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1、精品资源g3.1029 数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n 有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:验证当 n 取第一个值 n0 时命题成立 ,这是推理的基础 ;假设当 n=k (kN * , kn0 ) 时命题成立 .在此假设下 ,证明当 n k1时命题也成立是推理的依据 .3 结论 .2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察 ,归纳 ,猜想 ,推理论证 .3.特别注意： (1)用数学归纳法证明问题时首先要验证 nn0 时成立 ,注意 n0 不一定为 1;(2)在第二步中 ,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由 k 到 k+1 时命
2、题的变化二基本训练1. 已知某个命题与正整数有关, 如果当 nk (kN * ) 时该命题成立 , 那么可以推得 n k 1 时该命题也成立 . 现已知 n5时该命题不成立 , 则( )An4时该命题成立Bn6时该命题不成立Cn4时该命题不成立Dn6时该命题成立2用数学归纳法证明 2nn2 (n N,n 5), 则第一步应验证 n=;3用数学归纳法证明 : 11111n( nN * , n1) 时, , 第一步验证不等式232nn=k 到 n=k+1 成立时 ,左边增加的项成立；在证明过程的第二步从数是.三、例题分析例 1:已知 nN * ,证明 :11 1 111111 .2 3 42n 1
3、 2n n 1 n 22n例 2、求证：n1111n1132n222例 3.是否存在正整数 m 使得 fn2n73n9 对任意自然数 n 都能被 m 整除，若存在，求出最大的 m 的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。例 4.平面内有 n( nN * ) 个圆 ,其中每两个圆都相交于两点 ,且每三个圆都不相交于同一点 ,求证 :这 n 个圆把平面分成 n2n2 个部分 .例 5.设 f(k) 满足不等式 log 2xlog 23 2k1x2k 1 kN的自然数 x 的个数（1）求 f(k) 的解析式；（2）记 Snf (1)f (2)f (n) ，求 Sn 的解析式；欢下载精品资源（3）令
4、Pnn 2n 1 n N ，试比较 Sn 与 Pn 的大小。三、课堂小结1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法;2用数学归纳法证明命题时 ,两个步骤缺一不可 ,且书写必须规范 ;3 两个步骤中 ,第一步是基础 ,第二步是依据 .在第二步证明中 ,关键是一凑假设 ,二凑结论四、作业 同步练习 g3.1029 数学归纳法1若 f（n）=1+ 111（nN* ），则当 n=1 时， f（n）为232n1（ A） 1（B） 1（ C） 1+ 113（D）非以上答案23用数学归纳法证明2n+11a n 2 （a1，nN* ），在验证 n=1 成立时，左边21+a+a +,+a=a1计算所
5、得的项是（ A） 1（B）1+a（ C） 1+a+a2（D）1+a+a2+a33. 用数学归纳法证明1 1 1 111111 (nN ) ,则从 k 到 k1 时,左边应添加2 342n 1 2n n 1 n 22n的项为(A)1(B)112k122k42k(C)1(D)11222k2k12k4某个命题与自然数n 有关，如果当 n=k（ kN* ）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立现在已知当n=5 时，该命题不成立，那么可推得（ A）当 n=6 时该命题不成立；（ B）当 n=6 时该命题成立（ C）当 n=4 时该命题不成立（D）当 n=4 时该命题成立5. Skk11 k1
6、k11(k1,2,3,), 则 Sk+1 =232k(A)Sk+1(B)Sk +112(k1)2k2k1(C)Sk +11(D)Sk +112k1 2k22k12k26由归纳原理分别探求：(1) 凸 n 边形的内角和 f(n)=;(2) 凸 n 边形的对角线条数 f(n)=;(3) 平面内 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数 f(n)=.为真，进而需验证 n=，命题为真。7用数学归纳法证明 (n+1)(n+2) ,(n+n)=2 n1 2 3 ,(2n 1)(n N), 从“k 到 k+1”左端应欢下载精品资源增乘的代数式为.22228.
