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1、株洲市十七中高二排列、组合与二项式定理测试卷一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1若从集合 P 到集合 Q=a,b,c所有不同的映射共有 81 个，则从集合 Q 到集合 P 可作的不 同的映射共有（ ）A32 个B27 个C81 个D64 个2某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ）A42 B36 C30 D123全班 48 名学生坐成 6 排，每排 8 人，排法总数为 P，排成前后两排，每排 24 人，排法 总数为 Q,则有（ ）APQ BP=Q CPQ D不能确定4从正方体的六
2、个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ）种A8 B12 C16 D20512 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配 方案共有（ ）AC 4 C 4 C 12 844B3C 4 C 4 C 12 844CC 4 C 4 C 4 A 3 12 8 4 3DC 4 C 4 C 4 12 8 4A336某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为 16 的六种不同花色的装饰石材可选择，其中 1 号石材有微量的放射性， 不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种A350 B300 C65 D
3、507有 8 人已站成一排，现在要求其中 4 人不动，其余 4 人重新站位，则有（ ）种 重新站位的方法A1680 B256 C360 D2808一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法 A7200 B3600 C2400 D12009在(1x1x 3)n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于 1024，则中间项 的二项式系数是 （ ）A. 462 B. 330 C.682 D.79210.在(1+ a x)7 的展开式中,x3 项的系数是 x2 项系数与 x5 项系数的等比中项,则a的值为( )A.105B.5 25 25C. D.3 9 33二、填空题（本大
4、题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）11 某公园现有 A、B、C 三只小船，A 船可乘 3 人，B 船可乘 2 人，C 船可乘 1 人，今有 三个成人和 2 个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方 可乘船，他们分乘这些船只的方法有_种。12 “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98765)，若把所有的五位渐减数 按从小到大的顺序排列，则第 20 个数为_。13 （理）某民航站共有 1 到 4 四个入口，每个入口处只能进 1 人，一个小组 4 个人进站的方 案数为_。（文）体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1、2、3 的三个箱子里，要求
5、每个箱子放球 的个数不少于其编号，则不同的放法有_种。14(文)若 (1 -2 x )2005=a +a x +a x 0 1 22+L +a2005x2005（ x R ），则( a +a ) +( a +a ) +( a +a ) +L +( a +a 0 1 0 2 0 3 02005) （用数字作答）。（理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递 方式有_种15在(1 +x )3 +(1 +x) 4 +L +(1 +x ) 2005的展开式中， x 的系数为_。三解答题（本大题共 6 题，共 80 分）16（本题满分 12 分）用 0，1，2，3，4，5
6、 这六个数字（1） 可组成多少个不同的自然数？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数？ （3） 组成多少个无重复数字的五位奇数？（4） 可组成多少个无重复数字的能被 5 整除的五位数？（5） 可组成多少个无重复数字的且大于 31250 的五位数？（6） 可组成多少个无重复数字的能被 3 整除的五位数？17（本题满分 12 分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200 种以上不同选 择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）18（本题满分 12 分）已知(1 -2 x )7
7、=a +a x +a x 0 1 22+L +a x 77，求（1）a +a +L +a 0 17的值（2）a +a +a +a 0 2 46及a +a +a +a 1 3 57的值；（3）各项二项式系数和。19.（本题满分 14 分）证明：（1）2 (1 +1n)n3 ，其中 n N*；（2）证明：对任意非负整数 n ， 33 n-26n -1可被 676 整除。20（本题满分 14 分）已知 m, n 是正整数，f ( x ) =(1 +x)m +(1 +x ) n的展开式中 x 的系数为 7，（1） 试求f ( x )中的x2的系数的最小值（2） 对于使f ( x)的x2 的系数为最小的
