《七年级数学下册 第1章 整式的乘除 1.5 平方差公式课件 （新版）北师大版.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学下册 第1章 整式的乘除 1.5 平方差公式课件 （新版）北师大版.pptx（33页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章整式的乘除 初中数学（北师大版） 七年级 下册 知识点平方差公式 1.两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.用字母表示 为(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.公式的结构特征: 左边:两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相 反数. 右边:乘式中两项的平方差. 3.运用公式计算的步骤: (1)辨识:观察两个二项式相乘是不是两数和乘这两数的差. (2)改写:当未写成(a-b)(a+b)的形式时,运用加法交换律或添括号等方法, 将前后相同的项写在前面,互为相反数的项写在后面.如(b+2a)(2a-b)= (2a+b)(2a-b). (3)套用:根据平方差公式进
2、行计算. 注意:(1)公式中的a、b具有一般性,它们可以表示单项式,也可以表示多 项式; (2)运用平方差公式的关键是识别两个数(或式子),哪个是完全相同的, 哪个是互为相反数的. 拓展:利用平方差公式时,需注意公式的几种变化形式. (1)符号变化:(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2). (2)位置变化:(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2. (3)系数变化:(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2. (4)指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=a4-b4. 例下列两个多项式相乘,哪些可以用平方差公式计算,哪些不能?能用 平方差公式计算的,
3、写出计算结果. (1)(2a-3b)(3b-2a); (2)(-2a+3b)(2a+3b); (3)(-2a+3b)(-2a-3b); (4)(2a+3b)(2a-3b); (5)(-2a-3b)(2a-3b); (6)(2a+3b)(-2a-3b). 解析(2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算. (1)(6)不能用平方差公式计算. (2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2. (3)(-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (5)(-2a-
4、3b)(2a-3b)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2. 题型一平方差公式的连续应用 例1计算:(1)(1-x)(1+x)(1+x2); (2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1. 分析(1)连续应用平方差公式.观察(2)中各因式的特点,先添加因式(2- 1),再利用平方差公式计算. 解析(1)原式=(1-x2)(1+x2)=1-x4. (2)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1=216-1+1=216. 点拨
5、应用平方差公式时认准“两数”并对号入座,有时还会连续使用 平方差公式. 题型二平方差公式的逆用 例2已知x2-y2=15,x+y=3,则x-y=. 解析x2-y2=(x+y)(x-y)=15,x+y=3,x-y=5. 答案5 点拨已知两数的平方差,可以逆用平方差公式求两数的和或差. 题型三利用平方差公式进行简便运算 例3计算: (1)1011; (2)20162-20152017. 解析(1)1011=112-=121-=120. (2)原式=20162-(2016-1)(2016+1) =20162-(20162-1)=1. 易错点由于对平方差公式的结构特征没掌握好,出现错用公式的现象 例计
6、算:(a+2)(b-2). 错解原式=ab-4. 错因分析没有掌握好平方差公式的结构特征,错用公式. 正解原式=ab-2a+2b-4. 知识点平方差公式 1.(2018河南南阳邓州期中)下列计算错误的是() A.(6a+1)(6a-1)=36a2-1 B.(a3-8)(-a3+8)=a9-64 C.(-m-n)(m-n)=n2-m2 D.(-a2+1)(-a2-1)=a4-1 答案B(a3-8)(-a3+8)=-(a3-8)2=-(a6-16a3+64)=-a6+16a3-64,故选B. 2.计算:20172-20162018=. 答案1 解析原式=20172-(2017-1)(2017+1)
