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1、题型三 填空压轴之几何图形多解问题1. 已知正方形 ABCD 的边长为 4 2，如果 P 是正方形对角线 BD 上一点，满足 ABPCBP，若PCB 为直角三角形，则 BP 的长为_2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB8，AD6，E 为 AB 边上一点，将BEC 沿 CE 翻折， 点 B 落在点 F 处，当AEF 为直角三角形时，BE_第 2 题图第 4 题图3. 在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，若点 P 在 AD 边上，连接 PB、PC，BPC 是以 PB 为腰的等腰三角形，则 PB 的长为_4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 P、Q 分别为直线 AB、BC 上的点
2、，满 足 PDPQ，则当PDQ 为等腰三角形时，AP 的长为_25. 已知ABC 中，tanB ，BC6，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点 D，且满足 BDCD321，则ABC 面积的所有可能值为_6. 如图，有一张面积为 10 的三角形纸片，其中一边 AB 为 4，把它剪开两次拼成一个 矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与 AB 平行，则矩形的周长为_第 6 题图第 7 题图7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD8，MN 为对角线 BD 的垂直平分线，以 BD为底边作等腰三角形 BPD，使得点 P 落在直线 MN 上，且 PD5，则 AP_8. 在 ABC 中，A90，ABA
3、C 22，D 是边 AC 上的动点，满足 BD 的垂 直平分线交 BC 于点 E，若CDE 为直角三角形，则 BE 的长为_9. 如图，在四边形 ABCD 中，AABC90，AD1，BC3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 F，若BCD 是等腰三角形，则四边形 BDFC 的面积为 _第 9 题图第 10 题图10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB 6，AD 2 3，E 是 AB 边上一点，AE 2，F 是直线 CD 上一动点， AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A ，当点E 、A 、C三点在 一条直线上时，DF 的长度为_11. 已知在 RtA
4、BC 中，斜边 AB 5，BC 3，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形 至AB C的位置，那么当点 C 落在直线 AB 上时，BB _12. ABC 中，AB 4，BC 6，B 60，将ABC 沿射线 BC 方向平移得 A BC， 使得 B C4，连接 A C，则BC的周长为_13. 如图，在 ABCD 中，A 60，AB 3，点 E 、F 分别为 AD 、BC 的中点，沿 EF折叠平行四边形，使 CD 落在直线 AB 上，点 C 的对应点为 C ，点D 的对应点为 D ，若BD 1，则 AD 的长为_第 13 题图第 14 题图14. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形如图，在互补
5、四边形纸片 ABCD中，BA BC ，AD CD ，A C 90，ADC 30.将纸片先沿直线 BD 对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一 个面积为 4 的平行四边形，则 CD 的长为_15. 如图，在 ABC 中，B 90，BC 2AB 8，点 D ，E 分别是边 BC ，AC 的中点，连接 DE ，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，当EDC 旋转到 A ，D ，E 三点共线时， 线段 BD 的长为_第 15 题图2 2 22 22 222 2 2 2参考答案1. 4 或 8 【解析】由题可知， ABPCBP，点 P 一定处于正方形
