《七年级数学下册22乘法公式平方差公式典型例题素材湘教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学下册22乘法公式平方差公式典型例题素材湘教版.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、平方差公式典型例题例 1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）(2m -3n )(3n -2 m)； （2）( -5xy +4 z )(-4y -5 xz )；（3）(b +c -a )( a -b -c )； （4）(8 x3-1 1xy 2 )( x 2 y +8 x 3 33)（5）( x -y +z )( -x +y +z )例 2 计算：（1）(2 x +3 y )(2 x -3 y)；（2）( -3a -5b)(3a -5b )；（3）( -x 2 -y 3 )( y 3 -x 2 )；（4）(4 y +3 x -5 z )(3 x -4 y +5 z )例 3
2、 计算( -y -3 xy )( -3xy +y )例 4 利用平方差公式计算 ：（1）19992001； （2）402 1393 3例 5 计算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)1 / 7例 6 计算：（1）(2 x -y )( y +2 x ) -2(3 x -2 y)( -2y -3 x) -(11x -3 y )(2 x -3 y )（2）( x +y )2 ( x -y ) 2 -( x -y )( x +y )( x 2 +y 2)例 7 计算：(x2+4)(x-2)(x+2)例 8 填空(1) (a+d)( )=d2-a2(2) (-xy-1)( )=x2y2-
3、1例 9计算(2 +1)(22+1)(24+1) K (22n+1)2 / 7参考答案例 1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分 完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式解：（1）两个二项式的两项分别是 2m ， -3n 和 -2m ， 3n. 两部分的符号都不相同， 没有完全相同的项，所以不能用平方差公式（2）这两个二项式的两项分别是-5 xy，4 z和-5 xz，4 y，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式（3） b 与 -b ， -a 与 a ， c 与 -c ，没有完全相同的项，不能用平方差公式（4）两个二项式中，8x
4、3 完全相同，但-1 1 xy 2 与 - x3 32y除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式（5）x与-x，y与-y，只有符号不同，z完全相同，所以可以用平方差公式可用平方差公式例 2分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这 几个题目都可以应用平方差公式进行计算解： （1）原式=(2 x ) 2 -(3 y ) 2=4 x2-9 y2（2）原式= -(3a +5b )(3a -5b)=-(3a)2-(5b )2=-(9a2 -25b 2)或原式=25b2 -9a 2
5、=( -5b +3a )( -5b -3a)=( -5b )2 -(3a ) 2=25b2 -9 a 2（3）原式=( -x2 +y 3 )( -x 2 -y 3)=( -x2)2-( y3)2=x 4 -y 63 / 7（4）原式=3 x +(4 y -5 z )3 x -(4 y -5 z )=(3 x) 2 -(4 y -5 z )(4 y -5 z )=9 x2-(16 y2-40 yz +25 z 2 )=9 x2-16 y2+40 yz -25 z2说明：1）乘法公式中的字母 a, b ，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公
6、式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式 标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式例 3 分析：本题有四种思路，它属于多项式乘法可以直接用法则计算若将原式整理为-(y +3 xy )( y -3 xy )可用平方差公式计算观察两因式中，都有-3 xy，又有互为相反数的两项，y和-y，也可以直接用平方差公式计算，可得( -3xy )2 -y 2可变形为-( -y -3 xy )(-y +3 xy )，得- y 2 -( -3xy ) 2 解：或( -y -3 xy )( -3xy +y )= -(y +3 xy
7、)( y -3 xy )=-y 2 -( -3xy ) 2 =-y 2 +9 x 2 y 2( -y -3 xy )( -3xy +y )=( -3xy ) -y (-3xy ) +y =( -3xy ) 2 -y 2=9 x 2 y 2 -y 2说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如( a +b )( -b +a )符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如( -a +b -c -d )( a -c +b +d )，两因式中都有 b -c ，并且 -a -d 与 a +d 互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即(b -c ) -( a +d )(b -c )
8、+( a +d )例 4 分析：运用平方差公式可使与例 2 类似的计算题变得十分简便运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法如第（1）题适合此法；（2）4 / 7803 3平均数法如第（2）题中，a =2 140 +39= =40.2 2解：（1）19992001=(2000 -1)(2000 +1) =2000 2 -12（2）240 3931 2 2 =(40 + )(40 - )3 3 3=4022 4 5 -( ) 2 =1600 - =1599 .3 9 9说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便例 5 分析：前两个相乘的多项式不符合平
9、方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算. 解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)=2a2-ab-4ab+2b2-(2a)2-b2 =2a2-5ab+2b2-(4a2-b2)=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2打括号说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、 乘、除等运算！例 6 分析：（1）中的(2 x -y )( y +2 x ), (3 x -2 y )( -2y -3 x)都可以利用平方差公式计算，(11x -3 y )(2 x
10、-3 y )可以利用多项式乘法法则计算（2）中的( x +y ) 2 ( x -y ) 2 可以逆用幂的运算法则，写成( x +y )( x -y )2再计算解：（1）原式=(2 x +y )(2 x -y ) +2(3 x +2 y ) (3x -2 y ) -(22 x2 -39 xy +9 y 2)=4 x2-y2+18 x2-8 y2-22 x2+39 xy -9 y2=-18 y 2 +39 xy5 / 72 2（2）原式=( x +y )( x -y )2 -( x 2 -y 2 )( x 2 +y 2)=( x 2 -y 2 ) 2 -( x 4 -y 4 )=( x2-y2)(
11、 x2-y2) -( x4-y4)=x4 -x 2 y 2 -x 2 y 2 +y 4 -x 4 +y 4=2 y 4 -2 x 2 y 2说明：（1）平方差公式积适用于( a +b )( a -b )类型的多项式乘法，其中a、b可以是数，也可以是单项式或多项式（2）逆用幂的运算法则，( x +y ) 2 ( x -y ) 2 =( x +y )( x -y )2是常用的解题技巧（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利 用平方差公式计算这些都是常用的解题技巧例 7 分析：
12、由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公 式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x2+4)(x-2)(x+2)=(x2+4)(x-2)(x+2)=(x2+4) (x2-4)=（x2）2-42用公式计算后的结果要打括号=x4例 8-16分析：根据平方差公式右边 a2-b2 中被减数中的 a 代表相同的项，而减数中的 b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中 d2-a2中的 d 在两个二项式中皆为正，而 a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含 xy 的项为 a，即相同的项，而含 1 的项为 b,即互为相反的项.解：（1）( a +d ) (d-a ) =d -a = = =（2）( -xy-1 ) (-xy +1 ) = xy -1=例 9分析：在式子前面添上(2 -1)，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的解：原式=(2 -1)(2 +1)(22+1)(24+1) L (22n+1)6 / 7=(22-1)(22+1)(24+1) L (2n+1)=(22n)2 -1 =2 22n-1 =42n-1.说明：添加问题时受益(2 -1)极富枝巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似7 / 7