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1、知识巧学一、向量1. 数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量叫做 标量.2. 具有大小和方向的量称为向量.更具体一些，我们先把向量理解为“一个位移”或“一点相对 于另一点位置”的量.这是因为有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是这 样的量.显然，若用同样大小的力作用于一弹簧上，作用点不同，效果是不同的.有些向量是 只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量. 本章，我们所接触的向量，若无特别说明，都认为是自由向量 . 也就是说，本章所学的向量 只有大小和方向两个要素.学法一得 数学中的向量是由大小和方向唯
2、一确定的，是与起点无关的向量.也就是说，只 要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的.辨析比较 数量只有大小，是一个代数量，而向量不仅有大小，还有方向(两重性)；数 量能比较大小，而向量不能比较大小.例如，ab 没有意义，而|a|b|是有意义的；数量可 以进行代数运算，如数的加、减、乘、除运算，而向量只能按向量加法、减法的平行四边形 法则和三角形法则或向量数乘的运算律去运算.二、有向线段在物理学中，表示位移的最简单方法是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方 向，线段的长度表示位移的大小 .速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速 度和力的方向，线段的长度分别表示速度和力的大
3、小.1.定义：一般地，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，我 们说线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.显然，它的方向由 A 指向 B.2.表示方法：以 A 为起点，以 B 为终点的有向线段记作 前面.如图 2-1-3.AB.应注意始点一定要写在终点的图 2-1-33.有向线段的三要素：已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作|AB|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.显然有向线段的终点由它的起点、方向和长度 唯一确定.辨析比较 由向量与有向线段的组成要素可知，向量和有向线段是有区别的.但是当我们约 定有向线段的起点也是任
4、意的时候，它们就是相同的了.我们就可以说“向量就是有向线段， 有向线段就是向量”.三、向量的表示法1.用有向线段表示向量 .有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 .向量 AB 的长度(或称模)，记作|AB|.如图 2-1-4 所示.图 2-1-4a b规定了合适的比例尺后，平面上的向量就可以用有向线段来表示了.2.用字母表示向量.向量印刷时可用黑体小写字母如 a、b、c 来表示，书写用 、 、 c 来表 示，还可用表示向量的有向线段起点和终点的字母表示.四、两个特殊的向量1.零向量：长度(模)为 0 的向量，记作 0.零向量的方向是不确定的.误区警示 注意 0 与 0 的
5、区别：0 是一个向量，具有方向，而 0 是数量，没有方向. 2.单位向量：长度(模)为 1 个单位的向量叫做单位向量.显然，单位向量有无数个；单位向量 的大小相等；单位向量不一定相等.五、平行向量1.定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如图 2-1-5,a，b，c 是平行向量.图 2-1-5通常记作 abc.2.规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有 0a.六、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图 2-1-6，用有向线段表示的向量 a 与 b 相 等，记作 a=b.图 2-1-6对于相等向量的理解要注意以下几个问题：(1) 零向量与零向量相等，即 0=0.(2
6、) 任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. (3)由相等向量的定义可知，对一个向量，只要不改变它的大小和方向，可任意平移(自由向量的起点可任意选定).如图 2-1-7，容易看出： A B =A B =A B .1 1 2 2 3 3由以上分析，一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”.图 2-1-7学法一得 判断两个向量相等的唯一依据就是它的定义，即只需比较两个向量的模(有向线 段的长度)是否相等、方向是否相同，与它们所在的直线是否共线无关.七、共线向量由于任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量.如图 2-1-8
7、，a、b、c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在 l 上任 取一点 O，则可在 l 上分别作出 OA =a， OB =b， OC =c.图 2-1-8学法一得 任一向量都与它自身是平行向量，因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与 任一向量都是平行向量 . 由于平行向量的基线互相平行或重合，所以其方向相同或相反，向 量平行与直线平行不同，向量平行包括基线重合的情况，而直线平行一般不包含重合的情形. 典题 热题知识点一 向量例 1 指出下列概念是不是向量：(1) 作用于物体上的大小为 10 N，方向是南偏西 30的力；(2) 温度表中表示零上、零下的温度；(3) 物体 M
8、 沿东北方向移动了 8 m 的位移.思路分析：根据向量定义可以判别.解：(1)是向量.因为力是既有大小又有方向的量；(2) 不是.因为温度表可以用带正负号的实数来表示；(3) 是向量.因为位移是既有大小又有方向的量.知识点二 向量的表示法例 2 如图 2-1-9，在平行四边形 ABCD 中，用有向线段表示图中向量，正确的是( )图 2-1-9A. AD , AB , BC , DCC. DA , AB , BC , DCB. DA , BA , BC , DCD. DA , AB , CB , DC思路分析：向量可用有向线段来表示，箭头的指向是从向量的起点指向终点的方向. 答案：C知识点三 两
9、个特殊的向量例 3 把平面上一切单位向量的起点归结到同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 ( )A.一条线段 C.一个圆B.一段弧D.圆上一群孤立的点思路分析：因为单位向量的模是 1，所以它的终点到公共点的距离都是 1，符合圆的定义， 故选 C.答案：C知识点四 平行向量例 4 命题“若 ab，bc，则 ac”( ) A.总成立C.当 b0 时成立B.当 a0 时成立 D.当 c0 时成立思路分析：这里要作出正确选择，就要探求题中命题成立的条件.零向量与其他任何非零向量都平行，当两非零向量 a、c 不平行而 b=0 时，有 ab，bc，但这时命题不成立，故不能选择A， 也不能选择 B 与