8、 m, n ，求出此时 x 3的系数（3） 利用上述结果，求f (0.003)的近似值（精确到 0.01）521。（本题满分 16 分）规定Cmx=x ( x -1) L ( x -m +1)m!, 其中x R, m是正整数，且C 0 =1这是组合数 C m ( n , m 是正整数，且 m n )的一种推广， x n（1） 求 C 的值， -15（ 2 ） 组 合 数 的 两 个 性 质 ：Cmn=Cn -mn；Cmn+Cm -1m=Cmn +1是 否 都 能 推 广 到C m ( x R , m N * ) x的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由(3) 已知组合数
9、Cmn是正整数，证明：当x Z , m是正整数时，C m Zx株洲市十七中高二排列、组合与二项式定理测试卷参考答案 一：选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）(1). D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). D (8). A (9). A (10). C二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）(11). 18 (12). 76542 (13). (理)840（文）10 (14). （文）2003 （理）22 (15). 三解答题（本大题共 6 题，共 80 分）C4200616（1）解：可组成 6+56
10、+5 62 +5 6 3 +5 6 4 +5 6 5=46656 个不同的自然数（2）可组成A1 A5 或A 5 -A 3 =600 5 5 6 4个无重复数字的五位数（3）可组成A1 A1 3 4A34=288个无重复数字的五位奇数（4）可组成A 45+( A 45-A 34) =216个无重复数字的能被 5 整除的五位数（5）可组成2 A 4 +3 A 3 +2 A 2 +1 =325 5 4 3个无重复数字的且大于 31250 的五位数？（6）可组成A 55+( A 45-A 44) =216个无重复数字的能被 3 整除的五位数？17解：在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有C
11、25=10种，设素菜为x种，则C 2 C2 200 x 5解得x 7，至少应有 7 种素菜18令x =1，则a +a +La =-1 0 1 7令x =-1，则 a -a +a -a +L +a -a =21870 1 2 3 6 7令x =0，则a =10于是a +a +a +La =-2 1 2 3 7a +a +a +a =-1094 ； a +a +a +a =1093 1 3 5 7 0 2 4 6各项二项式系数和C07+C17+L +C77=27=128nnn nnn219（1）证明：(1 +1 1 1 ) n =1 +C 1 +C 2 ( )n n n2+L 2（当且仅当 n =
12、1 时取等号）当n =1时，(1 +1n) n =2 3显然成立当n 2时；1 1 1 1 (1 + ) n =C 0 +C 1 +C 2 +L+C n =n n n 2 n n2 +n( n -1) 1 n ( n -1)( n -2) 1 n ( n -1) L 2 1 1+ +L+2! n 2 3! n 3 n! n n1 n n -1 1 n n -1 n -2 1 n n -1 2 1 1 1 1 =2 + + +L+ L 2 + + +L1 ! n n 3! n n n n! n n n n 2! 3! n!2 +1 1 1+ +L+12 2 3 n(n -1)1 1 1 1 1
13、1 =2 +(1 - ) +( - ) +L+( - ) =3 - 32 2 3 n -1 n n综上所述：2 (1 +1n) n 3，其中n N*（2）证明：当n =0, n =1时33 n-26n -1=0，显然 676|(3 3 n -26 n -1)当n 2时，33 n-26n -1=27 n -26 n -1 =(1 +26) n -26 n -1 =1 +26 n +C 2 26 2 +L +C n 26 n -26 n -1n n=C2n262+C3n263+LCnn26n=676(C2n+26C3n+L +26n -2C n ) 0(mod 676) n综上所述：676|(33
14、 n-26 n -1)( n N )20解：根据题意得：C 1 +C 1 =7 m n，即m +n =7（1）x2的系数为C 2 +C 2 = m nm(m -1) n ( n -1) m 2 +n 2 -m -n + =2 2 2将(1)变形为n =7 -m 代入上式得： x 2 的系数为m27-7 m +21 =( m - )22+354故当 m =3或4时，x 的系数的最小值为 9（2） 当m =3, n =4或m =4, n =3时，x3的系数为为C 3 +C 3 =5 3 4（3）f (0.003) 2.0221解：（1）C5-15=( -15)( -16) L ( -19)5!=-
15、C519=-11628（2）性质：C m =C n -m n n不能推广，例如x =2时，C12有定义，但C2 -12无意义；性质：Cmn+Cm -1n=Cmn +1能推广，它的推广形式为Cmx+Cm -1x=Cmx +1, x R, m N*，证明如下：当m =1时，有C 1 +C 0 =x +1 =C 1 x x x +1；当m 2时，有C m +C m -1 x x=x ( x -1) L ( x -m +1) x ( x -1) L ( x -m +2)+m! ( m -1)!=x ( x -1) L ( x -m +2) x -m +1 x ( x -1) L ( x -m +2)( x +1)( +1) =( m -1)! m m!=Cmx +1（4） 当 x m 时，组合数 Cmx Z；当x 0 C m =xx ( x -1) L ( x -m +1) ( -x +m -1) L (-x +1)( -x)=( -1) mm! m!=( -1) m Cm -x +m -1Z