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1、最新资料推荐指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y ax ， ylog a x 在a1及两种不同情况。0 a 11、指数函数：定义：函数 ya xa且a1叫指数函数。0定义域为 R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数ya x中的 a 必须 a 0且 a 1 。因为若 a0 时， y4x1 时，函数，当 x4值不存在。a 0 ， y0x，当 x0，函数值不存在。a 1 时， y 1x 对一切 x 虽有意义，函数值恒为 1，但 y 1x 的反函数不存在，因为要求函数y ax 中的 a
2、 0且 a1 。1x1、对三个指数函数 y2x ，y，y 10x2的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于 x 轴上方；（ 1） x 取任何实数值时，都有a x0 ；（2）图象都经过点（0， 1）；（ 2）无论 a 取任何正数， x0 时， y1 ；（3） y2 x ， y10 x 在第一象限内的纵坐（ 3）当 ax0，则 ax11 时，0，则 ax1标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，x1xx0，则 a x1的图象正好相反；y当 0 a1时，2xx0，则 a1（4） y2 x ， y10 x 的图象自左到右逐渐（ 4）当 a1 时， ya x 是增函数，上升，
3、 y1x的图象逐渐下降。当 0 a1时， ya x是减函数。2对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉 相交于 点（ 0， 1），如 y2 x 和 y10 x 相交于 (0， 1) ，1最新资料推荐当 x0时， y10x 的图象在 y2x 的图象的上方，当 x0，刚好相反，故有 10222及 10 22 2 。 y 2 x 与 y12x的图象关于y 轴对称。通过 y 2 x ， y10 x ， y12x三个函数图象，可以画出任意一个函数ya x（ a0且 a1 ）的示意图，如y3x 的图象，一定位于y2 x 和 y10 x 两个图象的中1间，且过点 ( 0，
4、1) ，从而 y3x1也由关于y 轴的对称性，可得y3x的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果 a bN (a0且 a1) ，那么数 b 就叫做以a 为底的对数， 记作 blog a N（a 是底数， N 是真数， log a N 是对数式。）由于 Nab0 故 log a N 中 N必须大于 0。当 N为零的负数时对数不存在。（ 1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：52求 log 0.324分析： 对于初学者来说， 对上述问题一般是束手无策，若将它写成 log520.32x ，4再改写为指数式就比
5、较好办。52解： 设 log 0. 32x4则 0.32 x524x8即82525 x1252即 log 0 .3241212评述： 由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求3x5 中的 x ，化为对数式 xlog 3 5即成。（ 2）对数恒等式：由 abN (1) blog aN(2)将（ 2）代入（ 1）得 a log a NN2最新资料推荐运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。log 1 2计算：3312log 1 21log 1 22解：原式33（ 3）对数的性质：负数和零没有对数；
6、1 的对数是零；底数的对数等于 1。（ 4）对数的运算法则：3 log aMNlog aMlog a N M ，N R log aMlog a Mlog a NM ， N RN log aN nn log a NNR log an N1 log a NNRn3、对数函数：定义：指数函数 ya x (a 0且 a1) 的反函数 y log a x x ( 0,) 叫做对数函数。1、对三个对数函数y log 2 x，ylog 1x，2y lg x 的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于y 轴右侧；（ 1）定义域： R+，值或： R；（2）图象都过点（1， 0）；（ 2）
7、 x1时， y0 。即 log a 10 ；（3） ylog 2x ， ylg x 当 x 1时，图象 （ 3）当a1 时，若 x1 ，则 y0 ，若在 x 轴上方，当0x0 时，图象在 x 轴下 0x1，则 y0 ；方， ylog1x 与上述情况刚好相反；当0a1x 0，则y0，若时，若20x1时，则 y0 ；（4）ylog 2 x， ylg x 从左向右图象是上（ 4） a1 时， ylog a x 是增函数；升，而 ylog 1 x 从左向右图象是下降。0a1时， ylog a x 是减函数。2对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（ 1）所有对数函数的图象都过点（1
8、,0），但是 ylog 2 x 与 ylg x 在点（ 1,0 ）曲线是交叉的，即当x0时， y log 2x 的图象在 ylg x 的图象上方；而 0x 1时，y log 2x的图象在 ylg x 的图象的下方，故有： log2. lg .lg 01. 。1515 ； log 2 01.3最新资料推荐（ 2） ylog 2 x 的图象与 ylog 1 x 的图象关于x 轴对称。2（ 3）通过 ylog 2 x ， ylg x ， ylog 1 x 三个函数图象，可以作出任意一个对数2函数的示意图， 如作 ylog 3 x 的图象，它一定位于ylog 2 x 和 ylg x 两个图象的中间，且
9、过点（ 1,0 ）， x0时，在 ylg x 的上方，而位于ylog 2 x 的下方， 0x1时，刚好相反，则对称性，可知ylog 1 x 的示意图。3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：log b Nlog a Nlog a bLn Nlog eN (其中 e2.71828 ) 称为 N的自然对数L g Nlog 10 N 称为常数对数由换底公式可得：Ln Nlg Nlg N2.303 lg Nlg e0.4343由换底公式推出一些常用的结论：（ 1） log a b1或 log a b log b a 1log b a（ 2） log a n bmm
10、 loga b（ 3） loga n bnnlog a b（ 4） log a nammn5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称题型解法xlog a b基本型fxb取以 a 为底的对数 fa取以 a 为底的对数 fxx同底数型af ( x)a( x)4最新资料推荐不同底数型afxbx取同底的对数化为fx lg ax lg b需代换型F a x0换元令 ta x 转化为 t 的代数方程对数方程的题型与解法：名称题型解法基本题log a fxb对数式转化为指数式f xa b同底数型log a fxlog a x转化为 fxx（必须验根）需代换型F(log a x)0换元令 tlog a x 转化为代数方程5