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1、o线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线线垂直面面垂直1、若直线a与平面a,b所成的角相等，则平面a与b的位置关系是（ B）A、a/ / bB、 a 不一定平行于bC、 a 不平行于 bD、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABC -A B C 1 1 1,BAC =90o,又BC AC1,过C1作C H1底面 ABC，垂足为 H ，则 H 一定在（ B ） A、直线 AC 上 B、直线 AB 上C、直线 BC 上D、ABC 的内部3、如图示，平面a平面b，A a,B b, AB与两平面a,b所成的角分别为p p和 ，4 6过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A,B，则AB : AB=（ A
2、） A、2:1 B、3:1C、3:2 D、4:3Aa4、如图示，直三棱柱ABB -DCC1 1中，ABB =90 , AB =4 1,BABbC1BC =2, CC =11DC 上有一动点 P，则 APC 周长的最小值是1DB1C5.已知长方体ABCD -A B C D 中， A A =AB =2 1 1 1 1 1,AB若棱 AB 上存在点 P，使得 D P PC1的取值范围是 。,则棱 AD 长A1D1B1C1题型一：直线、平面垂直的应用AD CB1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点. 已知PA AC , PA =6，BC
3、=8，DF =5.求 证 ： (1)PA P 平面DEF 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。； (2)平面BDE 平面ABC 错误!未找到引用源。.证明： (1) 因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA 平面 DEF，DE 平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2) 因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，DE 1 1PA3，EF BC4.2 2又因 DF5，故 DF2DE2EF2，所以DEF90，即 DE 丄 EF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEF E，AC平面 ABC，EF平面
4、ABC，所以 DE平面 ABC. 又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，侧棱垂直于底面，AB BC，AA =AC =2 1，E、F分别为A C1 1、BC的中点.（1）求证：平面ABE 平面 B BCC1 1；（2）求证：C F /1平面ABE.证明：（1）在三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，BB 底面 ABC , BB AB , AB BC , AB 平面 B BCC , 1 1 1 1Q AB 平面ABE , 平面 ABE 平面 B BCC.1 1(2)取 AB 的中点 G，连接 EG，
5、FGQ E 、 F 分别为 A C 、 BC 的中点, FG P AC , FG =1 112AC,Q AC P AC ，AC =AC ，FG P EC ，FG =EC1 1 1 1 1 1,则四边形FGEC1为平行四边形， C F P EG ,Q EG 平面 ABE , C F 平面 ABE , C F P 平面 ABE 1 1 1.3 如图，P是DABC所在平面外的一点，且PA 平面ABC，平面PAC 平面PBC求证BC AC分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条 纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直证明：在平面PAC内作
6、AD PC，交PC于D因为平面PAC 平面PBC于PC，AD 平面 PAC ，且 AD PC ，所以 AD 平面PBC 又因为 BC 平面 PBC ，于 是有 AD BC 另外 PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，所以 PA BC 由及AD IPA =A，可知BC 平面PAC因为AC 平面PAC，所以BC AC说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直4. 过 点 S 引 三 条 不 共 面 的 直 线 SA 、 SB 、 SC ， 如 图 ，BSC =90，ASC =ASB =60，若截取SA =SB =SC =a(
7、1)求证：平面ABC 平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离分析：要证明平面ABC 平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明：SA =SB =SC =a，又ASC =ASB =60， DASB 和 DASC 都是等边三角形，AB =AC =a，取BC的中点H，连结AH，AH BC在 RtDBSC 中， BS =CS =a ， SH BC ， BC =2 a，AH 2 =AC 2 -CH 2 =a 2 -(2 a 2a) 2 =2 2，SH 2 =a 22在DSHA中，AH 2 =a 22，SH 2 =a 22，SA2=a2，SA
