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1、242规律探索类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了 “一尺之棰，日取其半，万世不竭 ” 这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其 1 1长为 尺，第二天再折断一半，其长为 尺，第 n 天折断一半后得 到的木棍长应为_尺12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律， 第 9 行从左至右第 5 个数是_第 2 题图41【解析】由图形可知，第 n 行最后一个数为 123nn（n1）2，第 8 行最后一个数为892 366，则第 9 行从左至右第 5 个数是 365 41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：41 122 222 22
2、22 2222 3n2 2 3 3 3 n n2 3223646464第二个式子：42 3第三个式子：43 5223根据上述规律，则第 2019 个式子的值是_8075 【解析】41 1 3，42 3 7，43 5 11，4n (2n1) 4n1，第 2019 个式子的值是 4201918075.1 1 14. 将数 1 个 1，2 个 ，3 个 ，n 个 (n 为正整数)顺次排成一列：1 1 1 1 1 1 1 1 11， ， ， ， ， ， ， ，记 a 1，a ，a ，S1 21a ，S a a ，S a a a ，S a a a ，则 S 1 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 n
3、_2019633641【解析】根据题意，将该数列分组，1 个 1 的和为 1，2 个 的1和为 1，3 个 的和为 1，；123632016 个数，则第1 12019 个数为 64 个 的第 3 个数，则此数列中，S 1633 2019363 .类型二 图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次 OAB 变换 OA B ，第1 1二次 OA B 变换 OA B ，第三次 OA B 变换 OA B ，1 1 2 2 2 2 3 3nn已知 A(1，3)，A (2，3)，A (4，3)，A (8，3)，B(2，0)，B (4，0)，B (8，1 2 3 1 20)，B (16，0)观察每次变换
4、前后的三角形的变化，按照变换规律， 3则点 A 的坐标是_n(2n第 5 题图，3) 【解析】A(1，3)，A (2，3)，A (4，3)，A (8，3)，1 2 3纵坐标不变，为 3，横坐标都和 2 有关，为 2 ，即点 An 的坐标是(2 ， 3)6. 如图，把正方形铁片 OABC 置于平面直角坐标系中，顶点 A 的坐标为(3，0)，点 P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 90，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，则正方形铁片连续旋转 2019 次后，点 P 的坐标为 _第 6 题图(6058，1) 【解析】铁片 OABC 为正方形，A(3，0
5、)，P(1，2)，2正方形铁片 OABC 的边长为 3，如解图第一个循环周期内的点 P ，P ，1 2P ，P 的坐标分别为 (5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个 3 4循环，对应的点的横坐标就增加 12.而 201945043，即 504 个循环周期后点 P 的横坐标为 5041216049，纵坐标为 2，所以2016点 P 的横坐标为 604996058，纵坐标为 1.故 P (6058，1) 2019 2019第 6 题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O ，1O ，O ，组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线
6、 2 3向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 2019 秒时，点 P 的坐标是 _第 7 题图(2019，1) 【解析】圆的半径都为 1，半圆的周长，以时间为点 P 的下标观察发现规律：P (0，0)，P (1，1)，P (2，0)，P (3，0 1 2 31)，P (4，0)，P (5，1)，P (4n，0)，P 4 5 4n 4n1(4n1，1)，P4n2(4n2，0)，P4n3(4n3，1)201945043，第 2019 秒时，点 P 的坐标为(2019，1)8. 如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点 O逆时针旋转，每秒旋转 45，则第 60 秒时
7、，菱形的对角线交点 D 的坐 标为_第 8 题图(1，1) 【解析】菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，BO与 x 轴的夹角为 45，菱形的对角线互相垂直平分，点 D 是线段OB 的中点，点 D 的坐标是(1，1)，菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45，360458，每旋转 8 秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，60874，第 60 秒时是把菱形绕点 O 逆时针旋转了 7 周回到原来位置后，又旋转了 4 秒，即又旋转了 445180，点 D 的对应点落在第三象限，且对应点与点 D 关于原点 O成中心对称，第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为(1， 1
8、)9. 如图，MON60，作边长为 1 的正六边形 A B C D E F ，边 A B 、1 1 1 1 1 1 1 1F E 分别在射线 OM、ON 上，边 C D 所在的直线分别交 OM、ON 于 1 1 1 1点 A 、F ，以 A F 为边作正六边形 A B C D E F ，边 C D 所在的直 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2线 分 别 交 OM 、 ON 于 点 A 、 F ， 再 以 A F 为 边 作 正 六 边 形3 3 3 3A B C D E F ，依此规律，经第 n 次作图后，点 B 到 ON 的距离 3 3 3 3 3 3 n22n1n12是_3n1
9、第 9 题图3 【解析】由题可知，MON60，设 B 到 ON 的距离为 h ，n n正六边形 A B C D E F 的边长为 1，A B 1，易 A OF 为等1 1 1 1 1 1 1 1 1 13边三角形，A B OA 1，OB 2，则 h 2 3，又OA1 1 1 1 1 23A F A B 3，OB 6，则 h 6 3 3，同理可得：OB 2 2 2 2 2 2 3318，则 h 18 9 3，依此可得 OB 23 ，则 h 23 3 n n323n13.B 到 ON 的距离 h n n3n13.10. 如图，正方形 AOBO 的顶点 A 的坐标为 A(0，2)，O 为正方形 AO
10、BO2 1 2的中心；以正方形 AOBO 的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形2ABO A ，O 为正方形 ABO A 的中心；再以正方形 ABO A 的对角线 3 1 2 3 1 3 1A B 为边，在 A B 的右侧作正方形 A BB O ，O 为正方形 A BB O 的 1 1 1 1 4 3 1 1 4中心；再以正方形 A BB O 的对角线 A B 为边，在 A B 的右侧作正方1 1 4 1 1 1 1101010092 3n1nn11n 1n 1n2 2n10101009形 A B O A ，O 为正方形 A B O A 的中心；按照此规律继续下 1 1 5 2 4 1 1 5 2去，则点 O 的坐标为_2018第 10 题图(2 2，2 ) 【解析】由 A (0，2)和 A (2，4)可知直线 AA 的解析1 1式为 yx2，由图可知点 A ，A ，A 的纵坐标分别为 2 ，2 ，1 2 n2 ，将 y21代入 yx2，得 2 x2，x2n 2，点A 的坐标为(2 2，2 nn1)，由图可知 O 横坐标与 A 的横坐标相同，2n n1O 纵坐标是 A 的纵坐标的 ，O 的坐标为(2 2，2 )，当 n 2n n1009 时，O 的坐标为(2 2，2 )2018