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1、第 2 讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1.(2019 江西南昌三模)若tan(?+6 ) =2,则tan(2?-2) 等于 (3)A.-2- 3 B.- 43C.2+3 D.43Btan(2?-2答案3 ) =tan(2?+ 3 -)=tan(2?+ 3 )2tan(?+)4 2 =-4=26 =.故选 B.(?+ 6 )1-231 -tan33)=则 ,cos=,sin( +-cos=( )2.若 055,2772424A.- 25B. C.-D.252525答案Ccos =cos( +-)=cos( +)cos+sin( +)sin, 3因为 +(2 , 2) ,所以 cos( + )
2、0,4所以 sin =5,所以 cos =(-4334245)+( -5 )=-25 .553.(多选 )下列命题中 ,正确的是 ()A. 在 ABC 中 ,若 AB, 则 sin Asin BB.在锐角三角形 ABC 中,不等式 sin Acos B 恒成立C.在 ABC 中 ,若 acos A=bcos B, 则 ABC 必是等腰直角三角形D.在 ABC 中 ,若 B=60,b2=ac,则 ABC 必是等边三角形?答案 ABD 对于 A, 在 ABC 中 ,因为 sin?=sin? ,所以 sin AsinB? ab? AB, 故 A 正确;对于 B,在锐角三角形ABC 中,A,B (0,
3、2 ) ,且 A+B 2 ,则2 A 2 -B0,所以 sinAsin( 2 -B)=cos B,故 B正确 ;对于 C,在 ABC 中,由 acosA=bcos B 及正弦定理可得 sin2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=-2B,故 A=B 或 A= 2 -B, 即 ABC是等腰三角形或直角三角形 ,故 C 错误 ;对于 D, 在 ABC 中,若 B=60,b2=ac,则由 b2=a2+c2-2accos B,可得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,解得 a=c.又 B=60,所以 ABC 必是等边三角形 ,故 D 正确 . 故选 ABD.4.(2019 河北唐山一模
4、)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2,b=3,c=4,设 AB 边上的高为 h,则 h=()15B.11C.315D.315A. 2248答案Da=2,b=3,c=4,222=21 =7,cos A= ? +? -? =9+16 -42?2 34 24849 15 15则 sin A= 1-cos2 A=1- = = ,64 648则 h=ACsin A=bsin A=315 =3 15 ,88故选 D.5.(2019 湖南郴州一模 )在 ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角 C 的大小是 ()A. 或
5、 2B. C.2D. 63336答案A由 b2 22 得22 2则2223bc3因为? +? -?A(0,),+c -3bc=a ,b +c -a =3bc,cos A=2?=,2?2所以 A= 6 ,由 bc=3a2 得sin Bsin C=3sin213,A= 3 =44即 4sin( -C-A)sin C=3,即 4sin(C+A)sin C=4sin(?+ 6 ) sin C=3,即 4( 3 sin?+ 1 cos?)sin C=23sin2C+2sin Ccos C=3,22即3(1-cos 2C)+sin 2C=3-3cos 2C+sin 2C=3,则 -3cos 2C+sin
6、2C=0,则3cos 2C=sin 2C,则 tan 2C=3,因为 C (0, 所),以 2C(0,2 ),所以 2C=423 或3 ,即 C=6 或3 ,故选 A.2?- ? cos?6.(2019 安徽六安模拟 )在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ? =cos?,b=4,则ABC 的面积的最大值为 ()A.43B.23C.2 D.3答案 A2?- ? cos?在 ABC 中,=,?cos? (2a-c)cos B=bcos C, (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=
7、sin(B+C)=sin A, cos B=1 ,即 B=,由余弦定理可得 16=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac 2ac-ac, ac16,当23且仅当 a=c 时取等号 , ABC 的面积 S=1acsin B=3故选A.24ac 43.二、填空题7.(2019 安徽黄山三检 )(1+tan 20)(1+tan25)=.答案2解析(1+tan 20)(1+tan25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25.因为 tan 45=tan(20 +25)= tan20 +tan25 =1,1-tan20 tan25 所以 tan 20+tan 25=1-tan
8、20tan 25.所以 (1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25=2.58.在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 sin A+sin B= 4 sin C,且 ABC 的周长为 9, ABC 的面积为 3sin C,则 c=,cos C=.答案4-14解析在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,55?已知 sin A+sin B=4 sin C,则 a+b= 4 ,又 ABC 的周长为 9,则 c+5?解得4 =9,c=4.若 ABC 的面积等于 3sin C,则12 absin C=3sin
