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1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报
2、名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 07 月 28 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题：烤箱烘烤面包问题摘要本文针对如何使烤箱工作时间最短为最优化选择条件,根据现有数据得出面包的总容量V为690,首先按最小目标法算出所需烘
3、烤次数N为17.25,因为此题属于整数规划问题,故取N=18。对于问题一，首先按所需烘焙时间对51组数据进行了排序,这样很容易找到满足两面包所需烘烤时间之差小于5分钟的组合，接下来按照题目的一般要求,给出了一个一般性方案,结果表明,所需烘烤次数N为18,所需时间为264分钟, 根据实际情况，也为简化模型，在以后的解题中，我们只考虑烘烤次数为18次的情形。最后建立模型与此一般性方案进行比较。评价的原则是烘烤方案使得烘烤时间越少越好。对于问题二，我们有两种理解，一是认为题目要求的是设计一个方案使得三台烤箱的工作时间之和最少，这种理解显然与问题一的题目要求重复，不可取；二是认为题目要求设计的方案使得
4、三台烤箱中工作时间最长的那台烤箱的所用时间最短。经过思考我们认为出题者的题意是我们的第二种理解，基于此种理解，我们建立了模型，设计出工作时间尽可能短的面包烘烤方案。对于问题三，我们也有两种理解，一是认为在烘烤的同时面包烘烤前的准备不可以进行；二是在烘烤的同时面包烘烤前的准备可以进行。最终我们依据实际情况，认为第二种理解是合情合理的。然后我们再次按照所需烘烤时间的长短对三组整体数据进行了排序，抽取满足题意的一组面包进行烘烤，获得了一个一般性的烘烤方案,方案显示烘烤次数N为18次，所需时间为293分钟。然后建立模型，编写程序，设计一个用时短，烘烤次数少的烘烤方案。建模过程中结合整体规划思想和多目标
5、决策分析方法，运用0-1变量编写lingo程序。对模型的优缺点进行了评价。关键词 ： 整数规划模型 0-1变量 多目标决策分析方法 lingo一问题重述 一个面包房现有一些面包需要放入烤箱烘烤，烤箱的容量为40个单位，每个面包烘烤所需要的时间（分钟）和所占用的烤箱容量（单位）如下表所示：烘烤所需时间（分钟）101692116148101210911148131717所占烤箱容量（单位）129151020161012172414691071921烘烤所需时间（分钟）910131481720151612810918101311所占烤箱容量（单位）12916851716891214111924141
6、216烘烤所需时间（分钟）211615172422261218111516914121913所占烤箱容量（单位）96211510149221681415169142316面包的烘烤规则如下：大小不同，烘烤时间不同的面包可以同时烘烤，但是不能和比自己的烘烤时间大于5分钟的放在一起烘烤，以免烤坏。一旦烤箱开始工作，中间不能打断，也不允许移走正在烘烤的面包。（1） 请为面包房设计一个烘烤方案，使得烤箱的工作时间尽可能短；并且评价该方案的性能优劣。（2） 假设现有另外两台烤箱可供同时使用，请另外为面包房设计一个烘烤方案，使得三台烤箱的工作时间尽可能短；并且评价该方案的性能优劣。（3） 假设各个面包在烘
7、烤前还需要一定的准备时间（制作，发酵），各个面包的准备好的时刻列表如下（对应于上表的面包顺序），只有在准备时间之后面包才可以开始烘烤。现只有一台烤箱可供使用，请为面包房设计一个烘烤方案。面包准备好的时刻（分钟）61619314212281319263921343831727面包准备好的时刻（分钟）9271630294322263311451724823332面包准备好的时刻（分钟）825282336193512362739111723132431二问题分析2.1 问题一的分析2.1.1 针对问题一，首先对数据进行排序，按照各个面包所需烘烤时间长短,所需要烘烤单位量，结合题目给出的数据，依据题目
8、所给限制条件：大小不同，烘烤时间不同的面包可以同时烘烤，但是不能和比自己的烘烤时间不大于5分钟的放在一起；每一炉最大烘烤单位量不大于40个单位量，由此运用excel将原始数据以所需时间降序排列如下表:表1所需时间容量所需时间容量所需时间容量269161511162410158118221415211012211015141012219141610242016149109192314810111824149101418161379151719131691417211312912171713169191715121791616912128101620122281016912148516611681
9、42.1.2根据题设条件列出约束不等式： ， 且服从模型: 依据上表很容易看出两个面包时间差在5分钟之内的，在依据面包的容量单位值和不大于40个单位进行组合，根据题意建立整数规划模型，利用数学软件lingo求解最优化烘烤方案。2.2 问题二的分析 针对问题二，在与问题一相比，面包的各个品类不变，面包的容量单位总和不变，增加两台烤箱，共计3台烤箱，三台烤箱在工作效率、烤箱容量近似相同，不受外界因素影响。同时满足问题一所涉及的各个面包大小不同，烘烤时间不同的面包可以烘烤，但是不能和比自己的烘烤时间大于5分钟的放在一起烘烤，以免烧坏；同时做到烤箱的容量相加不得大于40个基本单位。 对于问题二，三台烘