8、 2 =SH 2 +HA2，AH SH，AH 平面SBC AH 平面 ABC ，平面 ABC 平面 BSC 或：SA =AC =AB，顶点A在平面BSC内的射影H为DBSC的外心，又DBSC为RtD，H在斜边BC上，又DBSC为等腰直角三角形，H为BC的中点，AH 平面BSCAH 平面ABC，平面ABC 平面BSC(2)解：由前所证： SH AH ， SH BC ， SH 平面 ABC ， SH 的长即为点 S 到平面 ABC 的距离， SH =BC 2= a2 2，点S到平面ABC的距离为22a5、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于 ABCD 所在平面，过 A 且垂直于 SC 的平面分
9、别交SB、SC、SD 于 E、F、G，求证：AESB,AGSDSGFDECAB6.在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PCD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，已知底面是面积为2 3的菱形，ADC =60，M 是 PB 中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面 PAB平面 CDMPMCBDA7.在多面体 ABCDE 中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2， AE 面 ABC，AE/CD。 (1)求证：AE/平面 BCD；(2)求证：平面 BED平面 BCDEA DB C题型二、空间角的问题1. 如 图 示 ， 在 正 四 棱 柱ABCD -A B C D1 1 1 1中 ，ADCBEA1
10、FD1 GB1 C12AB =1, BB = 3 +1，E 为 BB 上使 B E =1 1 1 1的点，平面 AEC 交 DD 于 F，交1 1A D1 1的延长线于 G，求：（1）异面直线 AD 与 C G 所成的角的大小1（2）二面角A -C G -A 1 1的正弦值2.如图，点 A 在锐二面角 a-MN -b的棱 MN 上，在面 a 内引射线 AP ，使 AP 与 MN所成的角 PAM 为 45o，与面 b所成的角大小为 30o，求二面角a-MN -b的大小分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中 （最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解解：在射线
11、AP 上取一点 B ，作 BH b 于 H ，连结AH，则BAH为射线AP与平面b所成的角， BAH =30o再作BQ MN，交MN于Q，连结 HQ ，则 HQ 为 BQ 在平面 b内的射影由三垂线定理的逆定理， BQH 为二面角 a-MN -b的平面角HQ MN，设 BQ =a ， 在 RtDBAQ 中 ， BQA =90 o, BAM =45 o, AB =2 a , 在 Rt BHQ中，BHQ =90o,BQ =a , BH =22a, sin BQH =2aBH 2= =BQ a 2,1Q BQH 是锐角， BQH =45o,即二面角a-MN -b等于 45 o说明：本题综合性较强，在
12、一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角， 二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个 平面角的定义添加适当的辅助线3. 正方体ABCD -A B C D1 1 1 1的棱长为 1，P 是 AD 的中点求二面角A -BD -P 1的大小分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平 面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不 容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1再过P作AD1
13、的垂线PF，则 PF 面 ABD ，过 F 作 D B 的垂线 FE ， PEF 即为所求二面角的平面角了1 1解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EFAB 面 AD ，1PF 面 AD ，1 AB PF ，又 PF AD ， PF 面 ABD 1 1又PE BD1，EF BD1，PEF为所求二面角的平面角RtDAD D1DPFA，PF AP=DD AD1 1而AP =12，DD =11，AD = 21，PF =24在 DPBD 中， PD =PB =1 15 1 3 PE BD ， BE = BD =2 2 2在RtDPEB中，PE =PB 2 -BE 2 =22，在RtD
14、PEF中，sin PEF =PF 1=PE 2，PEF =304.PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面，M、E、N 分别是 AB、CD 和 PC 的中点，PNEoo（）求证：MN平面 PAD （）若二面角 PDCA 为p4，求证:平面 MND平面 PDC5.已知正方体中ABCD -A B C D1 1 1 1，E 为棱 CC 上的动点，1（1）求证： A E BD (2)1当 E 恰为棱 CC 的中点时，求证：平面 A BD 平面 EBD1 1（3）在棱CC1上是否存在一个点 E，可以使二面角A -BD -E 1的大小为45o？如果存在，试确定 E 在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，中心为 O。设PA 平面 ABCD，EC/PA,且 PA=2。问当 CE 为多少时，PO平面 BED。PEA BOD C2.已知ABC 中，BCD =90 , BC =CD =1,AB平面 BCD，ADB =60,E、F 分别是AC、AD 上的动点，且AE AF= =l(0 l1) AC AD（1）求证：不论 l为何值，总有平面 BEF平面 ABC （2）当 l为何值时，平面 BEF平面 ACD?