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1、高考模拟卷 高三理科数学注意事项：封号位座1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂【答案】D5在 2 x -1 x 61的展开式中，含 项的系数为（ ）x黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。A -60B 160C 60D 64密不号场考3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题
2、 5 分，在每小题给出的四个选项中，只【答案】Cy 2 x -26若实数 x ， y 满足 y -x +1 ，则 z =3 x -y 的最大值是（ ）y x +1A -2 B -1 C 5 D 3 【答案】C订有一项是符合题目要求的1设集合 A =xN| x 2 3，B =x|-1x 3，则集合 A I B 为（）7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A64 B32 C96 D48A -1,0,1B 0,1C -1,0D x | -1x 1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A(15,+)B15, +)C(-,6)D(-,6【答案】B二、填空题：本大题共第 卷4 小题，每小题 5
3、 分13已知向量 a = (1,x)，b= (-1,x)，若2a-b 与 b 垂直，则 a 的值为_ 【答案】2【答案】B14已知函数 f (x)=3sinwx +coswx(w0)的最小正周期为 ，则当 x 0, 时函数 2 9学校选派甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛， 下面是他们的一段对话甲说：“乙参加演讲比赛”；乙说：“丙参加诗词比赛”； 丙说“丁参加演讲比赛”；丁说：“戊参加诗词比赛”；戊说：“丁参加诗词 比赛”f (x)的一个零点是_5【答案】1215若直线 l ：y =x +b 与抛物线 C ：x2=4 y 相切于点 A ，则以点 A 为圆心且与
4、抛物线 C已知这 5 个人中有 2 人参加“演讲”比赛，有 3 人参加“诗词”比赛，其中有 2 人说的 不正确，且参加“演讲”的 2 人中只有 1 人说的不正确根据以上信息，可以确定 参加“演讲”比赛的学生是( )的准线相切的圆的标准方程为_ 【答案】 (x-2)+(y-1)=4A甲和乙 【答案】DB乙和丙C丁和戊D甲和丁16已知数列a的前n 项和为 S ，且 a =1 ， a =S +2 ，则满足 nn +1 n2 n10, b0 的左、右焦点，以线段 F F1 2为斜在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 b sin 2 A -a sin (A+
5、C)=0 （1）求角 A ；边作等腰 RtF MF ，如果线段 MF 的中点恰好在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离1 2 1心率等于（ ）（2）若 a =3 ， ABC 的面积为3 3 1 1，求 + 的值 2 b cA 2B 3C 2D 6【解析】解：（1）由 b sin 2 A -a sin (A+C)=0得b sin 2 A =a sin B =b sin A ，3 分【答案】A12已知函数f (x)=aln(x+1)-x2，在区间(01，)内任取两个实数 p ， q ，且 p q ，若又 0 A ，所以 sin A 0 ，得 2cos A =1 ，所以 A = 6 分32y =1uuu
6、ruuur( )6( )uuuruuur( )( )3 3 1 3 3（2）由 ABC 的面积为 及 A = 得 bc sin = ，即 bc =6 ，8 分2 3 2 3 2设 n =( x, y, z ) 为平面 DBE 的一个法向量，则uuurn DE =0 uuur ，即 n DB =0 2 y +z =0 3x +y =0，又 a =3 ，从而由余弦定理得 b2 +c 2 1 1 b +c 3所以 + = = 12 分 b c bc 218（本小题满分 12 分）-2bc cos A =9 ，所以 b +c =3 3 ，10 分 3 令 ，则 n =- ,1, -2，9 分3又 PB
7、 = 3,1, -2 ，所以 cos =uuurn PB 6 uuur = ，n PB 4如图，在四棱锥 P -ABCD 中， PD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， AB CD ，即直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值为 12 分4BAD =60o， PD =AD =AB =2 ， CD =4 ， E 为 PC 的中点19（本小题满分 12 分）（1） 证明： BE / 平面 PAD ；（2） 求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值【解析】（1）证明：设 F 为 PD 的中点，连接 EF ， FA 1因为 EF 为 PDC 的中位线，所以 EFCD ，且 EF = CD
