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1、四边形提高测试1、如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，1=2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.解：根据题目条件可判断DE/BF.证明如下：四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAF+2=90.AF=AE+EF，又AF=BF+EFAE=BF1=2，ABFDAE（SAS）.AFB=DEA，BAF=ADE.ADE+2=90，AED=BFA=90.DE/BF. 2、如图（1），在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M
2、、H(1)求证:CFCH；(2)如图(2)，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论 （图1） （图2） （24题图）解:(1)(5分) 证明:在ACB和ECD中 ACB=ECD= 1+ECB=2+ECB, 1=2 又AC=CE=CB=CD, A=D= ACBECD, CF=CH (2)(5分) 答: 四边形ACDM是菱形 证明: ACB=ECD=, BCE= 1=, 2= 又E=B=, 1=E, 2=B ACMD, CDAM , ACDM是平行四边形 又AC=CD, ACDM是菱形3、在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接E
3、B、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED=120时，求EFD的度数第22题图AFDEBC答案：（1）证明：四边形ABCD是正方形BCCD，ECBECD45又ECEC 2分ABEADE 3分（2）ABEADEBECDECBED 4分 BED120BEC60AEF 5分EFD60+45105 6分4、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2，3=4（1）证明：ABEDAF；（2）若AGB=30，求EF的长解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD。在ABE和DAF中，ABEDAF。（2）四边
4、形ABCD是正方形，1+4=900。3=4，1+3=900。AFD=900。在正方形ABCD中，ADBC，1=AGB=300。在RtADF中，AFD=900，AD=2，AF=，DF =1。由(1)得ABEADF。AE=DF=1。EF=AF-AE=。5、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；EA DB CNM 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.解：ABE是等边三角形，BAB
5、E，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. 7分FEA DB CNM如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小. 9分理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 10分根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.11分过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为x，则BFx
6、，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 12分解得，x（舍去负值）.正方形的边长为. 13分6、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论ADBEFOCM第21题图答案：证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABAD,B = D = 90AE = AF，BEDF（2）四边形AEMF是菱形四边形ABCD是正方形，BCA = DCA = 45，BC = DCBEDF，BCBE = DCDF.
7、即OM = OA，四边形AEMF是平行四边形AE = AF，平行四边形AEMF是菱形7、如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高【答案】过B作BGAC，交DC的延长线于G点在梯形ABCD中，ABDC， 四边形ABGC为平行四边形 CGAB，BGAC EF为梯形中位线， DGDCAB2 EF2 l ACBD且ACBD BGBD且BGBD BDG为等腰直角三角形 高BHDGl8、如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BEED，P是对角线BD上任意一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F、G求证：PFPGAB【提示】延长GP交BC于H，只要证PHPF即可，所以只要证
8、PBFPBH【答案】 BEDE， EBDEDB 在矩形ABCD中，ADBC， DBCADB， EBDCBD延长GP交BC于H点 PGAD， PHBC PFBE，P是EBC的平分线上 PFPH 四边形ABHG中，AABHBHGHGA90 四边形ABHG为矩形， ABGHGPPHGPPF故 PFPGAB NEABAM9已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上求证：AE、AF把BAC三等分【提示】证出CAE30即可【答案】连结BD，交AC于点O，作EGAC，垂足为G点 四边形AEFC为菱形， EFAC GEOB 四边形ABCD为正方形， OBAC， OBGE， AE
9、AC，OBBDAC， EGAE， EAG30 BAE15在菱形AEFC中，AF平分EAC， EAFFACEAC15 EABFAEFAC即AE、AF将BAC三等分10、如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，MCN为定角a，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则CME与CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论【提示】BD为正方形ABCD的对称轴， 13，24，用1和2表示MCN以及EMCFNC【答案】 BD为正方形ABCD的对称轴， 13，24， EMC1801318021同理 FNC18022 EMCFNC3602（12） MCN180（12）， EMCFNC总与2MCN相等因此EMCFNC始终为定角，这定角为MCN的2倍6