5-7-1数值原理与数的进制题库教师版.doc

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1、5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：

2、以六位数为例：a100000+b10000+c1000+d100+e10+f。二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得

3、一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。十进制二进制十六进制八进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】 某三位数和它的反序数的差被99除，商等于_与_的差；【解析】 本题属于基础型题型。我们不妨设abc。(-）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c；【巩固】 与的差被9除，商等于_与_的差；【解析】 (-）9=(10a+b)-(10b+a)9=(9a-9b)9=a-b；【

4、巩固】 与的和被11除，商等于_与_的和。【解析】 (+）11=(10a+b)+(10b+a)11=(11a+11b)11=a+b。【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，原两位数最大时，十位数字至多为9，即，原来的两位数中最大的是94【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802求原来的四位数【解析】 设原数为，则新数为，根据题意，有，推

5、知，得到，原数为1099【巩固】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为99(99)99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。【解析】 设这个巧数为，则有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为，因为，它们的和是：，所以

6、，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而，所以最大的数最大为4；又，所以最大的数大于，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数【解析】 设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为： 所以，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为【巩固】 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平

7、均值是多少？【解析】 卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（197）222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（167）222。这12个数的平均值是：（197）（167）22212573.5。【巩固】 从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【解析】 设这三个数字分别为a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222（abc）3330，推知abc15。所以，当a、b、c取1

8、、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。【巩固】 a，b，c分别是中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】 由，组成的六个数的和是因为，所以若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数为，符合题意若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数，但所求数为三位数，不合题意所以，只有时符合题意，所求的三位数为652【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【解析】

9、 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a10b5（10a5）9，化简得ab4。变成的三位数只能是405，315，225，135。【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

10、【解析】 设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0a,b9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338求这个四位数【解析】 设组成这个四位数的四个数码为， ()，则有，可得，则，且M的四位数字

11、分别为1、9，由于的个位数字为7，所以，中有一个为7，但，所以不能为7，故，【例 5】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以a1， 则111b11cd13701111259，推知b2；进而推知c3，d=4所以=1234。【巩固】 (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少【解析】 设这样的四位数为，则，即，则或2若，则，得，；若，则，由于，所以，所以，故为9，则为偶数，且，故，由为偶数知，；所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个

12、三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于求原来的两位数【解析】 设原来的两位数是，则得到的两个三位数分别为和，四位数为，由题知，即，故【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【解析】 设这个数为x，则10x+5-x=，化简得9x=，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。【巩固】 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是多少？【解析】 设，则，根据题意，有，得，所以【例 7】 一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(例如，则1

13、02564就是“迎春数”)请你求出所有“迎春数”的总和【解析】 由于是把六位数的末位调到首位构成了新六位数，所以不妨把看成一个整体，设，则根据位值原理可知“迎春数”是，并满足关系式：对等式化简得：所以：因为是五位数，是一位数，所以可以为4，5，6，7，8，9而“迎春数”，那么，所有“迎春数”的总和是：【巩固】 (2008年“华杯赛”决赛)设六位数满足，请写出这样的六位数【解析】 令，则：，所以，可得此时可将，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当时，；当时，只有这两个数满足条件由于将可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行：，所以，则是整数设其为，则是整数

14、，所以是999999的约数当，2，3，4，5，6，7，8，9时，分别为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时分别为1和4这样的六位数有111111和102564【例 8】 记四位数为，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为，如果，那么这样的四位数共有_个【解析】 得到，所以如果、组成的四位数末位数字不是0，那么等于将的千位数字加1，个位数字减1，反过来等于的千位数字减1，个位数字加1，所以为，与比较，和位置没有换，交换的是和，表示为，可以得到等式，即所以和的取值组合，只有2和1，3和2，9和8，共8种情况对于其中任意

15、一种组合，由于是由四个数字组成的最小的四位数，分别考虑、中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则，)；以及、都不为0的情况(此时)，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能：，比如以，为例，可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数根据乘法原理，满足条件的四位数一共有种如果、组成的最小的四位数末位数字是0，显然的百位、十位都是0，此时、无法组成其它的四位数，不合题意由于每一个对应一个，所以满足条件的四位数共有48个【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数()将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排