10、烤箱同时参与烘烤，与问题一相比增加了单位时间烘烤工作量，提高工作效率。三台烘烤机同时工作，以工作时间最长的作为目标函数最小工作时间，而非将问题一烘烤方案的分三次叠加，由以上分析重新建立整数规划模型，从而达到三台烘烤箱达到均合利用，且所用时间相差达到最小，继而求得三台烘烤箱同时工作最优最短时间。2.3 问题三的分析针对问题三，在问题一、二的烘烤方式不变的情况下，引入实际条件，添加各种面包的准备时间，面包制作分为了准备时间与烘烤时间。怎样更好处理准备时间与烘烤时间，从而达到整体时间最小，如果单一利用问题一、二的解决方案显然所得烘烤时间不是最短时间，且浪费很多时间在面包的准备上。由题意，各个面包在烘
11、烤前需要一定的准备时间（制作，发酵），各个面包在烘烤前必须有一定的准备时间（各个面包准备时间如下表），考虑到从准备各个面包开始到所有面包出炉所用时间最少最为模型的基本评价标准。 欲要求得所用时间最小，必须合理安排满足各个面包所用烘烤时间绝对值不大于分钟；烘烤箱所容面包的单位量不大于40个单位，结合各个面包的准备时间长短，烘烤时间合理安排开始烘烤时间，即做到各个面包准备的同时，满足条件便可进入烘烤箱烘烤。 由以上问题分析，并结合问题一、二重新建立整数规划模型，运用lingo软件来实现。三问题假设1 不同种面包组合烘烤时，要以烘烤时间最长的作为烘烤时间。2 烘烤箱最工作效率、容量及外部环境相等，不
12、影响烘烤效果。3 面包准备好便可烘烤，准备好以后的面可以放置较长时间。4 每炉烘烤完毕后，炉与炉之间装炉时间不计。四符号说明各个面包的容量与对应各个面包类别的所需烘烤时间任意面包烘烤时间相差绝对值一次烘烤的实际面包容量和全部面包的总容量所用时间叠加总和每次烘烤实际单位量与烘烤箱最大容量只差方案中总之和烘烤一次所需时间单位量与容量差累加和面包种类数烘烤次数每次烘烤的面包数（）准备时间（不同种类的面包的准备时间）准备时间与烘烤时间的累加和时间紧凑度烤箱的容量利用度五建立整数规划模型 5.1问题一模型对于问题一的模型建立，首先根据51种面包，它们的各个所需烘烤时间、烘烤的单位容量建立目标函数： ，每
13、烘烤一次时间为，总时间等于每次烘烤炉的和，要满足上边目标函数，则需在限制可行域里 ， 5.2 问题二模型针对于问题二的模型建立，结合问题一的模型，依据相同的模型思路，不同的是三台烘烤箱同时烘烤，三台烘烤箱同时、三台烘烤箱作为三个个体单独进行烘烤，每次的烘烤单位容量不是单一的，容量的叠加。针对问题二的实际问题，建立整数规划模型，必须满足，根据各组合所用烘烤时间，我们发现要想使得三台烤箱的工作时间尽可能短，即工作时间最长的那台的工作时间最短，应该做到让三台烤箱的各自工作时间相差尽可能小。基于此种考虑我们重新对问题一中的面包的烘烤组合形式进行了安排，得出了三台烤箱要烘烤的面包的烘烤组合形式。同样必须
14、满足限制条件： ， 每台烘烤炉烘烤的各种面包所需要的时间满足：当三台烘烤炉同时工作时，在满足以上条件下前提下，应遵循题意最短时间为三台烘烤炉最后结束工作时所用时间为最长的一台，其工作的总时间为所求时间，即问题二模型所求的最佳组合时间。 5.3 问题三模型问题三与问题一相比，在满足基本限制条件外，面包在入炉烘烤之前增加了准备时间，各个面包的准时间不同，准备结束之后便可入炉烘烤，各面包之间互不影响。各个面包准备的时间为，由于各面包准备时间不同，且准备好之后便可入炉，要想模型所用时间最小，必须部分面包准备完毕后便要入炉，即做到边准备边烘烤。六模型求解6.1问题一的解答跟据已知条件得出一个烘烤方案如下
15、： 由上述的三维图可以清晰看出各类面包烘烤所需时间和所占容量的差别，使用lingo软件根据所建立的模型，编写程序进行求解，得出结果如下：组合用时容量和残差组合用时容量和残差2691316241012172110116133912192638212222214111612382192322373121220161214182420400101412400171911817211740010121816109171510111140016918400102417171012103641620173739151699141668109391161581415816382916152181094001
16、51415355912141691914985936414813714400690149264131630131214373上表中的结果即为能使得烤箱工作时间尽可能短的一个烘烤方案。该方案为51种面包的烘烤找到了最省时间的烘烤方法，保证了各类面包的烘烤时间在该面包的烘烤时间要求范围内。但是该方案没有考虑51种面包的各类需求量，和各类面包的保质时间，以及要求人们对这51种面包非常熟悉，能够在烘烤时准确的分类，所以该方案未必具有可行性。6.2问题二的解答现有三台烘烤箱可以使用，为了使三台烘烤箱的工作时间尽可能短，在问题一的基础上，使用lingo编写程序，得到如下结果：对问题的面包烘烤组合进行重排得
