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1、带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即12为静止状态。则粒子做匀速直线运动。（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。 （3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1 运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动2 其特征方程为：F F洛 向3三个基本公式：v2(1)向心力公式：q
2、vBm ；R(2)半径公式：Rmv；qB2m 1(3)周期和频率公式：T ；qB f(4)运动时间：t =q2pT =q2p2pm qm =qB qB( 用弧度作单位 )t =Lv1 只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动2 带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关 三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动 (往往有临界和极值问题 )(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个
3、速度移到共点时，关于直线轴对称。2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从 a 点沿 ab 方向垂直射入匀强磁场：若从 c 点射出，则圆心在 d 处若从 d 点射出，则圆心在 ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心 O 和运动轨迹圆心 O都在入射点和出射点连线 AB 的中垂线上。或者说两圆心连线 OO与两个交点的连线 AB 垂直。（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、
4、（4）作三角形（5）据半径公式求半径，1再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图 366 甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图 366 乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心(3)两条弦的中垂线(三点)：如图 367 所示，
5、带电粒子在匀强磁场中分别经过 O、A、B 三点时，其圆心 O在OA、OB 的中垂线的交点上(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图 368 所示，过入射点 A 做 v 垂线 AO，延长 v 线与切线 CD 交于 C 点，做ACD 的角平分线交 AO 于 O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利 用向心力公式求半径；二是： 利用平面几何知识 求半径。(一般构建直角三角形，利用勾股定理或几何关系求半径)其中，利用三角函数知识解题往往要结合两个有用的结论：1、圆心角( )等于速度
6、的偏向角( ) 2、圆心角等于弦切角的两倍求半径方法示例：R 2 =L2 +( R -d) 2R =dsinqR =rtana2R =LAB2sin q3、 确定圆心角的方法：（1）利用圆心角等于弦切角的两倍（2）利用圆心角等于速度偏向 角（3）四边形内角和为 360（4）N 边形的内角和为（N-2)x1804、 运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为 T,当粒子转过的圆心角为 时，其运动时间为：t =a3600T( 以“度”为单位)t =a2pT（ 以“弧度”为单位）或：t=L/v（L 为弧长）(三）、多解问题带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题有时要考虑多解。形成多解的原因有：
7、 1. 带电粒子电性不确定2. 磁场方向不确定3. 临界状态不惟一4、初始条件不确定25. 运动的重复性（四）、临界与极值问题形成原因：1. 入射点不确定引起的临界问题。2. 出射点不确定引起的临界问题。3. 入射速度方向确定、大小不确定，从而使得轨迹多样，并且出射点不确定，引起的临界问题。 4.入射速度大小确定，方向不确定，从而引起的临界问题（五）常用策略：-三种重要的模型模型 1：缩放圆：（入射点确定 ） 速度方向确定，大小不确定模型 2：旋转圆：（入射点确定 ） 速度大小确定，方向不确定模型 3：平移圆：速度大小、方向确定，入射点不确定三带电粒子在复合场中的运动1复合场：指电场、磁场和重
8、力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在， 分为如下四种情况： 相邻场； 重叠场； 交替场； 交变场从场的复合形式上一般可2 带电粒子在复合场中的运动分类： 静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受 为 零时，将处于静止状态或做匀速直线运动； 匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力 相 等， 相反时，带电粒子在 力的作用下，在垂直于 的平面内做匀速圆周运 动； 一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直 线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线； 分阶段运动：带 电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，运动情况随
9、区域发生变化，运动过程由几种不同的 运动阶段组成3 电场磁场同区域应用实例（速度选择器模型） 速度选择器：原理图如图所示，平行板中电场强度 E 和磁感应强度 B 互相垂直这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是 qE = qv B，即 v = 0 0 磁流体发电机：原理图如图所示，磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能根据左手定则，如图中的 B 是发电机 极磁流体发电机两极板间的距离为 l，等离子体速度为 v，磁场磁感应强度为 B，则两极板间能达到的最大电势差 U = 电源电阻 r = l/S，外电阻 R中的电流可由闭
10、合电路欧姆定律求出，即 I = E/(R + r) = BlvS/(RS + l) 电磁流量计：原理图如图所示，圆形导管直径为 d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷（正、负离子），在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b 间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差就保持稳定，即：qvB= qE = qU/D，所以 v = ，因此液体流量所以 Q = vS = 霍尔效应：原理图如图所示，在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方322向上出现了电势差，这种现象称为霍尔效应所产
