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1、正余弦定理的专项题型题型 1：利用正余弦定理判断三角形形状两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关 系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角 的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论例 1. 在中 ， a,b,c分 别 表 示 三 个 内 角 A,B,C的 对 边 ， 如 果( a2+b2)sin( A -B ) =( a2-b2)sin( A +B )，判断三角形的形状例 2.在ABC 中，已知a2 tan B =b 2tan A，试判断此三
2、角形的形状。【同类型强化】1.在 DABC 中,若a cos A =b cos B,试判断 DABC 的形状【同类型强化】2.（2010 上海文数）若DABC的三个内角满足sin A :sin B :sin C =5:11:13，则DABC（ ）A一定是锐角三角形.C一定是钝角三角形.B一定是直角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【同类型强化】3ABC 中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是 （ ）(A)等腰 (B) 等腰或者直角 (C)等腰直角 (D)直 题型 2：利用正余弦定理求三角形的面积三角形一般由三个条件确定，比如已知三边 a，b，c，或两边 a，b 及夹角
3、 C，可以将 a，b，c 或 a， b，C 作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组 等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中1例 3在DABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足(1)求ABC 的面积；(2)若 c1，求 a 的值例 4.(2010辽宁营口检测)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足43sin Acos A0，cos B ，b2 3.5(1)求 sin C 的值；(2)求ABC 的面积例 5.(2009安徽)在ABC 中，sin(CA)1，sin B13.(1)求
4、sin A 的值；(2)设 AC6，求ABC 的面积【同类型强化】 1. 在 ABC 中，已知角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，边 c =72，且tan A +tan B = 3 tan A tan B - 3 ，又 ABC 的面积为3 32，求 a +b 的值【 同 类 型 强 化 】 2. 在锐 角 三 角 形 中 ，边 a、 b是 方 程 x2-2 3x +2 =0 的 两 根 ， 角 A 、 B 满 足2sin (A+B)-3 =0 ，求角 C 的度数，边 c的长度及 ABC 的面积【同类型强化】3.（2009 湖北卷文）（本小题满分 12 分） 在锐角ABC 中
5、，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且3a =2 c sin A()确定角 C 的大小（）若 c7,且ABC 的面积为3 32,求 ab 的值。2ABC2【同类型强化】4.（2009 浙江理）（本题满分 14 分）在 DABC 中，角 A, B, C所对的边分别为a, b, c，且满足cosA 2 5=2 5，AB AC =3 （I）求DABC的面积； （II）若b +c =6，求a的值【同类型强化】5.（2009 北京理）（本小题共 13 分） 在 DABC 中，角 A, B , C的对边分别为a, b, c, B =p3，4cos A = , b = 35。（）求sin C的值；
6、 （）求DABC的面积.题型 3：与三角函数结合的综合问题三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中解三角形就是这样一种常见 而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础例 6. ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tan C sin(BA)cos C. (1)求 A，C；(2)若 33，求 a，c.，【同类型强化】(2009 山东卷)已知函数 f(x)2sin xcosj2cos xsin j sin x(0 j)在 x处取最小值(1)求j的值；(2)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边已知 a1，b2，f(A)32，求
7、角 C.300 0题型 4：实际问题例 7.(2009福建厦门调研)在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距离 A( 31)n mile 的 B 处有一艘 走私船，在 A 处北偏西 75的方向，距离 A 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追 截走私船此时，走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船？例 8.要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 1003米的 C、D 两地，并测得ADC=30ADB=45、ACB=75、BCD=45，A、B、C、D 四点在同一平面上，求 A、
8、B 两地的距离。【同类型强化】2.某海轮以 30 海里时的速度航行，在 A 点测得海平面上油井 P 在南偏东 60 ，向北航行 40 分钟后到达 B 点，测得油井 P 在南偏东 30 ，海轮改为东偏北 60 在航行 80 分钟到达 C 点，求 P、C 间的距离。4Dsin ADABC3 sin CDABCDABC42解三角形【2011 高考题再现】1.（山东理 17）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sin C 1cos A-2cosC 2c-a=cos B b（I）求 的值；II）若 cosB=4，b=2， 的面积 S。2.（江苏 15）在ABC 中，角 A、B、
9、C 所对应的边为a , b, c（1）若sin( A +p6) =2 cos A,1cos A = , b =3c求 A 的值；（2）若 ，求 的值.3.设 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，已知1a =1.b =2.cos C = .4（）求 的周长（）求cos (A-C)的值4.（湖南理 17）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosCp（）求角 C 的大小；（）求3sinA-cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小。5.（全国大纲理 17）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c己知 A-C=90
10、，a+c= b，求 C5DABC A.B.C（ a +b ）2D66 p33 pDABCDABC6.（陕西理 18）叙述并证明余弦定理。7.（浙江理 18）在 中，角所对的边分别为 a,b,c已知sin A +sin C =p sin B(p R),且1ac = b425p = , b =1（）当 4 时，求 a , c 的值；（）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围；1.（重庆理 6）若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足-c2=4，且 C=60，则 ab42的值为 A3B8 -4 3C 1 D32.（四川理 6）在 ABC 中sin2 A sin 2 B +sin 2C -sin B sin C则 A 的取值范围是pp ppA（0， B ， ）C（0， D ， ）3.（全国新课标理 16） 中，B =60 ,AC = 3,，则 AB+2BC 的最大值为_4.（福建理 14）如图，ABC 中，AB=AC=2，BC= 长度等于_。2 3，点 D 在 BC 边上，ADC=45，则 AD 的5.（北京理 9）在 中。若 b=5，B =p4，tanA=2，则 sinA=_；a=_。6