8、 =2 2又 ABCD ， AB =2 ，所以 AB EF ，故四边形 ABEF 为平行四边形，所以 BEAF =又 AF 平面 PAD ， BE 平面 PAD ，所以 BE 平面 PAD 4 分FPM 2.5 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗 粒物我国 PM 2.5 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即 PM 2.5 日均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级； 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区 2017 年上半年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽
9、取 18 天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示 （十位为茎，个位为叶）（1） 在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，求其中恰有 2 个数据为空气质量达到一级的 概率；（2） 在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，用x表示其中不超标数据的个数，求x的分布列 及数学期望；（3） 以这 18 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360 天计算） 中约有多少天的空气质量为二级Go，所 ABD 为等边三角形，（2）解：设G 为 AB 的中点，因为 AD =AB ， BAD =60故 DG AB ；因为 ABCD ，所以 DG DC ；又 PD 平面 ABC
10、D ，所以 PD ， DG ， CD 两两垂直；6 分【解析】解：（1）概率 P =C2 C1 74 14 = ；3 分 C 3 6818uuur uuur uuur以 D 为坐标原点， DG 为 x 轴、 DC 为 y 轴、 DP 为 z 轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，（2）由题意， x服从超几何分布：其中 N =18 ， M =10 ， n =3 ，则 P(0,0, 2)， B3,1,0 ， E(0,2,1)， DE =(0,2,1)，DB =(3,1,0 )；C k C3-kx的可能取值为 0、1、2、3由 P x =k = 10 8 ，得 P x =0 =C 318C0 C3
11、710 8 = ，C 3 102183( )( )( )()()22() a121()222()()()1 21 212a11211 2( ) ( )( )1211 1 22 2111当判别式 D0 时，得，6 分=3 +4 k-b22121 2 1C 1 C2 35 C 2 C1 15 C 3 5P x =1 = 10 8 = ， P x =2 = 10 8 = ， P x =3 = 10 = ；6 分C 3 102 C 3 34 C 3 3418 18 18所以 x的分布列为：整理得 ( k 2即 ( k 2 -m )-m) x x +bk ( x +x ) +b 2 =0 ，1 2 1
12、24b2 -12 8kb+bk ( - ) +b 2 =0 ，化简得 b 3 +4 k 2 3 +4 k 22=12k 2 -12m 3 -4 m；8 分x 0 1 2 37 35 15 5P102 102 34 347 35 15 5 5 Mn 5得期望 E x =0 +1 +2 +3 = 或用公式 E x = = 9 分102 102 34 34 3 N 36 1 1（3）由题意，一年中空气质量为二级的概率 P = = ， 360 =120 ，18 3 3所以一年（按 360 天计算）中约有 120 天的空气质量为二级12 分20（本小题满分 12 分）b b 2 12 k 2 -12 m
13、原点 O 到直线 EF 的距离 d = ， d 2 = =1 +k 2 1 +k (3 -4 m ) k +3 -4 m 1 -m由已知有 d 是定值，所以有 = ，解得 m =-1，10 分3 -4 m 3 -4 m即当 k k =-1时，直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切，1 212 12此时 d = ，定圆的标准方程为 x 2 +y 2 = 12 分7 721（本小题满分 12 分），x 2 y 2 1 3 5 已知椭圆 C ： + =1 a b 0 经过点 A , a 2 b 2 2 4，且两个焦点 F ， F 的坐标依次1 2已知函数 f (x)=lnx+a2x 2 -(a+1)x
14、为 (-1,0)和(1,0)（1）若函数 f (x)在区间(2,+)内单调递增，求a 的取值范围；（1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2 ） 设 x ， x (0x x1 2 1 2)是 函 数 g (x)=f(x)+x的 两 个 极 值 点 ， 证 明 ：（2）设 E ， F 是椭圆 C 上的两个动点， O 为坐标原点，直线 OE 的斜率为 k ，直线 OF1g (x)-g(x)-lna 恒成立2的斜率为 k ，求当 k k 为何值时，直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆 2 1 2【解析】（1）解： f(x)的定义域为(0,+)， f(x)1= +ax -x(a+1)，1 分的
