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1、nnn nnn5323第 82 炼 求二项式展开后的某项一、基础知识：1、二项式(a+b)(nN*)展开式(a+b)n=C0nan+C1na n -1b +C 2na n -2b2+Crna n -r br+Cnnbn，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）(a+b)完全展开后的项数为(n+1)（2）展开式按照a的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，a , b的指数呈此消彼长的特点。指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a，右边的项为b，比如：(x+1)与(1+x)虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
2、如果是(a-b)，则视为 a+(-b)n进行展开（4）二项展开式的通项公式Tr +1=Crna n -r br（注意是第 r +1 项）2、二项式系数：项前面的C 0 , C 1 , n n, Cnn称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于(a+b)可看作是 n 个 (a+b)相乘，对于an -rbr意味着在这n个(a+b)中，有(n-r)个式子出a，剩下r个式子出b，那么这种出法一共有Crn种。所以二
3、项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的Crn，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：(2x+1)展开式中第三项为T =C 23 5(2x)12，其中 C 为该项的二项式系数，而 5T =C 23 5(2x)12=80x3化简后的结果 80 为该项的系数53n nnnr rnnrr +1n n(n（2）二项式系数与系数的概念不同，但在
4、某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如(x+1)展开式的第三项为T =C 2 (x)12 3 5，可以计算出二项式系数与系数均为 103、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如2 x 2,15x就是有理项，而3x , 5 x就不是有理项。4、(a+b)与(a-b)的联系：首先观察他们的通项公式：(a+b)：Tr +1=C r a n -r b r n(a-b)：T =C r a n -r (-b)=(-1)Cran-rbr r +1 n n两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑(
5、a-b)系数的绝对值问题时，可将其转化为求(a+b)系数的问题5、二项式系数的最大值：在C 0 , C 1 ,n n, Cnn中，数值最大的位于这列数的中间位置。若n为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如n =5 时，最大项为C 25=C 35，若 n 为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如n =6时，最大项为C36证明：在C 0 , C 1 , n n, Cnn中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为Crn，则有CrCr-1 n nCC n ! n!r!(n-r)! (r-1)!n-(r-1)! n ! n !r! n -r )! (r+1)!n-(r+1)!1 1
6、r n +1 -r 1 1 n-r r +1 所以解得： r r n +12 n -1 n +1 即 r n -1 2 2 2所以当n为奇数时（n =2 k -1），不等式变为k -1 r k，即r =k -1或r =k为中间项当n为偶数时（n =2k），不等式变为k -1 1 r k +2 2，即r =k为中间项6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要 计算所得，大致分为两种情况：(_+_)型：不妨设项Tr +1的系数为Pr +1，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要82 3 x2r1-x =32r21 6 78862- =723 x比相邻项大，所
7、以有 P Pr +1 rP P r +1 r +2，再根据通项公式代入解不等式即可(_-_)n型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。即 P P r +1 r -1P P r +1 r +3，在运算上较为复杂；一种是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为(_+_)n的最大值问题，然后在考虑符号确定系数最大值。x 1 例 1：二项式 - 展开式中的常数项是_ 方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令x的指数为 0，求出r的值再代入计算即可解：Tr +1=C r8x 8-r 1 8-r(-1)Crx8-r8x
8、1- r3依题意可得：18 -r - r =0 r =6 3常数项为T = (-1)C6=7 2 x 1 方法二：思路：对 - 中的 8 个2 3 x x 1-2 3 x因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出x21，六个式子出 - 相乘，3 x所以常数项为：C 28x 1 答案：7小 炼 有 话 说 ：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式， 先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出r 的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方 案，将其作为一个组合问题求解。3xx -x-
