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1、构造等腰三角形证题等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不 存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰 三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。一. 直接连线法例 1. 已知，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC=ED，B=E。求证：C=D。图 1证明：连结 AC、AD因为 AB=AE，B=E，BC=ED所以ABCAED所以1=2，AC=AD所以3=4即1+3=2+4所以C=D例 2. 已知，DE 为ABC 的 BC 边上的中垂线，交 AC 于 D，垂足为 E。 求证：ABAC。图 2证明：连结 BD。因为 BE=CE，DE
2、BC所以 DB=DC因为 ABAD+DB所以 ABAD+DC即 ABAC二. 线段延长法例 3. 已知ABC 中，A=Rt，AB=AC，BE 平分ABC，且 BECE 于 E。求证：CE1BD2 。图 3证明：分别延长 BA、CE 交于 F。 因为 BECF，1=2所以 BF=BC因为3=1，AC=BA，4=5=Rt 所以 RtFCARtDBA所以 FC=DB因为所以CECE1212CFBD例 4. 已知 M、N 分别为正六边形 ABCDEF 的边 CD、DE 的中点，BN 与 AM 交于点 BPP，则 PN_。图 4解：延长 AB、DC 交于 G，延长 ED、AM 交于 H。 因为 ABCD
3、EF 为正六边形所以BCG 为正三角形设 AB=k，则 BG=CG=k因为 DH/AGDH DM 1所以 AGGM 3所以DH23k所以BP AB k 6 PN HN k 2k 72 3说明：例 3 延长图形中有关的线段，构成等腰三角形的底边，例 4 中应用了 平行线分线段成比例的性质。三. 延长和连结相结合法例 5. 已知在ABC 中，C=2B。求证： AB 2AC。图 5证明：延长 BC 到 D，使 CD=AC，连结 AD。 因为1=2B，又因为1=2D，所以D=B 所以 AB=ADAC+CD=2AC1例 6. 已知ABD=ACD=60，ADB=90 2 求证：ABC 为等腰三角形。BDC
4、。图 6证明：延长 CD 到 E，使 DE=DB，连结 AE。1因为ADB=90 2所以 2ADB=180BDCBDC BDE所以1=2所以ABDAED所以ABD=E=60所以ACE 为等腰三角形所以 AC=AE所以ABC 为等腰三角形例 7. 已知ABC 中，AB=AC，AD 为高，BE 为角平分线，EGBC 于 G，EFBE 交 BC 于 F。求证：DG1BF4 。图 7证明：延长 FE 交 BA 延长线于 H，取 BH 的中点 M，连结 EM 并交 AD 于 N。 因为1=2，BE=BE，BEH=BEF=90所以BHEBFE所以 BH=BF，HE=FE又因为 HM=BM所以 EM/CB所
5、以AMEABC又因为 AB=AC，ADBC所以 AM=AE，ANME所以EN MN12EM因为BEH=90，BM=HM所以EM12BH即EN1 1EM2 4BH因为四边形 ENDG 为矩形所以DG EN1 1BH4 4BF说明：例 5 中要解决如2问题，构造顶角的外角为的等腰三角形，则可用“等腰三角形顶角的外角等于一个底角的 2 倍”这一性质。例 6 利用两腰 相等证之。例 7 用的知识点较多，关键在于“三线合一”定理的应用。四. 作平行线法例 8. 已知ABC 中，过BC 中点 D 作直线交 AB 于 E，交CA 延长线于 F，且AE=AF。 求证：BE=CF。证明：过点 C 作 CG/AB
6、，交 FD 延长线于 G。图 8因为G=2，3=B，DB=CD所以CGDBED所以 CG=BE因为 AE=AF所以1=F所以G=1=F所以 CG=CF所以 BE=CF例 9. 已知四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别为 AD、BC 的中点，BA、CD 的延 长线分别与 FE 的延长线交于 G、H。求证：BGF=CHF。图 9证明：连结 BD，作 EK/AB 交 BD 于 K，连结 KF。 在DAB 中，E 为 AD 中点，EK/AB所以 K 为 BD 中点，所以EK12AB1同理FK/2DC因为 AB=CD所以1=2即3=4所以BGF=CHF说明：作平行线构成等腰三角形的腰和底。五.
7、 作垂线法例 10. 已知ABC 中，B=2A，AB=2BC。 求证：ABC 是直角三角形。图 10证明：作 AB 的中垂线 DE，交 AC 于 D，交 AB 于 E，连结 BD。 因为 DEAB，AE=BE所以 AD=BD所以2=A因为ABC=2A所以1=2因为 AB=2BC所以 BE=BC所以EDBCDB所以C=3=Rt所以ABC 是直角三角形说明：作三角形一边的中垂线，构造成等腰三角形的两腰。六. 作截线法例 11. 已知ABC 中，ADBC 于 D，AB+BD=DC。 求证：B=2C。图 11证明：在 DC 上截取 DE=BD，连结 AE。因为 ADBE，ED=BD所以 AD 为 BE 的中垂线所以 AB=AE，1=B因为 AB+BD=DC，EC+ED=DC所以 AB=EC所以 AE=EC所以1=2C即B=2C说明：若图形中有垂线，则把垂线看作为等腰三角形底边上的高，用截取的 方法构造等腰三角形的腰和底。