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1、 32 122211 12求圆的方程【例 1】 求圆心在圆x y22 上，且与 x 轴和直线 x 都相切的 圆的方程解设圆心坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆 3x 2y22 在直线 x 的右侧，且所求的圆与 x 轴和直线 x2 都相切，所以 a 2 2.所以 ra12，r |b|.又圆心(a，b)在圆 3x 2y22 上，212222所以 3a 2ra ， b22，联立r|b|，a322b22.解得1a ，r1，b1.所以所求圆的方程是 1x 2(y1)21，或 1x 2(y1)21.1求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数 法解题2采用待定系数
2、法求圆的方程的一般步骤(1) 选择圆的方程的某一形式(2) 由题意得 a, b, r(或 D, E, F)的方程(组)(3) 解出 a, b, r(或 D, E, F)(4) 代入圆的方程1已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且与直线 4x 3y290 相切，求圆的方程解设圆心为 M(m，0)(mZ )，由于圆与直线 4x3y 290 相切，且半径为 5，36所以|4m29|55，即 |4m29| 25，因为 m 为整数，故 m1，故所求圆的方程为(x 1)2y225.直线与圆的位置关系【例 2】 已知直线 l：2mxy8m30 和圆 C：x2y26x12y200.(1)
3、 mR 时，证明 l 与 C 总相交；(2) m 取何值时，l 被 C 截得的弦长最短，求此弦长解(1)直线的方程可化为 y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点 P(4, 3)由于 42(3)26412(3)20150 ，所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交(2)如图，当圆心 C(3, 6)到直线 l 的距离最大时，线段 AB 的长度最短此时 PCl，所以直线 l 的斜率为1 1 ，所以 m .在APC 中，|PC| 10，|AC|r5，所以 |AP|2 |AC |2 |PC |2251015，所以 |AP| 15，所以|AB |2 15， 即最短弦长为 2 15.1 21 21
4、1 2121k21 212直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单2已知圆 C 关于直线 xy20 对称，且过点 P(2, 2)和原点 O.(1) 求圆 C 的方程；(2) 相互垂直的两条直线 l ，l 都过点 A(1, 0)，若 l ，l 被圆 C 所截得弦长 相等，求此时直线 l 的方程解(1)由题意知，直线 xy20 过圆 C 的圆心，设圆心 C(a, a2)由题意，得(a2)2(a22)2 a2(a2)2 因为圆心 C(2，0)，半径 r2，解得 a2.所以圆 C 的方程
5、为(x2)2y24.(2)由题意知，直线 l ，l 的斜率存在且不为 0，设 l 的斜率为 k，则 l 的斜率为，k所以 l1：yk(x1)，即 kxy k0，1l ：y (x1)，即 xky10.由题意，得圆心 C 到直线 l，l 的距离相等，所以|2k k| k21|21| k21，解得 k1，所以直线 l【例 3】1的方程为 xy10 或 xy10.圆与圆的位置关系已知圆 C ：x2y24x4y50 与圆 C ：x2y28x4y70.12121221 21 22(1)证明圆 C 与圆 C 相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程解
6、(1)把圆 C 与圆 C 都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)2 13，(x4)2(y2)213.圆心与半径长分别为 CC (4，2)，r 13.1(2，2)，r 13；因为 |CC | （24）2（22）2 2 13rr ，所以圆 C1与圆 C 相切由x2y24x4y50， x2y28x4y70，得 12x8y120，即 3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程 (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得 43.所以所求圆的方程为 x2y24x4y543(3x2y3) 0，即 x2y28x203y90.判断两圆位
7、置关系的两种比较方法：(1) 几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较 ，得到两圆位置关系(2) 代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题 ，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出12121 2121 22 2 22 2a 3a 4 4 a 2 42 424外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系3已知圆 C ：x2y26x70 与圆 C ：x2y26y270 相交于 A, B两点，则线段 AB 的中垂线方程为_xy30 AB 的中垂线即为圆 C 、圆 C 的连心线 C C
8、 . 又 C (3，0)， C (0，3)，所以 C C 所在直线的方程为 xy 30.空间中点的坐标及距离公式的 应用【例 4】如图，已知正方体 ABCD-AB C D 的棱长为 a，M 为 BD的中点，点 N 在 A C上，且|AN |3|NC |，试求|MN|的长解由题意应先建立坐标系，以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B(a，a，0)，A (a，0，a)，C (0，a，a)，D(0，a a a a a 0，a)由于 M 为 BD 的中点 ，取 A C的中点 O，所以 M， ， ，O， ，a. 因为 |A N |3|NC |，所以 N 为 AC 的四等
9、分点 ，从而 N 为 OC的中点 ，故 N， ，a. 根据空间两点间的距离公式，可得 |MN|a a2 a 3a2 a 2 6 a. 1 1 111 1111求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1) 求空间两点间的距离时 ， 一般使用空间两点间的距离公式 ， 应用公式的 关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标(2) 确定点的坐标的方法视具体题目而定 ，一般说来，要转化到平面中求解， 有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定4如图所示，直三棱柱 ABC-A B C 中，|C C|CB |CA|2，ACCB， D，E 分别是棱 AB，B C 的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度解以点 C 为坐标原点，CA、CB、CC 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C C | |CB | |CA|2，C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B (0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，|DE |（ 10）2（11）2（02）2 5，|EF|（01）2（10）2（20）2 6.