7、=20172-(20172-1)=1. 3.计算: (1)+(-3+x)(-x-3); (2)-(3a-2b)(3a+2b). 解析(1)+(-3+x)(-x-3) =x2-4+9-x2=5-x2. (2)-(3a-2b)(3a+2b) =a2-b2-9a2+4b2=-8a2+b2. 4.用乘法公式计算:99.9100.1-99.8100.2. 解析原式=(100-0.1)(100+0.1)-(100-0.2)(100+0.2)=1002-0.12-(1002-0.22) =1002-0.01-1002+0.04=0.03. 5.(2016山东济南中考)先化简,再求值:a(1-4a)+(2a+
8、1)(2a-1),其中a=4. 解析原式=a-4a2+4a2-1=a-1. 当a=4时,原式=4-1=3. 1.计算(3a-b)(-3a-b)等于() A.9a2-6ab-b2B.-9a2-6ab-b2C.b2-9a2D.9a2-b2 答案C相同的项是-b,互为相反数的项是3a与-3a,故结果是(-b)2-(3a)2 =b2-9a2. 2.用平方差公式计算(2a+3b-1)(2a-3b+1),下列变形正确的是() A.2a-(3b+1)2 B.2a+(3b-1)2a-(3b-1) C.(2a-3b)+1(2a-3b)-1 D.2a-(3b-1)2 答案B平方差公式必须满足:(1)一项相同;(2
9、)另一项互为相反数,所 以(2a+3b-1)(2a-3b+1)=2a+(3b-1)2a-(3b-1). 3.化简:(x+y)(x-y)(x2+y2)=. 答案x4-y4 解析原式=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4. 4.如果(a+b+1)(a+b-1)=63,那么a+b的值为. 答案8 解析因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以a+b=8. 5.计算下列各题: (1)(-2x-y)(2x-y); (2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3); (3)(b-2)(b2+4)(b+2). 解析(1)(-2x-y)(2x-y) =(
10、-y)2-(2x)2 =y2-4x2. (2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3) =4x2-(-2x)2-32 =4x2-(4x2-9) =9. (3)(b-2)(b2+4)(b+2) =(b-2)(b+2)(b2+4) =(b2-4)(b2+4) =b4-16. 1.运用乘法公式计算: (1)(-2y2-3x)(3x-2y2); (2)a4-(1-a)(1+a)(1+a2); (3)109; (4)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1. 解析(1)(-2y2-3x)(3x-2y2)=(-2y2-3x)(-2y2+3x)=(-2y2)2-(3x)2=4y4-9x2. (
11、2)a4-(1-a)(1+a)(1+a2)=a4-(1-a2)(1+a2)=a4-(1-a4)=2a4-1. (3)原式= =102-=100-=99. (4)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1 =(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1 =(72-1)(72+1)(74+1)(78+1)+1 =(74-1)(74+1)(78+1)+1 =(78-1)(78+1)+1 =(716-1)+1 =716. 2.先化简,再求值: (1)(x-8)(x+8)-x(x-1),其中x=-; (2)(a-2b)2+(a-b)(a+b)-2(a-3b)(a-b),其中a=
12、,b=-3. 解析(1)(x-8)(x+8)-x(x-1)=x2-64-x2+x=x-64, 当x=-时,原式=-64=-. (2)原式=a2-4ab+4b2+a2-b2-2a2+8ab-6b2=4ab-3b2, 当a=,b=-3时,原式=4(-3)-3(-3)2=-33. 1.计算9982-999997=() A.-1B.1C.0D.2 答案B原式=9982-(998+1)(998-1)=9982-(9982-1)=9982-9982+1=1. 2.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是 () A.3B.6C.10D.9 答案C(3n+1)(3
13、n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=10n2-10,10能整除(3n+ 1)(3n-1)-(3-n)(3+n),故选C. 3.先化简,再求值: (a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2,其中a=1,b=-2. 解析原式=a2-b2+ab+2b2-b2=a2+ab. 当a=1,b=-2时,原式=12+1(-2)=-1. 一、选择题 1.(2018甘肃景泰四中期中,5,)下列各式中不能用平方差公式计 算的是() A.(x-y)(-x+y)B.(-x+y)(-x-y) C.(-x-y)(x-y)D.(x+y)(-x+y) 答案A(x-y)(-x+y)=-(x-y)(x-y)=
