《天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点 ( X ,Y ) 落在矩形域x1 x x2 , y1 y y2 的概率为F ( x2 , y2 ) - F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) - F ( x1 , y2 ) .2、 ( X ,Y ) 的分布函数为 F ( x, y) ，则 F(-, y) =0.3、 ( X ,Y ) 的分布函数为 F ( x, y) ，则 F(x + 0, y) = F ( x, y)4、 ( X ,Y ) 的分布函数为 F ( x, y) ，则 F(x,+) = FX (x)5、设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为k(6 - x -
2、 y)0 x 2, 2 y 1；问 F(x , y)是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的3、设 函 数 F(x , y) = x + 2 y 01联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数因 P0 x 2， 0 h 1= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)= 1 - 1 - 1 + 0 = - 1 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。22)+2g( x+ y, 0 x, y +4
3、、设 g(x) 0,且0g(x)dx = 1，有 f (x, y) = px 2 + y 20 ,其它证明： f (x, y) 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。+ + + 2g( x 2 + y 2 )证明：易验证 f (x, y) 0，又 - -f (x, y)dxdy = 0 0dxdypx2+ y22p0+g(r)rdr = 0+ g(r)dr = 102dqpr符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。255、在 0,p 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求 Pcos(X +Y ) 0 的值。 1, 0 x, y pp3p X + Y ) =3解
4、： f (x, y) = p 2， Pcos(X+Y ) 0, y 0 0其它(1)确定常数 k(2)求 ( X ,Y ) 的分布函数(3)求 P0 X 1, 0 0, y 0F(x, y) = 0(3) P0 X 1, 0 Y 2 = F(1,2) + F(0,0) - F(1,0) - F(0,2)= (1 - e-3 )(1 - e-8 ) + 0 = 0.950217、设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为x2+ xy / 30 x 1, 0 y 2求 PX + Y 1f ( x, y) = 0其它解： PX + Y 1 = f ( x, y)dxdy = 01dx12-x( x2
5、 +xy)dyx+ y13= 01(x+4x2+5x3 )dx =65722368、设随机变量 ( X ,Y ) 在矩形区域 D = (x, y) | a x b, c y d内服从均匀分布，(1)求联合概率密度及边缘概率密度.(2)问随机变量 X ,Y 是否独立？26解：(1)根据题意可设 ( X ,Y ) 的概率密度为Ma x b, c y df ( x, y) = 0其它1 = -+-+ f ( x, y)dxdy = M abdxcd dy = M (b - a)(d - c)1a x b, c y d1 /(b - a)(d - c)于是 M =，故 f ( x, y) = (b-
6、a)(d - c)0其它f X ( x) =+ f ( x, y)dy =ddy=1c (b - a)(d - c)b - a-1a x b即 f X ( x) = b - a0其它fY ( y) =+ f ( x, y)dx =bdx=1a (b - a)(d - c)d - c-1 /(d - c) c y 0, y 0 .ln23 3-x- y x 0, 0 0 ,f X (x) = 0ln33dy = ln 33x0其它+2-x- y- yfY (y) = 0ln33dx = ln 33, y 00其它(2) 因为 f ( x, y) = f X ( x) fY ( y) ，故 X 与
7、Y 是相互独立的.10、一电子器件包含两部分，分别以 X ,Y 记这两部分的寿命(以小时记)，设 ( X ,Y ) 的分布函1 - e-0.01x- e-0.01 y + e-0.01( x+ y )x 0, y 0数为 F ( x, y) = 0其它(1)问 X 和Y 是否相互独立？(2)并求 PX 120, Y 120解：(1) FX ( x) = F ( x,+) =1 - e-0.01xx 00x 0FY ( y) = F (+, y) =1 - e-0.01 yy 00y 120, Y 120 = PX 120 PY 120 = 1 - PX 120 1 - PY 120= 1 -
8、FX (120)1 - FY (120) = e-24 = 0.09111、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 F(x , y) = A(B + arctg 2x )(C + arctg y3 ) 求：( 1 )系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 )(x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。解：( 1 ) F(+,+)= A (B + p )(C + p )= 122F(-,+)= A (B - p )(C + p )= 022F(+,-)= A (B + p )(C - p )= 02 2由 此 解 得 A = p12 , B = C =
9、p2 ,28( 2 ) j(x , y)=6p2 (4 + x2 )(9 + y2 )12、设 ( X ,Y ) 相互独立且分别具有下列表格所定的分布律- 2-11Y-1X01322Pk1111Pk11143123244试写出 ( X ,Y ) 的联合分布律.解：X- 2-101Y2-111118624621111116124812311111612481213、设 X ,Y 相互独立，且各自的分布律如下：X2Y121Pk11Pk112222求 Z = X + Y 的分布律.解： PX = k = Pkk = 0,1,2,PY = g = qgg = 0,1,2,Z = X + Y 的分布律为 PZ = i = Pk qi-ki = 0,1,2,Z 的全部取值为 2,3,4PZ = 2 = PX = 1,Y = 1 = PX = 1PY = 1 = 12 12 = 14PZ = 3 = PX = 1,Y = 2 + PX = 2,Y = 129= PX = 1PY = 2 + PX = 2PY = 1 = 12 12 + 12 12 = 12 PZ = 4 = PX = 2,Y = 2 = PX = 2PY = 2 = 12 12 = 1414、 X,Y 相互独立，