15、标准方程若满足题意，只要 f(x)=+ax -(a+1)0在(2,+)恒成立即可， x即 a (x-1)x -1x1恒成立，又 x 2 , + ，所以 a 4 分2（ 2 ） 证 明 ： g (x)=f(x)+x=lnx+a2x 2 -ax ， 则 g (x)的定 义 域 为 (0,+)，【解析】解：（1）由椭圆定义得 2 a =1 +1 +2 3 54 1 -0 + -1 23 5+ -042=4 ，1 ax 2 -ax +1g x = +ax -a = ，若 g x 有两个极值点 x ， x 0 x 0 ， 且x +x =1 ， x x = 0 ，1 2即 a =2 ，又 c =1 ，所以
16、 b2x 2 y 2=3 ，得椭圆 C 的标准方程为 + =1 4 分4 31 1得 a 4 ， 又0 x x ， x 2 x x = ， 即0 x ，7 分a a（2）设直线 EF 的方程为 y =kx +b ， E ( x , y ) ， F ( x , y ) ，1 1 2 2a a a所以 g x -g x =ln x + x 2 -ax -ln x - x 2 +ax =ln x +ln ax + -ax ，2 2 2直线 EF 的方程与椭圆方程联立，消去 y 得 (3 +4 k 2 ) x 2 +8kbx +4b 2 -12 =0 ，8kb 4b 2 -12x +x =- x x
17、=3 +4 k 2 3 +4 k 2设 h (t)=lnt+ln (at)+a2 1 -at ，其中 t =x 0, ，由 h a (t)2= -a =0 t2得 t = ，9 分 a设 k k =m ，因为点 E ， F 在直线 y =kx +b 上，得 ( kx +b )( kx +b ) =mx x ，1 2 1 2 1 24()又 - =0 ，所以 h t 在区间 0,内单调递增，在区间 ,aaaaa()减，即 h的最大值为 ha1211 1 1( ) 22 2412 1 2 - a 2 2 1 a 2 a at =2ln 2 -ln a + -2 -ln a ，a 2 2内单调递（1
18、）若不等式 f (x)m+1恒成立，求实数 m 的最大值 M ；1 1（2）在（1）的条件下，若正数 a ， b ， c 满足 a +2b +c =M ，求证： + 1 a +b b +c【解析】解：（1）若 f (x)m+1恒成立，即 f (x) m +1 ，2 分min从而 g (x)-g(x)-lna 恒成立12 分2考生注意：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题由绝对值的三角不等式 x -3 + x +2 x -3 -x -2 =5 ，得 f (x)=5 ，min即 m +1 5 ，解得 -6 m 4 ，所以 M=45 分计分做答时，用 2B 铅笔在答
19、题卡上把所选题目对应的题号涂黑（2）证明：由（1）知 a +2b +c =4 ，得(a+b)+(b+c)=4 ，6 分22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x =3cos a已知曲线 C 的参数方程为 （ ay =sin a为参数），以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为所以有：+ = (a+b)+(b+c) a +b b +c 41 1+ a +b b +c=142 +b +ca +b+a +b 1 2 +2 =1 ， b +c 4极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 rcos q+ = 2 4 即1 1+ a +b b +c1 10 分（1
20、）求曲线 C 的直角坐标方程及曲线 C 上的动点 P 到坐标原点 O 的距离 OP 的最大2 1值；uuur uuur（2）若曲线 C 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，且与 x 轴相交于点 E ，求 EA + EB 的值2 1【解析】解：（1）由 rcos 2 2 q+ = 2 得 r cos q- sin q= 2 ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 x -y -2 =0 ，2 分 2根据题意得 OP = 9cos2a+sin2a = 8cos2a+1 ，因此曲线 C 上的动点 P 到原点 O 的距离 OP 的最大值为 OP 1max=3 5 分（2）由（1 ）知直线 x -y -2 =0 与 x 轴交点 E 的坐标为 (2,0)，曲线C 的参数方程为：2x =y =2222t +2t(t为参数)x 2，曲线 C 的直角坐标方程为 +y 2 =1 ，7 分9联立得 5t 2 +2 2t -5 =0 ，8 分uuur uuur 又 EA +EB =t1uuur uuur+t ，所以 EA + EB = t -t = 2 1 2(t1+t2)2-4t t1 2=6 3510 分23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 f (x)=x-3+x +2 5