14、-(x-y)2. 二、解答题 2.(2018广东云浮云城期末,17,)先化简,再求值: (2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=. 解析原式=4-x2+x2+4x-5=4x-1,把x=代入,得4x-1=4-1=5. 3.(2016山东威海经济技术开发区期末,26,)乘法公式的探究和应用. (1)如图1-5-1,阴影部分的面积是(写成两数平方 差的形式); (2)如图1-5-1,若将阴影部分剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是 ,长是,面积是(写成多项式乘 积的形式); 图1-5-1 (3)比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式 ;(用式子来表示) (4)运用你所得到的公式,计算1
15、09. 解析(1)a2-b2. (2)a-b;a+b;(a-b)(a+b). (3)(a-b)(a+b)=a2-b2. (4)原式=102-=99. 1.(2017安徽宿州期末,4,)已知a+b=2,a-b=-3,则a2-b2的值为() A.6B.-6C.-D.-5 答案B因为a+b=2,a-b=-3,所以a2-b2=(a+b)(a-b)=2(-3)=-6. 2.(2016山东济宁任城期中,5,)下列算式能用平方差公式计算的 是() A.(2a+b)(2b-a)B.(4x+1)(-4x-1) C.(2x-y)(2x-y)D.(-y+x)(-y-x) 答案D能用平方差公式计算的是括号里的两项有一
16、项相同,另一项 互为相反数,只有选项D符合. 3.(2018江苏苏州吴中统测,22,)先化简,再求值: (2a+b)(2a-b)-b(a-b),其中a=1,b=-2. 解析原式=4a2-b2-ab+b2 =4a2-ab. 把a=1,b=-2代入, 原式=412-1(-2)=4+2=6. 一、填空题 1.(2018浙江金华中考,17,)化简(x-1)(x+1)的结果是. 答案x2-1 2.(2017广东深圳中考,15,)阅读理解:引入新数i,新数i满足分配律, 结合律,交换律,已知i2=-1,那么(1+i)(1-i)=. 答案2 解析由题意得,原式=1-i2=1-(-1)=2. 二、解答题 3.
17、2017江苏无锡中考,19(2),计算:(a+b)(a-b)-a(a-b). 解析原式=a2-b2-a2+ab=ab-b2. 1.(2017江苏连云港中考,10,)计算:(a-2)(a+2)=. 答案a2-4 解析(a-2)(a+2)=a2-4. 2.(2016吉林长春中考,15,)先化简,再求值: (a+2)(a-2)+a(4-a),其中a=. 解析原式=a2-4+4a-a2=4a-4, 当a=时,原式=4-4=-3. 1.已知x2-y2=6,x+y-2=0,求x-y-5的值. 解析因为x2-y2=6, 所以(x+y)(x-y)=6. 因为x+y-2=0,所以x+y=2. 所以2(x-y)=
18、6,即x-y=3. 所以x-y-5=3-5=-2. 2.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,倒过来是a2-b2=(a+b)(a-b),它的运用同样 很广泛,你能利用它解决一些实际问题吗?请你计算(12+32+52+992)- (22+42+62+1002). 解析原式=(12-22)+(32-42)+(52-62)+(992-1002) =(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+(99-100)(99+100) =-(1+2+3+4+99+100) =- =-5050. 3.如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y2的值. 解析因为(x+y-3)
19、2+(x-y+5)2=0, 所以x+y-3=0,x-y+5=0,即x+y=3,x-y=-5. 所以x2-y2=(x+y)(x-y)=3(-5)=-15. 1.观察下列各式,探索发现规律: 22-1=13;42-1=15=35;62-1=35=57; 82-1=63=79;102-1=99=911; 用含正整数n的等式表示你所发现的规律:. 答案(2n)2-1=(2n-1)(2n+1) 解析观察得出等号左边第一项为偶数平方,第二项为-1,等号右边为 与等号左边的偶数相邻的两奇数的乘积. 2.小刚家有一块“L”形的菜地,要把这块菜地按图那样分成面积相等 的梯形,种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是xm,下底都是ym,高都 是(y-x)m,请你帮小刚家算一算菜地的面积共有多少平方米.当x=20,y=30 时,面积是多少? 解析由题图知,菜地的面积共有2(x+y)(y-x)=(y2-x2)m2. 当x=20,y=30时,菜地的面积为y2-x2=302-202=500(m2).