九年级数学锐角三角函数带答案.doc

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1、 锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在RtABC中，C90，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A

2、的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即.同理；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而

3、不存在(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0A90之间变化时，tanA0考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0、30、45、60、90角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0、30、45、60、90角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、的值依次为0、1，而、的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0A90之间变化时， 正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减

4、小(或增大)考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在RtABC中，C=90(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有：三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).锐角之间的关系：A+B=90.边角之间的关系：，.，h

5、为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤RtABC两边两直角边(a，b)由求A，B=90A，斜边，一直角边(如c，a)由求A，B=90A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90A，锐角、对边(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如c，A)B=90A，要点诠释：1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元

6、素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或

7、通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40，135，245.(4)方

8、向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角，如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30，南偏东45，南偏西80，北偏西60.特别如：东南方向指的是南偏东45，东北方向指的是北偏东45，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45.要点诠释：1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择

9、合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1(1)如图所示，在ABC中，若C90，B50，AB10，则BC的长为( ) A10tan50 B10cos50 C10sin50 D(2)如图所示，在ABC中，C90，sinA，求cosA+tanB的值(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD3，AC2，则sinB的值等于_【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边 (2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边 (3)要求sinB的值，可

10、以将B转化到一个直角三角形中【答案与解析】 (1)选B (2)在ABC，C90， 设BC3k，则AB5k(k0) 由勾股定理可得AC4k， (3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得ACD90BD，所以sinBsinD 【总结升华】 已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长； (2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A1，读者可自己尝试完成举一反三：【变式】RtABC中，C=90，a、b、c分别是A、B、C的对边，那么c等于( )(A) (B) (C) (D)

11、【答案】选B.过点C作CDAB于D,在RtACD中, ,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又A+B=90,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=asinA+bsinB.类型二、特殊角的三角函数值2解答下列各题： (1)化简求值：； (2)在ABC中，C90，化简【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin2 A+cos2 A1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式【答案与解析】解 (1) (2)，【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：12sincos=(sincos)2例如，若设sin+cost，则举

12、一反三：【变式】若，(2，为锐角)，求的值.【答案】，且2为锐角，260，30，453 (1)如图所示，在ABC中，ACB105，A30，AC8，求AB和BC的长； (2)在ABC中，ABC135，A30，AC8，如何求AB和BC的长?(3)在ABC中，AC17，AB26，锐角A满足，如何求BC的长及ABC的面积？若AC3，其他条件不变呢? 【思路点拨】 第(1)题的条件是“两角一夹边”由已知条件和三角形内角和定理，可知B45；过点C作CDAB于D，则RtACD是可解三角形，可求出CD的长，从而RtCDB可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用

13、类似的方法解决【答案与解析】 解： (1)过点C作CDAB于DA30，ACD105，B45 ACsinACDBCsin B， ABAD+BDACcosA+BCcosB8cos30+cos45 (2)作CDAB的延长线于D，则AB， (3)作BDAC于D，则BC25，204 当AC3时，ACB为钝角，BC25，【总结升华】 对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30、45、60的角)，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小类型三、解直角三角形及应用4如图所示，D是AB上一点，且CDAC于C，AC+CD18，求tanA的值

14、和AB的长【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程【答案与解析】解：作DEAC交CB于E，则EDCACD90，设CD4k(k0)，则CE5k，由勾股定理得DE3k ACD和CDB在AB边上的高相同，AD:DB即 AC+CD18， 5k+4k18，解得k2 ABAD+DBAD+AD【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等专题总结及应用一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义 【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主 例1 如

15、图28123所示，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的是 ( ) Asin A Btan A CcosB Dtan B 分析 sinA，tan A，cos B故选D. 例2 在ABC中，C90，cosA,则tan A等于 ( ) A B C D 分析 在RtABC中，设AC3k，AB5k，则BC4k，由定义可知tan A故选D. 分析 在RtABC中，BC3，sin A故填 专题2 特殊角的三角函数值 【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值 例4 计算|3|2cos 45(1)0 分析 cos 45 解：原式3212 例5 计算(1)2007cos 60 分析 cos