6、对角线 BD 上， 共存在两种情况使PBC 为直角三角形，(1)如解图，当 CPPB 时，有 PC PB BC . 又CBP45，PBPC，BP4；(2)如解图，当 P 点与 D 点重合 PBC 为直 角三角形，BP 2BC8.第 1 题解图2. 3 或 6 【解析】如解图，当AFE90时，设 BEx，则 EFx，AE8x，FC BC6，由勾股定理得 AC AB BC 10，AF1064，在 AEF 中，4 x (8x)，解得 x3，BE3；如解图，当AEF90时，四边形 BCFE 是正方形，BEBC6.综上所述，BE3 或 6.第 2 题解图3. 5 或 6 【解析】如解图，当 PBPC 时
7、，点 P 是 BC 的中垂线与 AD 的交点，则 AP 1DP AD3，在 RtABP 中，由勾股定理可得 PB AP AB 3 4 5；如解图 2，当 PBBC6 时，BPC 也是以 PB 为腰的等腰三角形综上所述，PB 的长度为 5 或 6.第 3 题解图4. 1 或 7 【解析】PDQ 是等腰三角形，分三种情况：如解图，若点P 在线段 AB 上，DPQ90，PDPQ，APDBPQ90，在矩形 ABCD 中，AB 90，APDADP90，ADPBPQ，DAPPBQ(AAS)，PBAD 3，AP431；如解图，若点 P 在线段 AB 的延长线上，PQ 交 CB 的延长线于 点 Q，PDPQ，
8、同理可 ADPBPQ，ADPB，APABAD347；当 P 在线段 BA 的延长线上时，显然不成立，故 AP 的长为 1 或 7.2 222 2 2 2第 4 题解图5. 8 或 24 【解析】如解图，BC6，BDCD21，BD4，在 ABD 中，2 8 1 1 8ADBDtanB4 ， BC AD 6 8；如解图，BC6，BDCD3 3 ABC 2 2 32 1 121，BD12，在 ABD 中，ADBDtanB12 8， BC AD 683 ABC 2 224.ABC 面积的所有可能值为 8 或 24.第 5 题解图6. 13 或 14 【解析】分为两种情况：如解图，沿 MN 剪开，再沿
9、CQ 剪开(CDAB 于 点 D，MN 为ABC 的中位线，CD 交 MN 于点 Q)，将CQN 放 BFN 的位置上 CQM1放在AEM 的位置上，由三角形面积公式得 10 4CD，解得 CD5，MN 为ABC21的中位线，CQDQ CD2.5，矩形 AEFB 的周长为(2.54)213；如解图，2沿 NQ、MT 剪开(N、M 分别为 AC、BC 中点，EQBA 于点 Q，FTAB 于点 T，CDAB 于点 D)，将AQN 放在CEN 的位置上 BTM 放在CFM 的位置上，由三角形面积公1式得 10 4CD，解得 CD5，N 为 AC 中点，CDEQ，AQDQ，同理 BTDT， 21QT
10、AB2，矩形 EQTF 的周长为(52)214.故答案为 13 或 14.2第 6 题解图7. 3 或 41 【解析】如解图，连接 BM，DN，AN，得到四边形 BNDM 为菱形，BM MD，AMMDAMBMAD8，在 ABM 中，设 AMx，则 BM8x，AB4， 根据勾股定理得：x 4 (8x) ，解得 x3，AM3，MD5.当 PB 和 PD 在 BD 上方 时，点 P 与点 M 重合，则 APAM3；当 PB 和 PD 在 BD 下方时，点 P 与点 N 重合，由 对称性得到 PDNDBNMD5，在 ABN 中，AB4，BN5，根据勾股定理得： AN AB BN 4 5 41，此时 A
11、PAN 41.综上所述，AP 的长为 3 或 41.222 22 22 22222第 7 题解图8. 21 或 2 【解析】当CED90时，点 D 与点 A 重合，E 是 BC 的中点，如解图1 1.BC 2AB 2( 22)2( 21)，BE BC 2( 21) 21；当CDE2 290时，如解图，A90，ABAC，C45， CDE 是等腰直角三角形， CE 2DE，易得 BEDE，CE 2BE，CEBE 2BEBE2( 21)BE 2.综上所述，若CDE 为直角三角形，则 BE 的长为 21 或 2.第 8 题解图9. 6 2或 3 5 【解析】AABC90，BCAD，CBEDFE，BEC
12、 FED，CEDE，BECFED(AAS)，BEFE，四边形 BDFC 是平行四边形， 当 BCBD3 时，在 ABD 中，AB 3 1 2 2，S 32 26 2；四边形 BDFC当 BCCD3 时，如解图，过点 C 作 CGAF 于点 G，则四边形 ABCG 是矩形，AG BC3，DGAGAD312，在 CDG 中，CG 3 2 5，S 3 5四边形 BDFC3 5；BDCD 时，BC 边上的中线应与 BC 垂直，从而 BC2AD2，矛盾，此时不成 立故四边形 BDFC 面积为 6 2或 3 5.第 9 题解图10. 62 7或 62 7 【解析】如解图，F 是线段 CD 上一动点，由翻折
