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1、11nn, 数列的求和一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2 能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运 算；3 熟记一些常用的数列的和的公式二、 教学重点：特殊数列求和的方法三、 教学过程：（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：S =nn(a +a ) n ( n -1) 1 n =na +2 2d（2）等比数列的求和公式na ( q =1) S =a (1 -q )n 11 -q( q 1)（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法： kk =12=12+22+32+L +n2=n ( n +1)(2n
2、+1)6nk =1k 3 =13 +23 +33 +L +n 3 =n ( n +1) 223错位相减法：比如a 等差 b 等比 求a b +a b +L +a b 的和 n n 1 1 2 2 n n.4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1 1 1 1 1 1 1常见拆项公式： = - ； = ( - )n ( n +1) n n +1 n(n +2) 2 n n +21 1 1 1= ( - )(2 n -1)(2n +1) 2 2n -1 2 n +1n n!=( n +1)!-n!5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合
3、并求和法：如求 1002-992+982-972+L +22-12的和。7倒序相加法：123n123-n8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；（三）例题分析：例 1求和：S =1 +11 +111 +L+11L 1 nn个1 S =( x + )x2+( x2+1 1 ) 2 +L+( x n + )x 2 x n2求数列 1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前 n 项和 S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。n解： a =11L 1 =1 +10 +10 kk个2
4、+L+10k=19(10 k 1)1 1S = (10 -1) +(102 -1) +L+(10n -1) = (10 +102 9 91 10(10 n -1) 10 n+1 -9 n -10= -n =9 9 81+L+10n) -nS =( x 2 + n1 1 1 +2) +( x 4 + +2) +L+( x 2 n + +x 2 x 4 x 2 n2)=( x2+x4+L+x2 n) +(1 1 1+ +L+ ) +2 n x 2 x 4 x 2 n（1）当x 1时，S =nx2( x 2 n -1) x -2 ( x -2n -1) ( x 2 n -1)( x 2 n +2+
5、+2 n =x 2 -1 x -2 -1 x 2 n ( x 2 -1)+1)+2n（2）当 x=1时, S =4nna =(2k -1) +2 k +(2 k +1) +L+(2 k -1) +( k -1) = kk(2 k -1) +(3k -2) 5 3= k 2 - k2 2 2a (2 1)1nkn 1 2nnS =a +a +L+a = n 1 2 n1= n ( n +1)(5n -2) 65 3 5 n ( n +1)(2 n +1) 3 n ( n +1) (12 +2 2 +L+n 2 ) - (1 +2 +L+n ) = -2 2 2 6 2 2总结：运用等比数列前 n
6、 项和公式时，要注意公比 2错位相减法求和q =1或q 1讨论。例 2已知数列 1,3a ,5a 2 , L , (2n -1) an -1( 0)，求前 n 项和。思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1 与等比数列a0, a , a2, L , an -1对应项积，可用错位相减法求和。解： S =1 +3a +5 a naS = a +3a 2 +5 a n23+L + n - a +L +(2 n -1) an -1n()(2)(1)-(2):(1-a)S=1+2a+2an2+2 a3+L +2 an -1-(2 n -1) an当a 1时, (1 -a ) S =1 +n
7、2 a (1 -a n -1 (1 -a ) 2)-(2 n -1)nS =n1 +a -(2 n +1) a n +(2 n -1) a(1 -a ) 2n +1当a =1时, S =nn23. 裂项相消法求和例 3.求和2 2 4 2 (2n) 2 S = + +L+1 3 3 5 (2n -1)(2n +1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:(2 k ) 2 (2 k ) 2 -1 +1 1 1 1 1a = = =1 + =1 + ( - )(2k -1)(2 k +1) (2 k -1)(2k +1) (2k -1)(2 k +1) 2 2 k -1 2 k +11 1 1
8、1 1 1 1 1 2 n (n +1)S =a +a +L+a =n + (1 - ) +( - ) +L+( - ) =n + (1 - ) =2 3 3 5 2n -1 2 n +1 2 2 n +1 2 n +1练习:求1 2 3 n S = + + +L+a a 2 a 3 a n答案:S =nn( n +1)( a =1)2a( a n -1) -n ( a -1)( a 1)a n ( a -1) 2+ C+ C(2 1) n12n4. 倒序相加法求和例 4 求证：C0n+3C1n+5C2n+L +(2 n +1)Cnn=( n +1)2n思路分析：由Cmn=Cn -mn可用倒序