16、60 解：原式3(1)312 例6 计算|(cos 60tan 30)0 分析 cos 60，tan 30，cos 60tan 300，(cos 60tan 30)01， 解：原式1十231 例7 计算(3.14)0|1tan 60|. 分析 tan 60. 解：原式811210. 专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力. 例8 如图28124所示，在ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边的中点，BC14，AD12，sin B (1)求线段DC的长； (2)求tanEDC的值. 分析 在RtABD中，由si

17、nB，可求得BD，从而求得CD由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DEACEC，则EDCC，所以求tanEDC可以转化为求tan C. 解：(1)AD是BC边上的高，ADBC 在RtABD中，sin B AD12，sin B，AB15， BD9 BC14，CD5 (2)在RtADC中，AEEC，DEACEC， EDCC tan C,tanEDCtan C 例9 如图28125所示，在ABC中，AD是BC边上的高，tan BcosDAC. (1)求证ACBD； (2)若sin C，BC12，求AD的长 分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得ACBD(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD

18、的长 证明：(1)AD是BC边上的高，ADBC， ADB90，ADC90 在RtABD和RtADC中， tan B，cosDAC，tan BcosDAC， ，ACBD.解：(2)在RtADC中，sin C，设AD12k，AC13k， CD5k BCBDCD，ACBD， BC13k5k18k 由已知BC12，18k12，k， AD12k128 例10 如图28126所示，在ABC中，B45，C30，BC3030，求AB的长 分析 过点A作ADBC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设ADx，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BDCDBC这一等量关系列方程，求得

19、AD，则AB可在RtABD中求得解：过点A作ADBC于D，设ADx. 在RtADB中，tanB，BDx， 在RtADC中，tan C，CDx 又BDCDBC，BC3030， xx3030 ,x30 在RtABD中，sin B， AB30. 专题4 用锐角三角函数解决实际问题 【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法 例13 如图28

20、131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得CAD45，又在距A处60米远的B处测得CBA30，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保留小数点后两位) 分析 本题可作CEAB，垂足为E，求出CE的长即为河宽 解：如图28131所示，过点C作CEAB于E，则CE即为河宽， 设CEx(米)，则BEx60(米)在RtBCE中，tan30，即,解得x30(1)81.96(米)答：河宽约为8196米 【解题策略】 解本题的关键是设CEx，然后根据BEABAE列方程求解 例14 如图28132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边

21、的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若BAD45，BCD60，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B(参考数据1.4，1.7) 分析 在RtABD中，已知A45和AD，可求AB，BD，在RtBCD中，可利用求出的BD和BCD60求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达 解：在RtABD中，A45，D90，AD300， AB300. tan 45，即

22、BDADtan 45300 在RtBCD中，BCD60，D90， BC200，CD100 . 1号救生员到达B点所用的时间为150210(秒)， 2号救生员到达B点所用的时间为50192(秒)， 3号救生员到达B点所用的时间为200(秒) 192200210.2号求生员先到达营救地点B. 【解题策略】 本题为阅读理解题，题目中的数据比较多，正确分析题意是解题的关键 例15 如图28133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30方向上；已知在C岛周围9海里的区域内

23、有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由 分析 本题可作CDAM于点D，在RtBCD中求出CD即可 解：过点C作CDAM，垂足为点D， 由题意得CBD60，CAB30, ACB30，CABACB， BCAB2412(海里) 在RtBCD中，CDBCsin 606(海里) 69，货船继续向正东方向航行无触礁危险 【解题策略】 此题实际上是通过C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁危险. 例16 如图28134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45和60，且A，B，F三点在一条直线上，若BE15米，求这块

24、广告牌的高度(1.73，结果保留整数) 分析 由于CDCEDE，所以可分别在RtAED和RtBEC中求DE，CE的长，从而得出结论 解：AB8，BE15，AE23 在RtAED中，DAE45，DEAE23 在RtBEC中，CBE60，CEBEtan 6015， CDCEDE15233， 即这块广告牌的高度约为3米 例17 如图28135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC. 分析 坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形 解：过A作AEBC于E，过D作DFB