10、D，只能选择 C.答案：C方法归纳 本例说明向量平行的传递性要成立，就需“过渡”b 向量不为零向量.事实上，在b0 的情况下：a0，c0 时，ab，a 与 b 同向或反向.又bc，b 与 c 同向或反向.a 与 c 同向或反向.ac.若 a 与 c 中有一个为零向量，则另一个无论为零向量还是不为零向量，均有 ac. 由以上可以确定 C 是正确的.例 5 如图 2-1-10，D、E、F 分别是 ABC 的三边 AB、BC、AC 的中点，写出与 DF 平行 的向量.图 2-1-10思路分析：线段 DF 是 ABC 的中位线，凡是与DF平行的有向线段都是与DF平行的向量.结合三角形中位线的性质可以得
11、出结论.解：与 DF 平行的向量有 DF 、EC.知识点五 相等向量例 6 (1)如图 2-1-11，D、E、F 依次是等 ABC 的边 AB、BC、AC 的中点，在以 A、B、C、D、E、F 为起点或终点的向量中，找出与向量DE相等的向量.图 2-1-11图 2-1-12(2)如图 2-1-12，设点 O 为正八边形 ABCDEFGH 的中心，分别写出与OA、OB、OC、OD相等的向量.思路分析：寻找相等向量，应写出给定向量的相等向量，应结合图形的几何性质，如三角形 中位线平行于底边且等于底边的一半等.先确定方向，再确定长度.解：(1)与 DE 相等的向量有 AF ， FC ；(2)与 OA
12、 相等的向量是 EO 与 OB 相等的向量是 DO ；与 OC 相等的向量是 GO ；与 OD 相等的向量是HO.方法归纳 在研究相等向量时，要充分利用平面图形的几何性质，如平行四边形的对边平行 且相等，对角线互相平分；三角形的中位线平行且等于底边的一半；梯形的中位线平行于两 底且它的长等于两底长的和的一半等.知识点六 共线向量与相等向量例 7 判断下列命题的真假.(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴是向量；(2) 若两个向量相等，则两个向量平行；(3) 向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一条直线上；(4) 向量的模是一个正实数；(5) 若|a|=|b|，则 a=b.
13、思路分析：判断上述命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目.解：(1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的. (2)由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所 以，此命题正确.(3)不正确.由 AB 与 CD 共线，可以推知 AB 与 CD 平行或共线，故不一定能断定 A、B、C、 D 在同一条直线上.此命题不正确.(4) 不正确.因为零向量的模是零.(5) 不正确.当 a 与 b 的方向不同时，a 与 b 一定不相等.例 8 试讨论以下几个问题：(1) 平面向量是否一定方向相同？(2) 共线向量是否一定相等？(3) 起点不同
14、，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量？(4) 不相等的向量，一定不平行.(5) 相等的非零向量，若起点不同，终点一定不相同.(6) 非零向量的单位向量唯一.解：(1)否，还可以方向相反.(2) 否，共线向量的方向相同或相反，大小不一定相等.(3) 是，因为向量与起点的位置无关.(4) 否，例如模不等的共线向量.(5) 对，可以用反证法证明.(6)不对，因为任一非零向量 a 的单位向量为a| a |.问题探究交流讨论探究问题 在初学本节时，由于受到实数学习中的负面影响，或相关概念理解不深，易发生一些 错误的判断，请问你们能不能归纳出一些常见的错误判断？探究过程：学生甲：由于向量可以用有
15、向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，方 向表示向量的方向，所以容易出现“向量就是有向线段”的错误判断.学生乙：在实数中，若|a|=|b|，则有 a=b 或 a=-b，受它的影响易出现“若|a|=|b|，则有 a=b 或 a=-b”的错误论断.学生丙：还有一条，由于实数中零书写的影响，容易出现“若|a|=0，则 a=0”的错误判断. 学生丁：由于零向量与任意向量平行，当b=0 时，不共线的两个非零向量 a、c 都与 b 平行， 即 ab，bc，但受平面几何知识的影响，就易出现“若 ab，bc，则 ac”的错误判断. 探究结论：在本节中易出的错误判断有：“向量就是有向线段”“若|a|=|b
16、|，则有 a=b 或 a=-b”“若|a|=0，则 a=0”“向量AB与向量CD是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上”“向量 AB 与向量 CD 平行，线段 AB 与线段 CD 平行”等错误判断.误区陷阱探究问题 “向量就是有向线段”这个观点是否正确？探究过程：在画图时，向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小(模)，有 向线段的方向表示向量的方向，因此，有向线段是向量的一种表示方法 .此外有向线段是一 个图形,它包括了起点、方向和长度三个要素，而向量是一个量,它只包含了方向和大小两个 要素.也就是说，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平移的.因此，用
17、 有向线段表示向量时可以任意选取起点.再有起点不同，长度相等和方向相同的两个有向线 段是不同的有向线段，但它们可以表示同一个向量.因此不能说向量就是有向线段.探究结论：“向量就是有向线段”这个观点是错误的.不能说向量就是有向线段，和向量相比， 有向线段多了起点这个要素.材料信息探究问题 向量又称矢量，最初被应用于物理学 .很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、 磁感应强度等都是向量，大约公元前 350 年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表 示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到 .那么向量又是如何进入数 学的？探究过程：“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段
18、.向量是一种带几何性质的量，除 零向量外，总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如，把所有实 系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量 .在这种情况下， 要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的 .这种空间中的向量比几何中的向量要 广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象.这样，就可以将线性代数方法应用到广阔的自 然科学领域中去了 .因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心 内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用 .而向量及其线性运算也为 “向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.探究结论：向量能够进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的.18 世纪末，挪威测 量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问 题与三角问题 .人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量 就这样平静地进入了数学.