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1、a 、b1 1a 、P、b11ADVAA21122.3 抛体运动231、曲线运动的基本知识a1a2PRb12b1轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。图 2-3-1 表示一质点作曲线运动，它经过 P 点时，在 PO1图 2-3-1O2Q点 两 旁 的 轨 迹 上 取 两 点 ， 过三点可作一圆，当这两点无限趋近于 P 点时，则圆亦趋近于一个AVVAVBV1CVB图 2-3-22VB定圆，我们把这个圆叫 P 点的曲率圆，曲率圆的半径叫 P 点的曲率半径，曲率圆的圆心叫 P 点的曲率中心，曲率半径的倒数叫 P 点的曲率。如图 2-3-1，亦可做出 Q 点的曲率圆。曲率半径大，曲率小，表
2、示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为 是曲率半径为无穷大的曲线。质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图 2-3-2 所示，质点在时间内沿曲线由 A 点运动到 B 点，速度由 V 变化到 V ，则其速度增B量 为两者之矢量差，DV=V V ，这个速度增量又可分解成两个分量：在 BV 上取一段 AC 等于 V ，则分解成V 和，其中表示质点由 A B运动到 B 的速度方向上的增量， V 表示速度大小上的增量。法向加速度 a n 表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在 A 点的曲率圆的向心加速度：a =limnDt 0DV2Dta0其方向指向
3、 A 点的曲率中心。切向加速度 t表示质点作曲线运动时速度大 小改变的快慢，方向亦沿切线方向，其大小为a =limtDt 0DV V 21 = ADt RA总加速度 a 方法向加速度和切向加速度的矢量和。232、抛物运动是曲线运动的一个重要特例物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下 的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的 处理方法是 :将抛体运 动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。如图 2-3
4、-3。取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴。则抛体运动的规律为：a =0xa =-gyv =v cos q x 0v =v sin q y 0x =v cos qt01y =v sin qt - gt22其轨迹方程为y =xtgq-g2v 2 coso2qx20v = v 2 +( gt ) 2x =V t , y =gt 2 / 20a这是开口向下的抛物线方程。在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间 T，射程 R 和射高 H 分别为T =2v sin0gqR =v 2 s i n2q v 2 s i n2 0 H = 0g 2 gq抛体
5、运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹 角大小相等。下面介绍一种特殊的抛体运动平抛运动 ：质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动（速度为 v ）与竖直方向上的自由落体运动的合成。速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得：v =vx 0v =gty，其合速度的大小为 0 ，其合速度的方向为（设水平方向夹角为 ），可见，当 t 时，V gt ,q p/ 2，即表示速度趋近于自由落体的速度。
6、位移：仍按上述坐标就有， 。仿上面讨论也可得到同样 结论，当时间很长时，平抛运动趋近于自由落体运动。加速度：采用水平和竖直方向直角坐标系有,a =0, a =g x y，用自然坐标进行分解，如图 2-3-4 其法向加速度为a =g cos q n，切向加速度为a =g sin q t，为速度与水平向方的夹角，将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知：OV0xsinq=VyV=v20gt+g2t2VxanyVyg图 2-3-4VvV0v0v0vv0v0cosq=VxV=V20V0+g2t2由此可知，其法向加速度和切向加速度分别为：a =nVgV02 +g02 t 2a =tV20g 2 t+g2
7、t2由上两式可以看出，随着时间的推移，法向加速度逐渐变小趋近于零，切向加速度趋近于定值 g，这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到， 平抛物体的远处时就接近竖直下落了。运动的轨迹方程：gy = x2V 202从方程可以看出，此图线是抛物线，过原点，且 越大，图线张开程度大，即射程大。根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和 竖直方向上的竖直上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解分法。r抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿 方 r向的速度为 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由 落体运动二个分运动。A Bv0s C图 2-3-5h如图 2-3-5 所示，从 A 点
8、以 0 的初速度抛出一个小球，在离 A 点水平距离为 s 处有一堵高度为 h 的墙 BC，要求小球能越过 B 点。 问小球以怎样的角度抛出，才能使 最小？将斜抛运动看成是 方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图 2-3-6 所示。v0v tolDBh在位移三角形 ADB 在用正弦定理Aj图 2-3-6C20001gt 2v t 1= 0 =sin a sin b sin( a +b)轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数 t 便可得到直角坐标系中的平 抛运由式中第一个等式可得t =2v sin a0g sin b将式代入式中第二个等式2v 2 sin a l =g sin 2 b
9、 sin( a +b)2v20=gl sin 2 b sin( a +b)sin av 2 =0gl sin 2 b-cos(2a +b)+cosb当-cos(2 a +b)有极大值 1 时，即2a +b=p时， v0 有极小值。因为2a +b=p，2a +j+p2=p所以p 1a =- j4 21x =v cos at - g sin jt221y =v sin at - g cos jt22当小球越过墙顶时，y 方向的位移为零，由式可得t =2v sin a0g cos jBx式代入式：我们还可用另一种处理yv0 yv0ajv0 xgxAggy图 2-3-7C22v0方法以 AB 方向作为
10、 x 轴（图 2-3-7）这样一取，小球在 x 、y 方向上做的都是匀变速运动了，v0和 g 都要正交分解到 x 、y 方向上去。小球运动的方程为1x =v t - g t 2 ox x1y =v - g t 2 oy yx =v cos a02v sin a 10 - g sing cos j 2j(2v sin a0g cos j)2=2v sin a0g cos 2 j(cos a cosj-sin a sinj)=2v 20g cos 2jsin a cos(a +j)v 2= 0g cos2jsin(2 a +j)-sinjv 2 =0xg cos 2 j sin(2a +j)-sinj当sin(2a +j)最大，即2a +j=p2时，p 1a = - j4 2， 有极小值v 2 =xg cos 2 j/(1 -sin j) 0=xg cos2j(1 +sinj) /(1 -sin2j)=xg (1 +sin j)h =xg (1 + )x=g ( h + h2+s2)