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1、基础保分练 1.平行六面体 ABCDA B C D 中，向量AB，AD，AA 两两的夹角均为 60，且|AB|1，|AD|1 1 1 1 1 2，| AA |3，则|AC |等于( )1 1A.5 B.6 C.4 D.82.在正方体 ABCDA B C D 中，E 是 C D 的中点，则异面直线 DE 与 AC 所成的角的余弦1 1 1 1 1 1值为( )1 10 10 1A. B. C. D.20 10 10 203.在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n(2，2,1)，已知点 P(1,3,2)， 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )A.4 B.2 C
2、.3 D.14.(2019 绍兴一中模拟)设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCDA B C D 的棱 AD 的中点，点 P1 1 1 1在平面 BCC B 所在的平面内，若平面 D PM 分别与平面 ABCD 和平面 BCC B 所成的锐二面 1 1 1 1 1角相等，则点 P 到点 C 的最短距离是( )12 5 2 6A. B. C.1 D.5 2 35.平面 的一个法向量为 n(1， 3，0)，则 y 轴与平面 所成的角的大小为( ) 5A. B. C. D.6 3 4 66.如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB 60，则 OA 与
3、 BC 的夹角的余弦值为( )3 2A.532 2C.53 2B.52 2D.5 17.已知正方体 ABCDA B C D 的棱长为 a，点 M 在 AC 上，且AM MC ，N 为 B B 的中1 1 1 1 1 2 1 1点，则| MN |为( )3 3A.21 6 15 15 a B. a C. a D. a6 6 6 38.P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在 ， 平面上引射线 PM，PN，如果BPMBPN 45，MPN60，那么二面角 AB 的大小为( )A.60 B.70 C.80 D.909.如图所示，正三棱柱 ABCA B C 的各棱长(包括底面边长)都是 2，E，F 分别是
4、 AB，A C1 1 1 1 1的中点，则 EF 与侧棱 C C 所成角的余弦值是_.1 10.如图所示，已知空间四边形 OABC 中 OBOC，且AOBAOC ，则 cosOA，BC3的值为_.能力提升练1.已知三棱柱 ABCA B C 的侧棱长与底面边长都相等，A 在底面 ABC 内的射影为ABC1 1 1 1的中心，则 AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )11 2 3 2A. B. C. D.3 3 3 32.(2019 浙江名校联盟联考)在平面 内，已知 ABBC，过直线 AB，BC 分别作平面 ， 使锐二面角 AB 为 ，锐二面角 BC 为 ，则平面 与平面 所成的锐二面角
5、的余 弦值为( )1 3 1 3A. B. C. D.4 4 2 43.(2019 金华一中模拟)已知点 P 是正方体 ABCDA B C D 表面上一动点，且满足 PA2PB，1 1 1 1设 PD 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 的最大值为( )11 A. B. C. D.4 3 6 24.过正方形 ABCD 的顶点 A，引 PA平面 ABCD.若 PABA，则平面 ABP 和平面 CDP 所成 二面角的大小是( )A.30 B.45 C.60 D.905.如图，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD90，且 PAAD2，E，F 分别 是线段 PA，CD 的中点，则异面
6、直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为_.6.如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC3，CD1，AD 5，ADC90，沿直线 AC 将ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是_.答案精析基础保分练2 51A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7A 8.D 9.510.0能力提升练1B 设 A 在底面 ABC 内的射影为 O，过 O 作 OHBC 交 AB 于点 H，以 O 为坐标原点，1 分别以OA，OH，OA 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)1设ABC 的边长为 1， 3则 A3 3 1 6 ，0，0 ，B ， ，2 2 3，
7、 5 3 1 6AB ， ， ，1 6 2 3平面 ABC 的法向量 n(0,0,1)，则 AB 与底面 ABC 所成角 的正弦值 sin |cosAB ，n|1 1 ，2222 2 2 22 23313 3 3 DP 463 2 .75 1 6 336 4 92A 由题意以平面 为底面，以平面 ， 为两相邻的侧面构造正四棱锥 EABCD，设正四棱锥的底面边长为 2，以点 B 为坐标原点，以 AB，BC 所在直线，过点 B 垂直于平面 的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题意易得 B(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)， E(1,1， 3)，则BA(2,0
8、,0)，BC(0,2,0)，BE(1,1， 3)，BA m2x0，设平面 的法向量为 m(x，y，z)，则有BE mxy 3z0，令 z1，得平面 的一个法向量为 m(0， 3，1)，同理可得平面 的一个法向量为 n( 3，0，1)，则平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为|cosm，n|m n | 1 1 |m|n| 22 4故选 A.3A 以 B 为坐标原点，BC，BA，BB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空1间直角坐标系，设正方体的边长为 2，P(x，y，z)，则 A(0,2,0)，因为 PA2PB，所以(x0)(y2)(z0)22 16 2 4x y z ，即 x
9、y z ，所以点 P 的轨迹为以点 Q 0， ，0 为球心， 为9 3半径的球与正方体表面的交线，即为如图的 EMG ， GSF ， ENF ，要使得 PD 与底面 ABCD1所成的角最大，则 PD 与底面 ABCD 的交点到点 D 的距离最短，从而点 P 在 ENF 上，且在14 10 4 DD QD 上，则 DPDQ 2，此时，tan 1，所以 的最大值为 ，故选 A. 4B 建立如图所示的空间直角坐标系，1 2 设 AB1，易得平面 APB 的一个法向量为 n (0,1,0)，平面 PCD 的一个法向量为 n (0,1,1)，1 2|n n | 2故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面
10、角的余弦值为 ，|n |n | 21 2故所求二面角的大小是 45.5.36解析 以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间 直角坐标系 Axyz，则 E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0) EF(1,2，1)，BD(2,2,0)， 2 3故 cosEF，BD .4 3 66.66解析 设直线 AC 与 BD所成角为 ，平面 ACD 翻折的角度为 ，设 O 是 AC 中点，由已知 得 AC 6，如图，以 OB 为 x 轴，OA 为 y 轴，过 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由 A 0，6 30 6 ，0 ，B ，0，0 ，C 0， ，0 ，2 2 226 3 662 3 6 CD 1 6作 DHAC 于 H，翻折过程中，DH 始终与 AC 垂直，CH ，CA 6 6则 OH6 1 5 30 ，DH ，3 6 6因此可设 D 30 6 30 cos ， ， sin ， 30 30 6 30 则BD cos ， ， sin ，与CA平行的单位向量为 n(0,1,0)，所以 cos |cosBD，n|6BD n 3 ，|BD| |n| 95cos 所以 cos 1 时，cos 取最大值66.