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1、22，ctg = ；21 1第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论： 在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值 一定相等正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748 年经过 瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的 sin、cos、tg、ctg 的通用形式三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰 富的性质：1 单调性；2 互余三角函数间的关系；3 同角三角函数间的关系平方关系：sin +cos =1；sin a cos a商数关系：tg
2、=cos a sin a倒数关系：tg ctg =1【例题求解】【例 1】 已知在ABC 中，A、B 是锐角，且 sinA 则 S =ABC513，tanB=2，AB=29cm，思路点拨过 C 作 CDAB 于 D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=CD 5=AC 13，tanB=CDBD=2 ，设 CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解题的关键是求出 m、n 的值注：设ABC 中，a、b、c 为A、B、C 的对边，R 为ABC 外接圆的半径，不难证 明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：1(1) S = bc sin A = ABCac sin B = ab sin C ； 2
3、 2（2）a b c= = =2 R sin A sin B sin C【例 2】 如图，在ABC 中ACB90，ABC15，BC=1，则 AC=( )A 2 + 3B 2 - 3C0.3 D 3 - 2思路点拨 由 15构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化2注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换【例 3】 如图，已 ABC 是等腰直角三角形，ACB90，过 BC 的中点 D 作 DE AB 于 E，连结 CE，求 sinACE 的值思路点拨 作垂线把ACE 变成直角三角形的一个锐角
4、，将问题转化成求线段的比【例 4】 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cosDAC， (1)求证：ACBD；(2)若 sinC=1213，BC=12，求 AD 的长思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=12 AD=13 AC，引入参数可设 AD=12 k，AC13 k【例 5】 已知：在 RtABC 中，C=90，sinA、sinB 是方程 x2+px +q =0 的两个根(1) 求实数 p 、 q 应满足的条件；(2) 若 p 、q 满足(1)的条件，方程 x +px +q =0 的两个根是否等于 ABC 中两锐角 A、B 的正弦
5、?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立 p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性， 建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数 p 、 q 应满足的条件学历训练1已知 为锐角，下列结论sin +cos =l；如果 45，那么 sin cos ；如5222213 3D1果 cos 12，那么 60； (sin -1) 2 =1 -sin a 正确的有 2如图，在菱形 ABCD 中，AEBC 于 E，BC=1，cosB ，则这个菱形的面积为 133如图，C=90，DBC=30，ABBD，利用此图可求得 tan75= 4化简(1) tan227o+tan263o-2 =(2)sin l+si
6、n 2+sin 88+sin 89= 5身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角如下 表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sin cos = ，且 0 45则 co -sin 的值为( )8A32B -32C D - 4 47如图，在ABC 中，C90，ABC30，D 是 AC 的中点，则 ctgDBC 的值 是( )A 3B 2 3C3 32 48如图，在等腰 ABC 中C90，AC6，D 是 AC 上一点，若 tanDBA= ，5则 AD 的长为( )A 2B2 C 1 D 2 29已知关于
7、x值的方程 4 x 2 -2( m +1) x +m =0 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求 m 的B C D10如图，D 是ABC 的边 AC 上的一点，CD=2AD，AEBC 于 E，若 BD8，sinCBD= 求 AE 的长34，11若 0 45，且 sin con =3 716，则 sin =12已知关于 x的方程 3 x 2 -4 x sina+2(1 -cosa) =0有两个不相等的实数根， 为锐角，那么 的取值范围是 13 已知是 ABC 的三边， a、 b 、c 满足等式 (2b ) 2 =4( c +a )(c -a ) sinA+sinB+sinC 的值为 14 设
8、为锐角，且满足 sin =3cos ，则 sin cos 等于( )1 1 2 3A6 5 9 10，且有 5a -3c =0，则15如图，若两条宽度为 1 的带子相交成 30的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是 ( )A2 B32C1 D1216如图，在ABC 中，A30，tanB=32，AC= 2 3 ，则 AB 的长是( )A 3 + 3B 2 +2 3C5 D9217己在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，且 c= 5 3 ，若关于 x 的方程(5 3 +b ) x 2 +2 ax +(5 3 -b ) =0 有两个相等的实根，又方程 2 x 2 -(10 sin A
9、) x +5 sin A =0 的两实 根的平方和为 6，求ABC 的面积18如图，已知 AB=CD=1，ABC90，CBD=30，求 AC 的长19设 a、b、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断 an+bn与 cn的关系，并证明你的结论20如图，已知边长为 2 的正三角形 ABC 沿直线 l滚动(1)当ABC 滚动一周到B C 的位置，此时 A 点所运动的路程为 ，约为 (精确l 1 1到 0.1， =3.14)(2)设ABC 滚动 240，C 点的位置为 C，ABC 滚动 480时，A 点的位置在 A，请你利用三角函数中正切的两角和公式 tan( + )=(tan +tan )(1-tan tan )，求出 CAC+CAA的度数参考答案