13、可知，FEA FEA ，CDAB ，CFE AEF，CFECEF ，CE CF，在 BCE中，EC BC EB （2 3） 4 2 7，CFCE2 7 ，ABCD6，DF CDCF62 7；如解图， F 是 DC 延长线上一点，由翻折可知，FEAFEA，CDAB ， CFE BEF ，CFE CEF ，CE CF ，在 BCE 中， EC BCEB （2 3）42 7，CFCE2 7，ABCD6，DFCDCF62 7，故答案为 62 7或 62 7.图图第 10 题解图11. 10或 3 10 【解析】如解图，当点 C在线段 AB 上时，AB5，BC3，在2 222222ABC 中，AC AB
14、 BC 4，以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形 ABC的位 置，AC4，BC1，BC3，BB （BC） （BC） 10；如解图，当点 C在线段 BA 的延长线上时，AB5，BC3，AC4，以点 A 为旋转中心，旋转这个 三角形至ABC的位置，BC9 ，BC 3，BB （BC） （BC） 3 10. 故长 BB长为 10或 3 10.图图第 11 题解图12. 12 或 84 3 【解析】当点 B在线段 BC 上，如解图，ABC 沿射线 BC 方向平 移得到BC，ABAB4，BCBC6，ABCABC60，BC4，AB BC，BC 为等边三角形 ABC 的周长为 12；当点 B在线段 BC 的延
15、长线上， 如解图，作 BHAC，ABC 沿射线 BC 方向平移得 ABC，ABAB4，ABC ABC60，BC 4 ，AB BC，BCA BAC ，CHAH，而ABC1BCABAC，BCA30，在 BCH 中，BCH30，BH CB2，CH 3BH2 3，AC2CH4 3，BC 的周长444 384 3.故答案 为 12 或 84 3.第 12 题解图13. 4 或 8 【解析】如解图，当点 D在线段 AB 上时，ADABBD312，E 是 AD 的中点，AEDE，由折叠的性质得 EDED，EDAE，A60，AED 是等边三角形，AEAD2，AD4.如解图，当点 D在 AB 的延长线上时，AD
16、AB BD4.同理可知AED是等边三角形，AEAD4，AD8.图图第 13 题解图14. 2 2 6或 4 22 6 【解析】如解图，作 CEAB 交 BD 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，连接 AE，过点 B 作 BGAE 于点 G，BABC，此时的平行四边形 ABCE 为菱 形，BADBCD90，ADC30，ABCF，CFD90，BCEBAE AEF30，设 BGm，则 BA2m，菱形 ABCE 的面积为 4，2mm4，解得 m 22222 22 2222 2(负值舍去)，AECEBA2 2，EFAEcos30 6，CF2 2 6，在 CFD 中，CD2CF4 22 6；如解图，
17、作 BEAD 交 CD 于点 E，作 BFCD 交 AD 于点 F，根据折叠与裁剪可知 BEBF，此时的平行四边形 BEDF 也是菱形，BEFD，BEC ADC30，AC90，设 BCn，则 BE2n，CE 3n，菱形 BEDF 的面 积为 4，2nn4，解得 n 2(负值舍去)，BC 2，DEBE2 2，CE 6，CD CEDE2 2 6，综上所述，CD 的长为 2 2 6或 4 22 6.第 14 题解图1215. 4 5或 5 【解析】如解图，易得 AC AB52BC 4 5，CD4，CDAD，AD AC CD （4 5） 4 8016 8，ADBC，ABDC，B90，四边 形 ABCD 是矩形，BDAC4 5；如解图，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，AC4 5，CD4，CDAD，AD AC CD （4 5）418，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，DE AB2，AEAD2ECDE826，CE ED CD 2 5，ECDACB，ECADCB，又DCAC AE EC 5 6 12 5 ，ECADCB， ，BD ，综上所述，BD 的长为 4 5 BC BD DC 2 5 5212 5或 .5第 15 题解图第 15 题解图