：指一组数据中个别数
3、据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的 数据的个数.（2） 频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数（3） 各试验结果的频率之和等于 12、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布 表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出（1） 极差：一组数据中最大值与最小值的差（2） 组距：将一组数据平均分成若干组（通常 5-12 组），则组内数据的极差称为组距，所2第十二章第 95 炼 高中涉及的统计学知识其它高考考点以有组距=极差/组数（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图 （4）在频率分布直
4、方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距”（5）频率分布直方图的特点： 频率=频率组距组距，即分布图中每个小矩形的面积 因为各试验结果的频率之和等于 1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和 为 1（三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。并按末位数之前的数位进行 分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次（四）统计数据中的数字特征：1、 众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数2、 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数 为奇数个，则为中间的数；若数
5、据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均值。3、平均数：代表一组数据的平均水平，记为x，设一组数据为：x , x , , x 1 2n，则有：x +x +x = 1 2n+xn4、方差：代表数据分布的分散程度，记为 s ，设一组数据为：x , x ,1 2, xn，其平均数为 x ，则有：s 2 =1n (x-x)2+(x-x)2 1 2+(x-x)2 n，其中s 2越小，说明数据越集中5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根 二、典型例题例 1：某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了
6、60人，则高中部共有学生_人思 路 ： 分 层 抽 样 即 按 比 例 抽 样 ， 由 高 一 年 级 和 高 二 年 级 的 人 数 可 得 高 三 人 数 为185 -75 -60 =50人，所以抽样比为50 1 1= ，从而总人数为185 =3700 1000 20 20人答案：3700例 2：某企业三月中旬生产，ABC 三种产品共 3000 件，根据分层抽样的结果；企业统计第十二章第 95 炼 高中涉及的统计学知识员制作了如下的统计表格：产品类别 A B 产品数量（件）1300样本容量（件）130C其它高考考点由于不小心，表格中 AC 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产
7、品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是件思路：由B产品可得抽样比为130 1=1300 10，所以若 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10 ， 则 A 产品的数量 比 C 产品的数量多10 110=100 ，且 A, C 产 品数量和 为3000 -1300 =1700，从而可解得C产品的数量为800答案：800例 3：某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100 根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 根中_根棉花纤维的长度小于 15mm思 路 ： 由 频 率 直 方
8、图 的 横 纵 轴 可 得 ： 组 距 为 5mm ， 所 以 小 于 15mm 的 频 率 为(0.01 +0.01)5=0.1，所以小于 15mm 共有100 0.1=10根答案：10例 4：某班甲、乙两位同学升入高中以来的 5 次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这 5次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学这 5 次成绩的平均数都是 84，成绩比较稳 定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）(第十二章第 95 炼 高中涉及的统计学知识其它高考考点思路：由茎叶图可读出，乙同学的成绩为79,80,82,88,91，甲同学的成绩为81,82,83,84,91，所以乙同学的成绩的中位数为82，相比较而
9、言，甲同学的成绩比较集中，所以比较稳定的是甲答案： 82 ，甲小炼有话说：在求中位数时要注意先将数据从小到大排列，判断成绩稳定，本题甲，乙稳定性的判断定量上要依靠方差，但因为本题从茎叶图上看出甲，乙数据稳定性差距较大，所以 定性的判断。例 6：某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取 100 名学生，将其数学成绩分成五段： 50,70 ),70,90),90,110),110,130)，130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批 学生中成绩不低于 90 分的人数是_思路：90,100)的高度未知，但由于直方图体现的是全部样本的情况，所以各部分频率和为 1，可以考虑间接法。从图中可观察
10、到 50,90 的频率为(0.0025 +0.0150)20=0.35，所以不低于 90 分的频率为1 -0.35 =0.65，故人数为100 0.65 =65（人）答案：65第十二章第 95 炼 高中涉及的统计学知识其它高考考点例 7：从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频 率分布直方图所示（1）直方图中x的值为_；（2）在这些用户中,用电量落在区间100,250)内的户数为_思路：（ 1 ）依题意可得频率直方图中的频率和等于 1 ，由图可得组距为50，所以有(0.0024 +0.0036 +0.0060 +x +0.0024 +0.00
11、12 )50=1，解得 x =0.0044（户）（ 2 ） 图 中 100,250 )的频率 为 100 0.7 =70(0.0036 + 0.006+0.0044) =50 ，0.7所以 用 户 数 为答案：（1）x =0.0044（2） 70 户例 7：某校 1000 名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于 a 即为优秀，如果优秀的人数为 175 人，则a的估计值是_思路：可先从频率直方图中按分数从高到低统计分数段的人数，组距为10 ，从而可得：(140,150的人数为1000 (0.0110)=100，同理可得 (130,140的人数为150 人，而优秀的人数为175人，所以
12、应包含(140,150的全体，以及(130,140中的一半人数，所以估计值为130到140的中间值，即135答案：a 135第十二章第 95 炼 高中涉及的统计学知识其它高考考点例 8：某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h）,随机选择了n位中学生进行调查,根据所得数据，画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2个、第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列，又第一小组的频数是 10，则 _.n =思路：设第一个的面积为S =a1，则第 4 个为S =a +0.1 4，第 2 个为S =a +0.2 2，第 3个为S =a +0.3 3，
13、依题意可得四部分的频率和为1，从而S +S +S +S =1 1 2 3 4可解得a =0.1 ，所以 S =0.1 ，从而 n =1100答案：100.1=100例 9：某单位有职工 200 名，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，196200 号）. 若第 5 组抽出的号码为 22，则第 10 组抽出的号码应是_思路：由系统抽样可知，每组抽出的号码依次成等差数列，且公差为组距d =5，所以a =225，则a =a +5d =22 +25 =47 10 5答案：47例 10：某单位有 840 名职工，现采用系统抽样抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1，2， 840 随机编号， 则抽取的 42 人中， 编号落入区间 61,120的人数为 思 路 ： 由 系 统 抽 样 可 知 ： 组 距 为84042=20， 所 以 区 间61,120可 拆 分 为61,80),81,100),101,120)，而每个区间只有一人被抽取，所以共有 3 人答案：3