《质点运动学典型例题2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《质点运动学典型例题2.doc（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、求解风吹气球时气球的运动情况一气球以速率从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按增大，其中b是正的常量，y是从地面算起的高度，x轴取水平向右的方向。试计算：(1) 气球的运动学方程；(2) 气球水平飘移的距离与高度的关系；(3) 气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。解：（1）取平面直角坐标系x0y，如图一，令t=0时气球位于坐标原点（地面），已知，显然，有 （1）而对上式积分，得到 （2）故气球的运动学方程为：.(2)由（1）和（2）式消去t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系（3）气球的运动速率气球的切向加速度而由和可得由，求得小船船头恒指向某固定点的过河
2、情况一条笔直的河流宽度为d，河水以恒定速度流动，小船从河岸的A点出发，为了到达对岸的O点，相对于河水以恒定的速率V（Vu）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向O点，如图一，已知试求：小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的对面（即），结果又如何？解：选定极坐标系，原点为O点，极轴为。在任一时刻t，小船的位置为（），小船速度的径向分量和横向分量 两式相除，得到分离变量，积分后，得到既 这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。若O点刚好在A点的对面，则，代入，得求解小环对地的运动情况一细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设时小环位于杆的端点O
3、，求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。解：本题采用极坐标系较为方便。取t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点O.任意时刻t，小环的位置.这就是小环在极坐标系中的运动学方程。消去t，便得小环的轨迹方程：式中为常量，与成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。在任意时刻，小环的径向速度横向速度 速度的大小 速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径向速度的大小不变，横向速度随r的增大而增大。任意时刻，小环的加速度，和为径向和横向的单位矢量，则既径向加速度横向加速度.加速度的大小为尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。即使u=0,小环停在
4、半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。求解烟对船的速度当蒸汽船以15km/h的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。过一会儿，船以24km/h的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向。若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求：风速。（烟对地的速度即风对地的速度。）解：设风速为V，则人观察到烟的飘向速度为由图一所示，可知 （1） （2）由（2），得到将（1）代入上式，得到 得到， 即风来自西偏南
5、，风速大小为17.5km/h.运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间 一架飞机由A处向北飞往B处，然后又向南飞回A处。已知A、B相距为L，飞机相对于空气的速度为V，而空气相对于地面的速度（即风速）为u，其方向为北偏西角，求：飞机往返一次的飞行时间。解：由分析可知，为了使飞机相对于地面的速度的方向指向正北。飞机相对于空气的速度V必须北偏东角，如图一所示。由上面的矢量式，得到 消去，得到所以往程所需时间为 当飞机由B返回A时，三者的关系如图二所示。同样可得， 消去，得到所以返程所需时间为则所求时间可求。运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为=1kg的板，板与桌面之间的摩擦因数0.5.
6、板上有放有质量=2kg的物体，板与物体之间的摩擦因数，如图一。今以水平力F=19.6N将板从物体下抽出。问：板与物体的加速度各为多少？解：当用力F拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。现分两种情况分别讨论。（1） 物体的运动滞后于板的运动的情况物体和板的受力情况如图二所示。注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为滑动摩擦力。设板的加速度为，物体的加速度为。列出板和物体的运动方程：对板：，又因为联立方程组，得代入数值，得在本题的条件下，这显然是不合理的。（2） 物体与板相对静止，物体
7、与板一起运动的情况物体与板的受力图如图三所示。这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。板与物体的加速度相同，设为a，列出板与物体的运动方程：又因为联立解方程，得到代入数值，得到，所求得的静摩擦力小于最大静摩擦力（），所以是可能实现的。由第一种情况的讨论可知，只有才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得或者代入数值，得到飞车走壁一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。设演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为R，演员骑摩托车在直壁上以速率V做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h，如图一所示，求：直壁对演员和摩托车的作用力。解：演员受到两个力的作用。一是重力G，另一
8、个是直壁的作用力N.把N分解为沿直壁向上的和指向圆周运动中心的，如图二所示。同样，把演员的速度V分解为竖直向上的和绕筒壁做圆周运动的水平速度，于是 展开螺旋面成斜面，如图三所示，V沿斜面向上。且有代入，得到故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为方向与壁成角，求解小船转向的情况一质量为M的机动船，在进入河道弯道前Q点处关闭发动机，以速度在静水中行驶，设水的阻力与船速成正比。（1）若Q点至弯道处P点的距离为，求船行至P点时的速度；（2）若船行至P点时开动发动机，给船以的转向力，与速度方向的夹角为，如图一所示，求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。解：（1）在PQ的河流直道行驶中，船仅受水的阻力，k为比例系数，负号表示与速度的方向相反。有牛顿运动定律，得到分离变量，积分得到，船行至P点的速度大小.方向沿弯道P点的切线方向。（2）在P点，船除了受到阻力外， 还受到转向力的作用，这样船在P点的加速度此时其切向加速度法向加速度P点的曲率半径