9、 C,5?整理得 ab=6.由于 a+b= 4 =5,?+ ?= 5,?=2,?=3,222? +? -?故?= 6,解得 ?=3 或?=2,所以 cos C=2?1=-4 .9.(2019 河北衡水模拟 )在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,3sin AcosC+(3sin C+b)cos A=0, 则 A=.答案56解析由 3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0, 得3sin Acos C+3sin Ccos A=-bcos A,所以 3sin(A+C)=-bcos A, 即 3sin B=-bcos A,?3-?sin?135又sin
10、?=sin?,所以 cos?=sin?=- sin?,又 a=1,所以 cos?=-3 ? tan A=- 3 ,因为0A,所以 A= 6 .10.(2019 湖北恩施质检 ,15)在锐角 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cos1 ABC =42,则 ABC 的周长为.B= ,b=4,S3答案43+4由 cos B=12 2112 2解析3 ,得 sin B= 3 ,由三角形的面积公式可得2acsin B=2 ac 3 =42,则ac=12,由 b2=a2+c2-2accos B,b=4,可得16=a2+c21-2 12,则 a2+c2=24,联立可得3a=c=23
11、,所以 ABC 的周长为 43+4.三、解答题11.(2019 河南郑州一模 )ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ABC 的面积为2?S,且满足 sin B=4?.(1)求 sin Asin C;(2)若 4cos Acos C=3,b=15,求 ABC 的周长 .(1) ABC 的面积 S=12解析且sin B=?2 acsin B,4?,4( 1acsin?)sin B=b2,ac=2,?222sinB由正弦定理可得 sin Asin C= sin 2 B12sin 2 B=2.(2)4cos Acos C=3,sin Asin C=12 ,1 31cos B=-
12、cos(A+C)=sin Asin C-cos Acos C=2 -4 =-4.222b=15,ac= ?=(15)1=8,2sin 2B=2(1 -cos 2 B)2 (1 -16 )由余弦定理可得15=a2+c2+1ac=(a+c)2- 3 ac=(a+c)2-12,22解得 a+c=33, ABC 的周长为 a+b+c=33+15.12.(2019 云南昆明质检 )ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2(c-acos B)=3b.(1)求角 A;(2)若 a=2,求 ABC 面积的取值范围 .解析(1)由 2(c-acos B)= 3b 及正弦定理得2(sin
13、C-sin Acos B)=3sin B,所以 2sin(A+B)-2sinAcos B=3sin B,即 2cos Asin B=3sin B,因为 sin B 0,所以 cos A= 3又,所以2,0AA= 6 .(2)因为 a=2,所以由正弦定理得 b=4sin B,c=4sin C,所以 S ABC =112 bcsin A= 4 bc.所以 S ABC =4sin Bsin C.55因为 C=-(A+B)= 6-B,所以 sin C=sin(6 -B) ,513所以 S ABC =4sin Bsin( 6 -B) =4sin B( 2 cos?+ 2 sin?)=2sin Bcos
14、B+23sin2B=sin 2B-3cos 2B+3=2sin(2?- 3 ) +3.因为 0B5 所以 46 ,-3 2B-3 3 ,所以 -3 所以 ABC 2+3,2 sin(2?- 3 )1,0S即 ABC 面积的取值范围是 (0,2+3.13.(2019 河南洛阳尖子生第二次联考)如图 ,在平面四边形 ABCD 中, ABC 为锐角,AD BD,AC 平分 BAD,BC=2 3,BD=3+ 6,BCD 的面积 S=3( 2+ 3) .2(1)求 CD;(2)求 ABC.解析(1)在 BCD 中,S=1BD BCsinCBD=3( 2+ 3), BC=23,BD=3+6,22sinCB
15、D= 1 .2 ABC 为锐角 , CBD=30 .在 BCD 中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBD cosCBD=(23)2+(3+6)2-2 23(3+36) =9. CD=3.2?=?(2)在 BCD 中,由正弦定理得,sin ?sin ?即233,解得 sinBDC=3.=3sin ?sin30 6BCBD, BDC 为锐角 , cos BDC= 3 .在 ACD 中 ,由正弦定理得?=?,sin ?sin ?即?3.=cos ?sin?在 ABC 中,由正弦定理得?2 3即=.sin ?sin ?=?,sin ?sin ?AC 平分 BAD, CAD= BAC.由得si
16、n ?3,解得 sin ABC=2.=32cos ?2 ABC 为锐角 , ABC=45 .命题拓展预测已知 a,b,c 分别为 ABC 的内角 A,B,C 的对边 ,(3b-a)cos C=ccos A,c 是 a,b 的等比中项,且 ABC 的面积为 32,则 ab=,a+b=.答案933解析 (3b-a)cos C=ccos A, 由正弦定理可得3sin Bcos C=sin Acos C+sin CcosA=sin(A+C)=sin B.12 2又 sin B0, cos C=3,则 C 为锐角 ,sin C= 3 .1由 ABC 的面积为 32,可得 2 absin C=32,ab=9.由 c 是 a,b 的等比中项可得 c2=ab,又 c2=a2+b2 -2abcos C,(a+b)2=11 ab=33,a+b=33 .3