25、C于F， 由题意可知tanB1，tan C， 在RtABE中，AE4，tanB1，BEAE4， 在RtDFC中，DFAE4，tanC， CF15DF1.546 又EFAD2.5， BCBEEFFC42.56125 答：坝底宽BC为125 m【解题策略】 背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.例18 如图28136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20，塔顶D的仰角为23，求此人距CD的水平距离AB(参考数据：sin 200.342，cos 200.940，tan 200.364，sin 230.391，cos 230.921，tan 230.424) 分析 要求

26、AB的值，由于两个直角三角形中都只有角的已知条件，不能直接求解，所以设AB为未知量，即用AB表示BD和BC，根据BDBCCD30，列出关于AB的方程 解：在RtABC中，CAB20， BCABtanCABABtan 20 在RtABD中，DAB23， BDABtanDABABtan 23 CDBDBCABtan 23ABtan 20AB(tan 23tan 20) AB500(m)答：此人距CD的水平距离AB约为500 m二、规律方法专题专题5 公式法 【专题解读】 本章的公式很多，熟练掌握公式是解决问题的关键 例19 当090时，求的值 分析 由sin2cos21，可得1sin2cos2解：

27、sin2cos21，cos21sin2 . 0a90，cos0 原式1 【解题策略】 以上解法中，应用了关系式sin2cos21(090)，这一关系式在解题中经常用到，应当牢记，并灵活运用 三、思想方法专题 专题6 类比思想 【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，因此对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素 例20 在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，解这个直角三角形 分析 已知两直角边长a，b，可由勾股定理c求出c，再利用sin A求出A，进而求出B9

28、0A 解：C90，a2b2c2 c. 又sin A，A30 B90A60 【解题策略】 除直角外，求出RtABC中的所有未知元素就是解直角三角形 专题7 数形结合思想 【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一 例21 如图28137所示，已知的终边OPAB，直线AB的方程为yx，则cos等于 ( ) A B C D 分析 yx，当x0时，y，当y0时，x1，A(1，0)，B，OB，OA1，AB，cosOBA. OPAB，OAB90，又OBAOAB90，OBAcoscosOBA故选A. 专题8 分类讨论思想 【专题解读】 当

29、结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论 例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离(结果可保留根号) 解：如图28138(1)所示， 在RtBDC中，CD30，CB60，B30 又PCPB，CPD60，DP10 故APADDP(3010)km 同理，如图28138(2)所示，可求得AP(3010)km， 故交叉口P与加油站A的距离为(3010)km或(3010)k

30、m 【解题策略】 此题针对P点的位置分两种情况进行讨论，即点P在线段AB上或点P在线段BA的延长线上 专题9 转化思想 例24 如图28140所示，A，B两城市相距100 km现计划在这两座城市中间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么?(参考数据：1.732，1.414) 解：过点P作PCAB，C是垂足， 则APC30，BPC45， ACPCtan 30，BCPCtan 45， ACBCAB， PCtan 30PCta

31、n 45100， (1)PC100， PC50(3)50(31.732)63450 答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区 例25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上已知36，求长方形卡片的周长”请你帮小艳解答这道题(结果保留整数；参考数据：sin 3606，cos 3608，tan 360.7)解：作BEl于点E，DFl于点FDAF180BAD1809090， ADFDAF90， ADF36 根据题意，得BE24 m

32、m，DF48 mm 在RtABE中，sin ， AB40(mm) 在RtADF中，cosADF， AD60(mm) 矩形ABCD的周长2(4060)200(mm) 例26 如图28142所示，某居民楼I高20米，窗户朝南该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米，窗户CD高18米现计划在I楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼当正午时刻太阳光线与地面成30角时，要使楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建楼最高只能盖多少米? 解：设正午时光线正好照在I楼的一楼窗台处，此时新建居民楼高x米 过C作CFl于F， 在RtECF中，EF(x2)米，FC30米，ECF30， tan 30,102 答：新建居民楼最高只能建(102)米