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1、2020 中考数学突破与提升微专题 对称性质在最值问题中的应用 一模型解读类型一异侧线段和最小值问题【问题】两定点 A、B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使 PAPB 的值 最小【解决思路】根据两点之间线段最短， PAPB 的最小值即为线段 AB 的长连 接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求例 1.如图，等边 ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上的动 点，E 是 AB 边上一点，若 AE2，则线段 EFCF 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2类型二同侧线段和最小值问题【问题】两定点 A、B 位于直线 l 同侧，
2、在直线 l 上找一点 P，使得 PAPB 的 值最小【解决思路】将同侧的两定点转化为异侧问题，同类型一即可解决注：也可作 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 与直线 l 交于点 P.例 2. 如图，在 RtACB 中，ACBC4，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，在 CD 上找一点 P，使 PAPE 的值最小，则这个最小值为 _ 类型三同侧差最大值问题【问题】两定点 A、B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA PB|的 值最大【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边， |PAPB|AB，当 A，B， P 三点共线时，等号成立，即|PAPB|的最大值即为线
3、段 AB 的长连接 AB 并 延长，与直线 l 的交点即为点 P.例 3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，连接 AC，O 是 AC 的中点，M 是 AD 上一点，且 MD1，P 是 BC 上一动点，则 PMPO 的最大值为_类型四异侧差最大值问题【问题】两定点 A、B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA PB|的 值最大【解决思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决例 4. 如图，已知 ABC 为等腰直角三角形， ACBC4，BCD15，P 为 CD 上的动点，则 |PAPB| 的最大值为_ 类型五同侧差最小问题【问题】两定点 A、B 位于直线 l 同侧
4、，在直线 l 上找一点 P，使|PA PB|的 值最小【解决思路】当 PAPB 时，|PAPB|0.根据线段垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线与直线 l 的交点即为点 P.例 5. 如图，AOB 30，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点， OP 平分AOB，且 OP6，则PMN 周长的最小值为 _ 二真题反馈1. (2019 聊城)如图，在 RtABO 中，OBA90，A(4 ，4)，点 C 在边 AB AC 1上，且 ，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动 CB 3时，使四边形 PDBC 周
5、长最小的点 P 的坐标为( )5 5 8 8A. (2，2) B. ( ， ) C. ( ， ) D. (3 ，3)2 2 3 32.(2019 陕西)如图，在正方形 ABCD 中，AB8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的 中点，点 M 在 BC 边上，且 BM6，P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值 为_ 3. (2019 龙东地区)如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPAB1 S ，则 PCPD 的最小值为_ 2 PCD4.(2019 潍坊)如图，直线 yx1 与抛物线 yx24x5 交于 A，B 两点，点P 是 y
6、 轴上的一个动点，当PAB 的周长最小时， SPAB_ 5. 如图，矩形 ABCD 中，AB20，BC10，若在 AC，AB 上各取一点 M，N，使 BMMN 的值最小，则这个最小值为 _ 6.如图，在平面直角坐标系中， A(3，1)，B(1，3)，若 D 是 x 轴上一 动点，C 是 y 轴上的一个动点，求四边形 ABCD 周长的最小值是 _7. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，DAB60，E 是 AB 边上的一点，且AE1，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则 BEQ 周长的最小值为 _8.如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD6，AE4，AF2，点 G、H 分别在 BC、 CD 上，连接 FG、GH、HE、EF，则四边形 EFGH 周长的最小值为 _ .