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1、第二章2.3ruize点、直线、平面之间的位置关系直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂直的性质 学习目标1. 探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.2. 面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力.3. 通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.合作学习一、设计问题,创设情境如图,长方体 ABCD-ABCD中,平面 AADD与平面 ABCD 垂直,直线 AA 垂直于其交线 AD.平面 AADD内的直线 AA 与平面 ABCD 垂直吗?二、信息交流,揭示规律问题 1:如图,若 ,=CD,AB ,ABCD,ABCD=B.讨论直线 AB 与平面 的
2、位置关系.问题 2:能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明?问题 3:平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些?四、运用规律,解决问题ruize【例 1】 如图,已知平面 ,a,直线 a 满足 a,试判断直线 a 与平面 的位置关系.【例 2】 如图,四棱锥 PABCD 的底面是 AB=2,BC= 且侧面 PAB底面 ABCD.(1) 证明:侧面 PAB侧面 PBC;(2) 求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角;(3) 求直线 AB 与平面 PCD 的距离.的矩形,侧面 PAB 是等边三角形,【例 3】 如图,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转 ABD 的位置,使
3、CD=AC.(1)求证:平面 ABD平面 ABC; (2)求二面角 CBDA 的余弦值.【例 4】 如图,在矩形 ABCD 中,AB=33,BC=3,沿对角线 BD 把 BCD 折起,使 C 移到 C, 且 C在平面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上.(1) 求证:ACBC;(2) 求 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值;(3) 求二面角 CBDA 的正切值.1 1 111174ruize五、变式演练,深化提高1.如图,三棱柱 ABC-A B C 中,BAC=90,AB=BB =1,直线 B C 与平面 ABC 成 30角,求 二面角 BB CA 的正弦值.2.如图,边长为 2 的等
4、 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 BC 的中点.(1) 证明:AMPM;(2) 求二面角 PAMD 的大小.六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?,M 为七、作业精选,巩固提高 课本 P 习题 2.3B 组第 1,3 题.参考答案问题 1:直线 AB 与平面 垂直.问题 2:两个平面垂直的性质定理文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一平面.符号语言描述为:AB.ruize图形语言描述为:如图两个平面垂直的性质定理证明过程如下: 如图,已知 ,=a,AB,ABa 于 B. 求证:AB.证明:在平面
5、 内作 BECD 垂足为 B,则ABE 就是二面角 CD 的平面角.由 ,可知 ABBE.又 ABCD,BE 与 CD 是 内的两条相交直线,AB.问题 3:两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中 最重要的定理.应用面面垂直的性质定理的口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”. 四、【例 1】 解:在 内作垂直于 与 交线的垂线 b,b.a,ab.a,a.即直线 a 与平面 平行.【例 2】 解:(1)证明:在矩形 ABCD 中,BCAB,又平面 PAB底面 ABCD,侧面 PAB底面 ABCD=AB,BC侧面 PAB.又BC侧面 PBC,侧面 P
6、AB侧面 PBC.(2)如图,取 AB 的中点 E,连接 PE,CE,又 PAB 是等边三角形,PEAB.又侧面 PAB底面 ABCD,PE平面 ABCD.PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角. PE= BA= ,CE= ,在 PEC 中,PCE=45为所求.(3)在矩形 ABCD 中,ABCD,CD侧面 PCD,AB侧面 PCD,AB侧面 PCD. 取 CD 的中点 F,连接 EF,PF,则 EFAB.ruize又PEAB,AB平面 PEF.又ABCD, CD平面 PEF.平面 PCD平面 PEF. 作 EGPF,垂足为 G,则 EG平面 PCD.在 PEF 中,EG=为所求.【例
7、 3】 解:(1)证明:(证法一):由题设,知 AD=CD=BD,作 DO平面 ABC,O 为垂足,则 OA=OB=OC.O ABC 的外心,即 AB 的中点.OAB,即 O平面 ABD.OD平面 ABD.平面 ABD平面 ABC.(证法二):取 AB 中点 O,连接 OD,OC,则有 ODAB,OCAB,即COD 是二面角 CABD 的平面角.设 AC=a,则 OC=OD= a,又 CD=AD=AC,CD=a. COD 是直角三角形,即COD=90.二面角是直二面角,即平面 ABD平面 ABC.(2)取 BD 的中点 E,连接 CE,OE,OC, BCD 为正三角形,CEBD.又 BOD 为
8、等腰直角三角形,OEBD.OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同(1)可证 OC平面 ABD,OCOE. COE 为直角三角形.设 BC=a,则 CE= a,OE= a,cosOEC=即为所求.【例 4】 解:(1)证明:由题意,知 CO平面 ABD,COABC,平面 ABC平面 ABD.又ADAB,平面 ABC平面 ABD=AB,AD平面 ABC.ADBC.BCCD,BC平面 ACD.BCAC.(2)BC平面 ACD,BC平面 BCD,平面 ACD平面 BCD.作 AHCD 于 H,则 AH平面 BCD,连接 BH,则 BH 为 AB 在平面 BCD 上的射影, ABH 为 AB 与平面
9、 BCD 所成的角.又在 ACD 中,CD=33,AD=3,AC=3 .AH= .sinABH= ,即 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为.(3)过 O 作 OGBD 于点 G,连接 CG,则 CGBD,则CGO 为二面角 CBDA 的平面角.在 ACB 中,CO=在 BCD 中,CG= OG=,.tanCGO= =2 ,即二面角 CBDA 的正切值为 2 .点评:直线与平面垂直是立体几何的核心 , 它是证明垂直问题和求二面角的基础 , 因此利ruize用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要.五、1.解:由直三棱柱性质得平面 ABC 平面 BCC B ,过 A 作 AN
10、平面 BCC B ,垂足为1 1 1 1N ,则 AN 平面 BCC B (AN 即为我们要找的垂线),在平面 BCB 内过 N 作 NQ B C ,垂足为1 1 1 1Q ,连接 QA ,则NQA 即为二面角的平面角.AB 在平面 ABC 上的射影为 AB ,CA AB ,1CA B A.AB=BB = 1,得 AB = .1 1 1直线 B C 与平面 ABC 成 30角,B CB= 30,B C= 2. 1 1 1在 RtB AC 中,由勾股定理,得 AC= .AQ= 1. 1在 BAC 中,AB= 1,AC= sinAQN= ,得 AN= .即二面角 BB CA 的正弦值为1.2.解:
11、(1)证明:如图,取 CD 的中点 E ,连接 PE ,EM ,EA ,PCD 为正三角形,PE CD ,PE=PD sinPDE= 2sin60= . 平面 PCD 平面 ABCD ,PE 平面 ABCD. 四边形 ABCD 是矩形,ADE ECM ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得 EM= ,AM= ,AE= 3,EM 2+AM 2=AE 2.AM EM.又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影,AME= 90.AM PM. (2)由(1)可知 EM AM ,PM AM ,PME 是二面角 PAMD 的平面角.tanPME= = 1.PME= 45.二面角 PAMD 为 45.