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1、精品资源欢迎下载高考复习科目：数学高中数学总复习(九)复习内容：高中数学第十章-排列组合复习范围：第十章编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4一、两个原理.1 .乘法原理、加法原理.2 .可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二 第n位上选取元素的方法都是 m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数 m-mm =mn.例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？(解：m”种)二、排列.1 .对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取 m(m)个元素，按照一定顺序 排成一
2、列，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同排列数.从n个不同元素中取出 m(mc n)个元素排成一列，称为从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列数，用符号 Am表示.排列数公式：mn!A =n(n -1) (n -m 1) =(m _ n, n, m 二 N)(n -m)!注意：n n! =(n H)!-n!规定 0! = 1AnT*m+AmcmAmA*Am=nAm广规定。22 .含有可重元素的排列问题.n!n -n1!n2!nk!对含有相同元素
3、求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,a其中限重复数为n1、n2 n k,且n = n 1+n2+n k ,则S的排列个数等于例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n = (1+2)! =3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个 1!2!数 n =31 =1.3!三、组合.1.组合：从n个不同的元素中任取 m(mm,即men.1时有意义.n _m n _m! 1 m2隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：X1+x2+x3 tx4 =12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入 3块摸板，把球分成4个组.每一
4、种方法所得球的数目依次为x1,X2,X3,X4显然x1+x2乜3版4=12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解（y1,y2,y3,y4），对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插P1板的方法数C13.卜.卜. .x1x2x3 x4注息：右为非负数解的x I数，即用a1 ,a2,.an中ai等于x -+1，有x1 +x2乜.仪=A=a1 -1 +a2 1 + an = =A，进而转化为求a的正整数解的个数为 CA；.定位问题：从n个不同元素中每次取出 k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，
5、并且都排在某r个指定位置则有ArrA上.例如：从n个不同元素中，每次取出 m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置 上，共有多少种排法？固定在某一位置上：Am十;不在某一位置上：Am-Am Anm+Am1 Amn；（一类是不取出特殊元素 a，有Anm， 一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1 ,这与用插空法解决是一 样的）指定元素排列组合问题.i.从n个不同元素中每次取出 k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列orokX；组合c；cniii.从n个不同元素中每次取出 k个不同元素作排列（或组合）
6、，规定某r个元素都不包含在内。先 C后A策略，排列CnjAk ；组合Cnl.iii从n个不同元素中每次取出 k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrsCAk；组合Crsom.II.排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排 列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题
7、 .均匀不编号分组：将 n个不同元素分成不编号的 m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/A；（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以 Ak .例：10人分成三组，各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为01004c4/a2 = 1575 .若分成六组，各组人 数分另U为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 01。10；020f2C2C2/A2 A4非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A Am m例：10人分成三组，各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动，其安排方法为：010 03 05
8、 A3种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动，则安排方法有01208304 A3种均匀编号分组：n个不同元素分成 m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/A；Am .例：10人分成三组，人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为0120 40 4A2A3非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的 m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序,不管是否分尽，其分法种数为A =0:1 0：%0：%1赴十以1）例：10人分成三组，每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为011208c5 = 2520若从1。人中选出6人分成三 组，各
9、组人数分别为1、2、3,其分法种数为01（10；0 3=2600 .五、二项式定理.1.二项式定理：（a+b）n =00anb40r1a2b 十一 七 nan_rb+ 40nabn.展开式具有以下特点：项数：共有n十1项；0L 0fr /zz 为如C0 C1 c2k cr - cn. 示烈侬伏刃汨口烈 CnCn，Cn， ，Cn， Cn； 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的开幕排列展开二项展开式的通项.(a+b)n展开式中的第r+1项为：Tr书：an-br(0 Mr Mn,r亡Z).二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间
10、项二项式系数最大. nI .当n是偶数时，中间项是第 n+1项，它的二项式系数 C2,最大；2 n J n 1 n，1n T一 、八一 , 一 、一、”，II .当n是奇数时，中间项为两项，即第 项和第 +1项，它们的一项式系数 C 2n 2n最大.22系数和：01n nC n CnC n 20 0 . c2 c 41 _ 3 3， _nn 1C n Cn C n t n Cn2附：一般来说(ax+by)n(a,b为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解 .当A，决，上AQa #1或b #1时，一般采用解不等式组3 k k书或：kk书(Ak为Tk书的系数或系数的绝对值)的、A
11、k*kAk务k办法来求解.如何来求(a +b +c)n展开式中含a pbqcr的系数呢？其中p,q, r w N,且p +q +r = n把(am+c)n=(a+b)+cn视为二项式，先找出含有 C的项C；(a+b)nCr ,另一方面在(a+b)n”中 含有bq的项为Cn_qan上8bq =C n_qapbq ,故在(a +b +c)n中含a pbqcr的项为CrrCn_qa pbqcr.其系数为rq _ n!(n -r)!_ n! p q rC nC n x -一 nCn _pC r .r!(n -r)! q!(n -r -q)! r!q! p!2.近似计算的处理方法.当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n、1+na,因为这时展开式的后面部分C2a24C：a3+4Cnan很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n之1na但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.