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1、第 15 讲 坐标系与参数方程【目标分解一】长度距离问题学习目标【目标分解二】范围最值问题重点体会极坐标方程与参数方程带来的优势【课前自主复习区】近三年高考分析：201720162015全国一（ 1 ）直线与椭圆交点坐（ 1）圆的参数方程化极坐标方（ 1）直线与圆的普通方程化标；程（方程互化）极坐标方程（方程互化）（ 2）椭圆上一点到直线的 （ 2）曲线交点（圆 +圆+直线） （ 2）面积（弦过极点）最大距离；全国二（ 1）求圆的轨迹方程；（ 1）圆的普通方程化极坐标方（ 1）两圆极坐标方程求交（ 2）三角形面积最大值程（方程互化）点普通坐标（ 2）直线与圆的弦长（ 2）弦长最大值（弦过极点）
2、全国三（ 1）两直线交点轨迹（ 1）椭圆参数方程化普通方程（ 2）直线与双曲线交点+直线极坐标方程化参数方程（方程互化）（ 2）弦长最小值；2，限制条件.2. 特殊位置的极坐标方程直线过极点：；当圆心位于极点，半径为r ：.3. 距离公式过极点的直线与圆锥曲线相交，交点为M1， M2，所对应的极径分别为 1， 2 . 则 | M1M2| .【注】 极点O与点的距离 | 叫做点的极径，记为 .MOMM核心知识储备二：1. 普通方程与参数方程的互化普通方程参数方程圆( x x0) 2 ( y y0) 2 R2核心知识储备一：1直角坐标与极坐标的互化请写出互化公式x，y1 / 5椭圆x2y2a2 b
3、2 1( ab0)直线y y0 k( x x0)2. 直线的参数方程的标准形式的应用过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t 1， t 2. 则弦长 | M1M2| ； | M0M1| M0M2| ；弦 M1M2 的中点为.课 前练习：1.(2013 全 国二文理x2cos t ,t 与 t 223) 已知动点 P， Q都在曲线 C：( t 为参数 ) 上，对应参数分别为y 2sin t (0 2 ) ， M为 PQ的中点（ 1）求 M的轨迹的参数方程；2.(2010x1 t cos .xcos ,全国文理23) 已知直线 C1 :（ t 为参数），圆 C2
4、:y( 为参数 ) ，yt sin ,sin ,（ 1) 当= 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；33. （2009 全国文理23）已知曲线 C1x4cost,（ t 为参数）， C 2x8cos,：3sin t,：3sin,yy（为参数） .（ 1）化 C1 ， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；4. （2007 全国理 22B 文科 22 题）O1 和O2 的极坐标方程分别为4cos，4sin（ 1）把O1 和O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；x=4+5cost（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴 5. （ 2013 全国一文理 23） 已知曲线 C1 的参数方
5、程为y=5+5sint的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 =2sin .2（ 1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0,0 2 ） . 【课堂互动探究区】【目标分解一 】长度距离问题【例 1】（ 2015 新课标全国一理）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 : x =2, 圆 C 2 ：22x 1y 21 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（ 1）求 C1 ， C2的极坐标方程；2 / 5（ 2）若直线 C3 的极坐标方程为4R ，设 C2 与 C3 的交点为 M , N , 求 C2MN 的面积 .2）？【
6、跃跃欲试 】：你能想到哪些方法来问题（【小结】：解决长度距离问题的思路：直线过极点直线为参数方程标准形式普通方程【对点训练 1】（ 2016 新课标全国二文理）在直线坐标系 xOy 中，圆 C的方程为 x6 2y 225.（ 1）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程 ；xt cos（ t 为参数） , l 与 C交于 A、 B两点， AB =10 ，求 l的斜率 .（ 2）直线 l 的参数方程是：t siny【目标分解二】范围最值问题x3 cos为参数 ) ，以【例 2】 (2016 新课标全国三文理 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为sin
7、(y坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为sin()2 2 4（ 1）写出 C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；（ 2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标 .【跃跃欲试 】：尝试改编问题（2 ）的 题干，使其可以通过换元利用二次函数求最值【小结】：解决范围最值问题的思路- 参数法做题步骤：2】（ 2014 全国一文理） 已知曲线 C ： x2y2x2t【对点训练1 ，直线 l ：2（ t 为参数） .49y2t(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过 曲线 C 上任一点P 作
8、与 l 夹角为 30o 的直线，交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.x3cos,【我要挑战 】（ 2017 全国一文理） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C的参数方程为sin（ 为参数），直y,xa4t ,线 l 的参数方程为1（t 为参数） .yt ,（ 1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离最大值为17 ，求 a.3 / 5【思维拓展 】 （ 2017 全国一理10）已知 F 为抛物线 C： y2=4x的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2，直线l1 与C交于、B两点，直线l2 与C交于、E两点，则 |+| 的最小
9、值为ADABDEA 16B 14C 12D 10【课后巩固区】：1. （ 2017 全国二文理 22）在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为 cos4（ 1） M为曲线 C1 上的动点，点P 在线段 OM上，且满足 OMOP 16 , 求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（ 2）设点 A的极坐标为 (2,)，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积 的最大值32. （ 2017x2+t,全国三文理22）在直角坐标系 xOy中 ，直线 l 1 的参数方程为（ t 为参数），直线 l 2 的参数方ykt,x2m,程为m（ m为参
10、数）. 设 l 1 与 l 2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.y ,k（ 1）写出 C的普通方程；（ 2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l 3： (cos +sin )-2 =0，M为 l 3 与 C的交点，求 M的极径 .3.（ 2016 新课标全国一文理xa cost（ t 为参数， a0）。23）在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为y1 a sint在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： =4cos .11（ 1）说 明 C 是哪一种曲线，并将 C 的方程化为极坐标方程；（ 2）直线 C3 的极坐标方
11、程为 = 0，其中 0 满 足 tan 0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在C3 上，求 a。4. （2015 新课标全国二文理23）（本小题满分 10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程xt cos在直角坐标系xoy 中，曲线 C1 :(t为参数， t0) ，其中 0.在以 O为极点， x 轴正半轴为yt sin极轴的极坐标系中，曲线C2 :2 sin,C3 :2 3 cos.（ 1）求 C 2与 C3 交点的直角坐标；（ 2）若 C1与 C2 相交于点 A， C1与 C3 相交于点 B，求 AB 的最大值 .4 / 5 5. （ 2014 全国二文理23）在直角坐标系xoy 中，以
12、坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0, .2（ 1）求 C的参数方程；（ 2）设点 D在 C 上， C 在 D 处的切线与直线l : y3x2 垂直，根据（ 1）中你得到的参数方程，确定D的坐标 .6. （湖南省2017 一模 22）已知曲线C的极坐标方程为 =6sin ，以极点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程为（ t 为参数）（ 1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（ 2）直线 l 与曲线 C交于 B， D两点，当 |BD| 取到最小值时，求a 的值7. 将圆 x2+y2 2x=0 向左平移一个单位长度，再
13、把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线 C（ 1）写出曲线 C 的参数方程；（ 2）以坐标原点O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 sin （ +）=，若 A，B 分别为曲线C 及直线 l 上的动点，求 |AB| 的最小值 8. （湖北省2017 适应性考试）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线的参数方程为，（为参数，且），曲线的极坐标方程为(1) 求的极坐标方程与的直角坐标方程；(2) 若 P 是上任意一点，过点 P 的直线交于点 M,N，求的取值范围 .【跃跃欲试 】：问题（ 2）中，还可以求解哪些问题5 / 5