9、x3 473r r=C rax a93 493例 2：在 x 2+1x6的展开式中， x 的系数是_思路一：考虑二项展开的通项公式：Tr +1=C r (x2)6-r(x-1)r=Crx6 62(6-r)-r=C r x12 -3r 6由所求可得：12 -3r =3 r =3 T =C436x3=20 x3思路二：可将其视为 6 个因式出项的问题，若要凑成x3，需要3个x2，3个1x所以该项为：C 3 (x2)3 61 3=20 x3答案：20小 炼 有 话 说 ：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式，结合条件求出r的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排
10、出项的问题。例 3：若二项式 1 7的展开式中的第四项等于 7，则x的值是_思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：Tr +1=C r x77 -r 1 r，第四项中r =3， 1 T =C 3 x 4 - =7 x ，解得：x =-15答案：x =-15例 4：已知 1 x + ax 921的展开式中 x 项的系数为 - ，则实数 a 的值为_2思路：先利用通项公式求出 x 3 的项，在利用系数的条件求出 a 的值即可解：Tr +1=C r x99-r1 1 x9-2r 9 - 2r = 3 r = 31 84 T =C 3 x 3 = xa aa =-2答案：38 4 2 1
11、 = - aa3 2=2-例 5：已知二项式2( x + )xn的展开式中各项二项式系数和是 16，则展开式中的常数项是_思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定 n 的取值，先利用二项式系数和求出 n ：2n=1642 1 1x24r-2即 n =4 ，再求 ( x + )x4展开式的常数项为 C24x22x2=24答案：24例 6：(1+x+x2)(1-x)5的展开式中，x4项的系数为_思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得子切入进行分类讨论（以(1+x+x2)为例）x4，不妨从其中一个式1：(1+x+x2)出1，则(1-x)5出x4，该项为：1C4 1(-x)=5x
12、542：(1+x+x2)出x，则 (1-x)5出x3，该项为：x C3 125(-x)3=-10x43：(1+x+x2)出x2 ，则 (1-x)5出x2，该项为：x2 C2 135(-x)=10x4综上所述：合并后的 x 4 项的系数为 5例 7：(x2-x +1)10展开式中x3项的系数为（ ）A.-210B.210C.30D.-30思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为 10 个因式如何分配所出项的问题： 若要凑成 x 3 有以下几种可能：（1）：1 个 x 2 ，1 个(-x)，8 个 1，所得项为：C 1 x 2 C1(-x)C818=-90x3 10 9 8（2）：3 个
13、(-x)，7 个 1，所得项为：C 3 (-x)3C717=-120x3 10 7所以 x 3 项的系数为 答案：A-210例 8：二项式 1 4 x + x 24展开式中，有理项的项数共有（ ）项A.3B.4C.5D.7思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手：24 24 -r4 x + =C r x 4 1 x 2 =C r24x36- r4，其中r =0,1, 2, 24 ， r 的取值只需要让6 -34r Z，则r =0,4,8,12,16,20,24，所以共有 7 个有理项888-r8 P P8-r r()C()C1 22 8-r 2 9 -rr 9 -r( ) (
14、)( )19小 炼 有 话 说 ：在整理通项公式时可将 简。x的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化例 9：二项式(2x+1)展开式中系数最大的项为_思 路 ： 考 虑(2x+1)展 开 式 的 通 项 公 式 为Tr +1=2 8 -r C r x 8 -r 8， 其 系 数 设 为Pr +1， 即P =2 8 -r C r r +1 8，若要Pr +1最大，则首先要大于相邻项，即 P Pr +1 rP P r +1 r +2，代入解得 r的范围即可确定出 r 的值，从而求出该项解：Tr +1=C r (2x) 81r =2 8 -r C r x 8-r8设Tr +1项的系数为P =2
15、 8 -r C r r +1 8若Pr +1 最大，则 P P 28-rCr2 r +1 rr +1 r +2 2C8 28-8-r -1 r -1 8r +1 r +18 8! 8! r !(8-r)! (r-1)!(9-r)!8! 8! 2 1 2 8-r 2 7 -r r ! 8 -r ! r +1 ! 7 -r ! 8-r r +1解得：2 r 3 r =2 或 r =3经检验：系数最大的项为T =T =1792 x 3 45答案：1792 x5例 10 ： 已 知g (x)=0a +1a +x22a +x+ 1, 0 a()x 1 0h= x0+ b +b1，x9+若9b x(1+x
16、)(1-2x)19=(1-x)10g(x)+h(x)，则a9=（ ）A.0B.10 219C.-10 218D.-3218思路：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在(1-x)10g(x)中，与a9相关的最高次项为x19 ，故以此为突破口求 a ，等式左边 x199的系数为(-2)19+C18(-2)1819，而右边x19的系数为a +a C9 (-1)9，所以a +a C9 (-1)9=(-2)19+C189 10 10 9 10 10 19(-2)18，只需再求出a10即可，同样选取含 a 的最高次项，即 x 20 ，左边 x 20 的系数为10(-2)，右边x 20 的系数为a10，所以a =(-2)19 10。从而可解得a =-3218 9答案：D小 炼 有 话 说 ：求a9选择以哪项作为突破口很关键，要理解选最高次项的目的是为了排除其他系数的干扰，如果选择项的次数较低，则等式中会出现a , a ,1 2, a 甚至 b (i=1,2, ,9 8 i)，不便于求解。本题选择 x 19这项时，仅仅受到 a 的干扰，再寻找与 a 的相关项（最高次项）10 10即可解决。