9、相加法求和。证：令S =Cn0n3 1 5n2n+L + n + Cnn(1)则 S =(2 n +1) C n +(2 n -1)C n -1 +L +5C 2 +3C 1 +C 0 n n n n n n(2)Q C m =C n -m n n (1) +(2)有 : 2 S =(2 n +2)Cn0n+(2 n +2) C1n+(2 n +2)C2n+L +(2 n +2)Cnn S =( n +1) C 0 +C 1 +C 2 +L +C n =( n +1) 2 n n n n n5其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。n等式成立例 5已知数列a , a =-2 n -(
10、-1) n nn, 求Sn。思路分析：a =-2n -2( -1) nn，通过分组，对 n 分奇偶讨论求和。解：a =-2n +2( -1) nn，若 n =2 m, 则S =Sn2 m2 m=-2(1 +2 +3 +L +2 m ) +2 ( -1)kk =1S =-2(1 +2 +3 +L +2 m) =-(2 m +1)2 m =-n( n +1) n若n =2 m -1, 则S =Sn2 m -1=S2 m-a2 m=-(2 m +1)2 m +22 m -( -1)2 m =-(2 m +1)2 m +2(2 m -1)=-4m2+2 m -2 =-(n +1)2+( n +1) -
11、2 =-n2-n -2-n(n +1) ( n为正偶数) S =-n 2 -n -2 ( n为正奇数)预备：已知f ( x ) =a x +a x1 22+L +a x nn, 且a , a , a , L a1 2 3n成等差数列，n 为正偶数，又 f (1) =n 2 , f ( -1) =n，试比较 f ( ) 2与 3 的大小。解：f (1) =a +a +a +L+a =n 21 2 3 nf ( -1) =-a +a -a +L-a +a =n1 2 3 n -1 n(a +a ) n 1 n =n d =n 22 a +a =2n 1 nd =215n a +a +( n -1)
12、 d =2n 1 1d =2 a =1 a =2 n -1 1 nf ( x ) =x +3 x2+5 x3+L+(2n -1) xn1 1 1 1 1 f ( ) = +3( ) 2 +5( ) 3 +L+(2 n -1)( )2 2 2 2 2n可求得1 1 1 f ( ) =3 -( ) n -2 -(2n -1)( )2 2 2n，n 为正偶数， f ( ) 32（四）巩固练习：1求下列数列的前n项和 Sn：5（1）5，55，555，5555， (10n -1)9，； （2）1 1 1 1 , , , L , ,13 2 4 3 5 n( n +2)L；（3）a =n1n + n +1
13、； （4）a , 2 a2,3 a3, L , nan, L；（5） 1 3,2 4,3 5,L , n( n +2), L； （6）sin 2 1o +sin 2 2 o +sin 2 3o +L L +sin 2 89o 6 7n个8 6 7n个8解：（1） S =5 +55 +555 +L +55L 5 = (9 +99 +999 +L +99L 9)95= (10 -1) +(102 -1) +(103 -1) +L +(10n -1)9（2）5 50 5 = 10 +10 2 +10 3 +L +10 n -n = (10n -1) - n9 81 91 1 1 1，= ( - )n
14、(n +2) 2 n n +2S =n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1- ) +( - ) +( - ) +L +( - ) = (1+ - - )2 3 2 4 3 5 n n +2 2 2 n +1 n +2（3）a =n1n + n +1=n +1 - n( n + n +1)( n +1 - n )= n +1 - nS =n1 1 1+ +L +2 + 1 3 + 2 n +1 + n2 3n +12 3 4n n +12 32ooonn -1=( 2 -1) +( 3 - 2) +L +( n +1 - n ) = n +1 -1（4）S =a +2 a n2+
15、3a3+L +nan，n ( n +1)当 a =1 时， S =1 +2 +3 + +n =，n2a 1当时， S =a +2 a +3a + +na n ， naS =a +2 a +3a + +na ， n两式相减得 (1 -a ) S =a +a +a + +a -nanna n +2 -(n +1)a n +1 +aS =n(1-a ) 2=a(1-a n ) 1 -a-nan +1 ，（5）n ( n +2) =n2+2 n， 原式 =(12 +2 2 +32 + +n ) +2 (1+2 +3 + +n) =n ( n +1)(2n +7)6（6）设S =sin21+sin22o
16、+sin23+L L +sin289o，又S =sin289o+sin288o+sin287o+L L +sin21，2 S =89， S =8922已知数列 an 的通项 a =6n -5 ( n为奇数) 2n (n为偶数)，求其前 n 项和Sn解：奇数项组成以a =11为首项，公差为 12 的等差数列，偶数项组成以a =42为首项，公比为 4 的等比数列；当n为奇数时，奇数项有n +1 n -1项，偶数项有 项， 2 2S =nn +12(1+6 n -5)4(1-4 2 ) ( n +1)(3n -2) 4(2 n -1 + = +2 1 -4 2 3-1)，当nn为偶数时，奇数项和偶数项分别有 项，2nnS =nn2(1+6 n -5)4(1-4 2 ) n(3n -2) 4(2 n -1) + = +2 1 -4 2 3，所以，(n +1)(3n -2) 4(2 n -1 -1)+ 2 3S =n (3n -2) 4(2 n -1)+ 2 3( n为奇数)(n为偶数)四、小结：1掌握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时注意分q =1或q 1讨论。