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1、高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星双星系统在银河系中很普遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量（引力常量为G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为m1 、m2，做圆周运动的半径分别为r1、 r2，角速度分别为w ,w根据题意有12w1=w2 （1 分）r +r =r （ 1 分）12根据万有引力定律和牛顿定律，有G （ 3分）G （ 3
2、 分）联立以上各式解得（ 2 分）根据解速度与周期的关系知（ 2 分）联立 式解得（3 分）本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相同，由万有引力提供向心力列式求解2 载人登月计划是我国的“探月工程 ”计划中实质性的目标假设宇航员登上月球后，以初速度 v0 竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t. 已知引力常量为G，月球的半径为 R，不考虑月球自转的影响，求：(1)月球表面的重力加速度大小g月 ；(2)月球的质量 M；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.2v0； (2)2R2v0Rt【答案】 (1)Gt； (3) 2t2v
3、0【解析】【详解】2v 0(1) 小球在月球表面上做竖直上抛运动，有tg月月球表面的重力加速度大小g月2v 0t(2) 假设月球表面一物体质量为m，有MmGR2 =mg月月球的质量M2R2v0Gt(3) 飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有G Mmm 22RR2T飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T2Rt2v03 宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。若该星球半径为4000km，引力常量 G=6.67 1011N?m2?kg2试求：(1)该行星表面处的重力加速度的大小g 行 ；(2)该行星的第一宇宙速度的大小v；(3)
4、该行星的质量M 的大小（保留1 位有效数字）。224【答案】 (1)4m/s (2)4km/s(3)1kg10【解析】【详解】(1)由平抛运动的分位移公式，有：x=v0t1y=g 行 t 22联立解得：t=1sg 行 =4m/s2；(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有：G mM mg行 m v2R2R可得第一宇宙速度为：vg行 R44000103 m/s4.0km/s(3)据mMG R2 mg行可得：232g行 R4 (4000 10 )kg 1 1024 kgMG6.67 10 114 我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2
5、030 年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度 v0 水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L(这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R，万有引力常量为 G。(1)试求月球表面处的重力加速度g.(2)试求月球的质量M(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T，试求月球的平均密度 .2223【答案】（ 1） g2hv0 （ 2） M2hv0 R（ 3）GT 2L2GL2【解析】【详解】（1）根据题目可得小球做平抛运动,水平位移 : v0t=L竖直位移 :h= 1gt22联立可得 : g2hv02L2（2）根据万有引力黄
6、金代换式G mMmg ，R2gR22hv02 R2可得 MGL2GG mM2 m 4242R23（3）根据万有引力公式2R ；可得 M，RTGT而星球密度M , V4R3V33联立可得2GT5 某行星表面的重力加速度为g ，行星的质量为M ，现在该行星表面上有一宇航员站在地面上，以初速度v0 竖直向上扔小石子，已知万有引力常量为G 不考虑阻力和行星自转的因素，求：（ 1）行星的半径 R ；（ 2）小石子能上升的最大高度GMv02【答案】 (1) R =（ 2） hg2g【解析】GMm（1）对行星表面的某物体，有：mg-2R得： R =GMg（2）小石子在行星表面作竖直上抛运动，规定竖直向下的方
7、向为正方向，有：0v022gh得： hv022g6 设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x，已知弹簧的劲度系数为k，火星的半径为R，万有引力常量为 G，忽略火星自转的影响。（ 1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；（ 2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。【答案】（ 1） g= kx， M= kxR 2； （ 2） v=kxR ， 2 mRmGmmkx【解析】【详解】（1）物体静止时由平衡条件有: mg=kx，所以火星表明的重力加速度g= kx ；在火星表面m重力由万有引力产生：
8、mg=G mM ，解得火星的质量 M= kxR 2。R2Gm（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg=m v2，解得卫星的线速度 v=R近地卫星的周期 T= 2R =2 mR 。vkx7 双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。已知月球和地球之间的距离为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，求地球和月球的质量之和。kxR ；m23【答案】4rGT 2【解析】【分析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度应用牛
9、顿第二定律列方程求解【详解】对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：G MmM2 r1 m 2r2r 2解得： Gm2r 2 r1 ； GM2 r 2r2 ；其中212， r=r+r ；TM42r 3三式联立解得：m2GT【点睛】解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度以及会用万有引力提供向心力进行求解8 高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M，地球半径为 R，万有引力常量为G，求：(1)人造卫星的角速度；(2)人造卫星绕地球转动的周期；(3)人造卫星的向心加速度【答案】 （1）GMR h（ 2） T2（ Rh） R h （3） aG
10、M22RhGMR h【解析】【分析】根据万有引力提供向心力 G Mmm( 2 ) 2 rm v2m 2r ma 求解角速度、周期、向r 2Tr心加速度等。【详解】（1）设卫星的角速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：mMG2 m2(R+h)，Rh解得卫星角速度GMRhRh2故人造卫星的角速度GMRhR2hMm（4 2（2）由 G2）2m RhTR h得周期 T 2（ RRhh）GM故人造卫星绕地球运行的周期为T2（ Rh） Rh GMmMGM（3）由于 G2=m a可解得，向心加速度 a=2RhR h故人造卫星的向心加速度为GM2Rh【点睛】解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提
11、供向心力，即Mm22r mv22r ma .G2m()mrTr9 假设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为g0,如图所示， “嫦娥三号 ”飞船沿距月球表面高度为 3R 的圆形轨道运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动.(1)飞船在 A 点点火前的动能是Ek1 ，点火变轨进入椭圆轨道在A 点的动能是 Ek 2 ，试比较 Ek 1 和 Ek2 的大小；(2)求飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比；(3)求飞船在轨道绕月球运动一周所需的时间【答案】 （1） Ek1Ek2 （ 2）2： 1R（ 3） 16g0【解析】【分析】【详解】（1）飞
12、船在 A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故Ek1Ek 2 ；（2）飞船在轨道、轨道都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：G Mmm v2r 2r解得： vGMr故飞船在轨道跟轨道的线速度大小之比为v3r14R2v1r3R1（3）飞船在轨道绕月球运动，根据万有引力提供向心力得：Mm4 2Gr 2m T 2 r解得： Tr 32GM在月球表面有 ： G Mmmg0 ，解得： g0GMR2R23R故周期为 T4R216g0 R2g0【点睛】卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定 ，在月球表面，万有引
13、力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量10 如图所示，为发射卫星的轨道示意图先将卫星发射到半径为 r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动当卫星运动到 A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道沿椭圆轨道运动到远地点 B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0 的圆轨道做匀速圆周运动已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为 v，卫星的质量为m，地球的质量为M ，万有引力常量为G，则：(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大?(2)卫星在 B 点变速时增加了多少动能 ?【答案】（ 1）GM ，GM（2） GMmmv2r03r06r018【解析】【分析】【详解】（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：G Mmm v2，r 2r当 r=r0 时， v1=GM，r0当 r=3r0 时， v2=GM，3r0（2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为vB，据题意有： r0v=3r0vB卫星在 B 点变速时增加的动能为 Ek=1 mv221 mvB2 ，22GMmmv2联立解得： Ek=6r018