11、生的电势差称为霍尔电势差当达到稳定状态时， 都存在电场力和洛伦兹力平衡的关系，即 qU/d = qvB，霍尔电势差 U = 4.电场和磁场分区域存在的实例(1)质谱仪组成：离子源 O，加速场 U，速度选择器（E，B），偏转场 B2，胶片。原理：加速场中 qU=mv选择器中：偏转场中：d2r，qvB mv /r2比荷：质量作用：主要用于测量粒子的质量、比荷、研究同位素。(2)回旋加速器组成：两个 D 形盒，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电压 U 作用：电场用来对粒子（质子、氛核，a 粒子等）加速，磁场用来使粒子回旋从而能反复加速高能粒子是研究微观物理的重要手段。要求：粒子在磁场中做圆
12、周运动的周期等于交变电源的变化周期关于回旋加速器的几个问题：(1)D 形盒作用：静电屏蔽，使带电粒子在圆周运动过程中只处在磁场中而不受电 场的干扰，以保证粒子做匀速圆周运动。（2） 所加交变电压的频率 f = 带电粒子做匀速圆周运动的频率：（3） 最后使粒子得到的能量， ，在粒子电量、质量 m 和磁感应强度 B 一定的情况下，回旋加速器的半径 R 越大，粒子的能量就 越大。【注意】直线加速器的主要特征。如图所示，直线加速器是使粒子在一条直线装置上被加速。 5、外切圆与内切圆问题1、从同一点垂直匀强磁场射入的两个粒子，在入射点处轨迹相切，过切点的两个半径一定共线如果带同种电荷-入射速度方向相同，
13、轨迹内切；入射速度方向相反，轨迹外切；如果带异种电荷-入射速度方向相反，轨迹内切；入射速度方向相同，轨迹外切；2、同一粒子先后进入相邻两磁场时，在交界点处，轨迹相切。半径共线磁场同向时，轨迹内切磁场反向时，轨迹外切二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发 射点旋转的半径相同的动态圆（如图 7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。4例 3如图 8 所示，S 为电子源，它在纸面 360度范围内发射速度大小为 v ，质量为 m，电量为 q 的0电子（q0），MN 是一块足够大的竖直挡板，与 S 的水平距离为 L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀
14、强磁 场，磁感应强度大小为 mv /qL，求挡板被电子击中的范围为多大？0解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕 S 点旋转的动态圆，且动态圆的每一个 圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图 9 所示，最高点为动态圆与 MN 的相 切时的交点 P，最低点为动态圆与 MN 相割，且 SQ 为直径时 Q 为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由得：SQ 为直径，则：SQ=2L，SO=L ，由几何关系得：P 为切点，所以 OPL ，所以粒子能击中的范围为 三、缩放圆法。带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作 半径随着速度的变
15、化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。例 5如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为 B，宽度为 d，一电子 直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为，已知电子的质量为 m， 使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。圆周运动的 12 ），利用从左边界垂 电量为 e，要5解析：如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越 大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右 边 界 射 出 ， 设 此 时 的 速 率 为 v ， 带 电 粒 子 在
16、 磁 场 中 作 圆 周 运 动 ， 由 几 何 关 系 得 ： r+rcos 0=d电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力： ，所以： 联立解得： ，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于 。 例 6（2010 全国 II 卷）如图 15 所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为 d，电压为 U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为 B ，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为 a 的正三角形0区域 EFG（EF 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直 纸面向里。假设一系列电荷量为 q 的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同
17、 一方向射出金属板间的区域，并经 EF 边中点 H 射入磁场区域。不计重力。（1） 已知这些离子中的离子甲到达边界 EG 后，从边界 EF 穿出磁场，求离子甲的质量；（2） 已知这些离子中的离子乙从 EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且 GI 长为 3a/4，求离 子乙的质量；（3） 若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场 边界上什么区域内可能有离子到达？解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB =qU/d，解得离子的速度0为：v=U/B d（为一定数值）。0虽然离子速度大小不变，但质量 m 改变，结合带电离子在磁
18、场中做匀速圆周运动的半径公式 R=mv/qB 分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图 16 中的动态圆。（1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图 17 中的半圆，半圆与 EG 边相切于 A 点，与 EF 边垂直相交于 B 点，由几何关系可得半径：R =acos30tan15=（ ）a，甲6从而求得离子甲的质量 m = 。甲（2）离子乙的运动轨迹如图 18 所示，在EIO 中，由余弦定理得：2，解得 R =a/4， 乙从而求得乙离子的质量 m = 。乙（3）由半径公式 R=mv/qB 可知 Rm，结合（1）（2）问分析可得：若离子的质量满足 m /2mm ，则所有离子都垂直 EH 边离开磁场，离开磁场的位置到 H 的距甲 甲离介于 R 到 2R 之间，即 ；甲 甲若离子的质量满足 m mm ，则所有离子都从 EG 边离开磁场，离开磁场的位置介于 A 到 I 之间，甲 乙其中 AE 的距离 AE= ，IE 距离 IE= 。7