16、列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30004000之间求这24个四位数中最大的那个【解析】 从题中可以看出，这4个数都不为0设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们组成的24个四位数中，第二小的是，是5的倍数，又不为0，所以它们组成的24个四位数中，第二大的是，是2的倍数但不是4的倍数，所以是偶数，而不是4的倍数由是偶数且知b为4或2若为2，那么，但此时是4的倍数，矛盾，所以，又不是4的倍数，所以为1或3它们组成的24个四位数中，第五小的为 (最小的5个依次为，)，第五大(第二十小)的为 (最大的5个依次为，)，所以得到的四位数的千位为3由于，

17、所以，那么减法算式中百位要向千位借位，所以，故又，所以，那么，它们组成的24个四位数中最大的为，即7543模块二、数的进制【例 10】 _； ； ； _； 若，则_【解析】 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： ； 可转化成十进制来计算：；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得； 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜：； 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整原式；若，则，经试验可得【

18、巩固】 ；在八进制中，_；在九进制中，_【解析】 本题是进制的直接转化：；原式；原式【例 11】 在几进制中有？【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6【巩固】 在几进制中有？【解析】 注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以再注意尾数分析，而16324的末位为4，于是进到上一位所以说进位制为2

19、1的约数，又小于10，也就是可能为7或3因为出现了6，所以只能是7【巩固】 算式是几进制数的乘法？【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为，但是现在为4，说明进走，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制【例 12】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？【解析】 根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2 =124+123+022+121+020+12-1+12-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75

20、。【巩固】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？【解析】 根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：八进制数01234567二进制数000001010011100101110111从后往前取三合一进行求解，可以得知(10101011110011010101101)2=(25363255)8。【巩固】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。【解析】 在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。【巩固】

21、 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 【解析】 由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原理将其化为131+230=5，所以化为9进制数后第一位为5.【例 13】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【解析】 因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，放

22、16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23222120=(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。【例 14】 在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 【解析】 (abc)6 =a62b6+c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1所以，b=0或5当b=0，

23、则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c0，所以a=16，c=7。但是在6,9进制，不可以有一个数字为16当b=5，则35a=35+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c0。所以c=2或者2+7k(k为整数)因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+802，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =562+56+2=212。这个三位数在十进制中为212。【巩固】 在7进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】 首先还原为十进制：；于是；得到，即因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也应该是8的倍数，于是或8但

24、是在7进制下，不可能有8这个数字于是，则所以为5的倍数，为3的倍数所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以于是，这个三位数在十进制中为248【巩固】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄【解析】 设这个人为岁，得，又，解得，不合题意，所以这个人的年龄不可能是一位数设这个人是岁，由题意得：因为，所以，即又因为是三进制数，都小于3，所以，所以，这个人为21岁设这个人为岁，由题意有，因为，所以即又、都小于3，所以上述等式不成立所以这个人的年龄不可能是三位数综上可知这个人的年龄是21岁【巩固】 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数

25、b，使得N是十进制整数的四次方【解析】 设b是所求的最小正整数，因为质数7能整除，所以也能整除x，不妨设，m是大于0的自然数。则：，化简得：，易知，b的值随m的增大而增大，当m=1时，b=18。【例 15】 试求(2-1)除以992的余数是多少? 【解析】 我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：(992)=(1111100000)2，(2-1)2=我们知道在2进制中一定能整除(1111100000)2，于是我们注意到，所以= 因为能整除(1111100000)2，所以余数为(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为63。【巩固】 计算除以2

26、6的余数【解析】 题中有3的次幂，令人联想到将题中的数转化成3进制下的数再进行计算，而，所以，由于整除，所以余所以除以26的余数为8【巩固】 计算除以7的余数【解析】 由于除以7余1，而，所以除以7的余数为本题也可以转化为2进制进行计算：，所以而，所以余所以除以7的余数为3【巩固】 (2001年人大附中分班考试题)在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？【解析】 类似于十进制中的“弃九法”，8进制中也有“弃7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这个数的各位数字之和除以7的余数本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余数也为5【例 16】 (2009年清华附中小升初入学测试题)已知正整数的八进制表示为，那么在十进制下，除以7的余数与除以9的余数之和是多少？【解析】 与十进制相类似，有：根据8进制的弃7法，被7除的余数等于其各位数字之和，为6，而除以7的余数为1，所以的平方被7除余1，即除以7的余数为1；另外，显然能被整除，所以其平方也能被整除，即除以9的余数为0因此两个余数之和为5-7.位置原理与数的进制.题库 教师版 page 9 of 9