17、出以下最优解：A烤箱B烤箱C烤箱111269221420162410192318242110219222171918161717172117151620169333152114161691514149166148161513715844412221316149111612171316116131255591512121189141214101281010141091011666814912102491691910128108588(分钟)88(分钟)88(分钟)上表的结果即为在保证了各类面包的烘烤时间的基础上得到的能使三台烘烤箱工作时间尽可能短的方案 该模型具在有方案一的缺点的同时，没有考虑三
18、台烘烤箱的不同工作效率，所以也不具有可行性。6.3问题三的解答 ：由于各类面包在烘烤前还需要一定的准备时间，而且准备所需时间也不相同，在保证烘烤面包前等待时间尽可能短的情况下，使用lingo软件，求得能使烘烤箱工作时间尽可能短的方案，如下表：烘烤顺序123456容量313739403939时间2691091010烘烤顺序789101112容量393934393937时间111213141415烘烤顺序131415161718容量404039403524时间161718202126烘烤顺序19容量16时间22总时间293七模型评价7.1模型评价指标模型的好坏依据烤箱所需时间的长短来判断，时间越短
19、，模型越好；反之则不好。怎样说明时间的长短，有何标准，我们注意到，如果个组合中每个面包所需烘烤时间越集中，则总的用时就越少。即较大的所学时间与较大的所需时间组合，这样不会使得较大的所需时间对较小的所需时间进行干扰，造成时间的等待。在这里我们定义了时间紧凑度这一概念：其中越小越好，定义了的同时还需定义烤箱容量的利用度，即每一烤箱实际盛放面包的容量与烤箱的容量之比。根据面包的总容量为690单位，690/40=17.25，即最低烘烤次数为18次，此时最大。我们还找到了一个一般的方案，烘烤的次数是18，因此为简化模型我们认为烘烤的次数固定为18次。此时才具有实际的评判意义。7.2 三个问题的评鉴 在所
20、建立的模型中，都未考虑各类面包的需求量，所以所建立的模型不具有普遍性，要想得到更加使用的模型，必须考虑各类面包的需求量，即需要对模型进行优化。 八参考文献1 韩中庚，数学建模方法及其应用M，北京：高等教育出版社，20052 谢金星，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005.73 盛骤，谢式千，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，20034 姜启源，数学模型（第五版），北京：高等教育出版社，19925 费业泰，误差理论与数据处理（第五版），北京：机械工业出版社，2004.66 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005.67 董希琳，赵智键.核电
21、站核事故核素污染评估模式J.火灾科学，1999，8(2).九、附录：所需时间容量所需时间容量所需时间容量2691615111624101581182214152110122110151410122191416102420161491091923148101118241491014181613791517191316914172113129121717131691917151217916169121281016201222810169121485166116814组合用时容量和残差组合用时容量和残差2691316241012172110116133912192638212222214111612
22、382192322373121220161214182420400101412400171911817211740010121816109171510111140016918400102417171012103641620173739151699141668109391161581415816382916152181094001514153559121416919149859364148总有效容量690浪费容量3013714400149总用时2641316131214373组合用时容量和残差组合用时容量和残差2691316241012172110116133912192638212222214
23、111612382192322373121220161214182420400101412400171911817211740010121816109171510111140016918400102417171012103641620173739151699141668109391161581415816382916152181094001514153559121416919149859364148总有效容量690浪费容量3013714400149总用时2641316131214373组合用时容量和残差组合用时容量和残差2691316241012172110116133912192638212222214111612382192322373121220161214182420400101412400171911817211740010121816109171510111140016918400102417171012103641620173739151699141668109391161581415816382916152181094001514153559121416919149859364148总有效容量690浪费容量3013714400149总用时2641316131214373