7、是否存在常数 a,b,c,使得等式 12 23 ,n(n 1) n(n1)(an bnc) 对一切12自然数 n 成立？并证明你的结论 .9. 求证： 11111n （ nN）232n210. （ 2002 年全国高考理）设数列 an 满足 an1a n2na n1， n1， 2 ， 3， ,（1）当 a12时，求 a2 ， a 3 ，a 4 ，并由此猜想出an 的一个通项公式；（ 2 ）当 a 3时，证明对所有的 n1，有 1ann2；211,11 。1a1 1a 21an211已知nnnn(n 1)lg2其中 nN,n3,1,), 试比较A =(1+lgx),B =1+nlgx+2x,x
8、(AN 与 Bn 的大小 .10答案基本训练 1.C2. 53.2k例题分析1.证明 :用数学归纳法证明 .111(1)当 n1时,左边 =1,右边,等式成立 ;222(2)假设当 nk 时等式成立 ,即有 :1111111112k 1 2k k 1 k 2.2 3 42k那么当 nk1时,左边 =11111111342k12k2( k1)12( k1)211111k 1 k22k2k 12(k1)111111k 2 k 32k 2k 1k 1 2(k 1)1111=右边 ;(k1) 1(k1)2(k1)k(k1)( k1)欢下载精品资源所以当 n k1时等式也成立 .综合 (1)(2)知对一
9、切 nN *,等式都成立 .思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当 nk1时向目标式靠拢是关键 .2.证明：（1）当 n=1 时， f (1)11 ，原不等式成立2（2）设 n=k kN时，原不等式成立k1111k 成立，当 n=k+1 时，即 1132k222f k 1f k11 2k111 k1112k22k 12 2k1 2k22k 1k111k 1k 112k 12k 1112 2k 12 22共 2k 项f k 1fk1111k1112k1 2k22k 122k1 2 k22 k 11111k2k12k12k12共 2k 项f k 11即 n=k+1 时，命题成立k 1
10、2综合（ 1）、（2）可得：原命题 nN 对恒成立。3.证明：由 fn2n 7 3n9 得， f 136 ， f 2336 ， f 310 36 ，f 4 3436 ，由此猜想 m=36下面用数学归纳法证明（1）当 n=1 时，显然成立。（2）假设 n=k 时， f(k) 能被 36 整除，即fk273k9 能被36整除；当n=k+1时，k2 k 1 7 3k 19 3 2k 7 3k9 18 3k 11由于 3k 11是 2 的倍数，故 18(3k 11) 能被 36 整除，这就说，当 n=k+1 时，f(n) 也能被 36 整除由（ 1）（2）可知对一切正整数 n 都有f n273n9 能
11、被36整除，m最大值为 。n364.解: (1)当n1,此时 n2n2 2 , 即命题成立 ;时 ,一个圆把平面分成两部分(2)假设当nk 时命题成立 , 即 k 个圆把平面分成 k 2k2 个部分 .那么当 nk1时 ,这 k 1欢下载精品资源个圆中的 k 个把平面分成 k 2k 2 个部分 .第 k 1个圆被前 k 个圆分成2k 条弧 ,这 2k 条弧中的每 一条 把所 在的 部分 分成 了 2 块 , 这 时共 增加 2k 个部分 , 故 k1 个圆把平 面分 成k 2k 22k( k1) 2(k1) 2 个部分 ,这说明当 nk1时命题也成立 .综上所述 ,对一切 nN * ,命题都成
12、立 .例 5.设 f(k) 满足不等式 log 2 xlog 2 3 2k 1x 2k 1 kN的自然数 x 的个数（1）求 f(k) 的解析式；（2）记 Snf (1)f (2)f (n) ，求 Sn 的解析式；（3）令 Pnn 2n1 nN，试比较 Sn 与 Pn 的大小。x0x05.解：（1）原不等式x 3 2 k1x32k 12k 1x2 kx 3 2k 1x22 k 1x 2k 1 x 2k0f k 2k2k 11 2k 11（2） Snf (1)f (2)f (n)20212n 1n2nn1（3） Sn Pn2nn2n=1 时， 21120; ；n=2 时， 22220;n=3 时
13、， 23320; ；n=4 时， 244 20;n=5 时， 25520; ； n=6 时， 26620;猜想： n 5 时 SnPn 下面用数学归纳法给出证明（1） 当 n=5 时， S5P5，已证（ 2）假设 nk k5 时结论成立即 Sk Pk ,2 kk 2那么 n=k+1 时， 2k 1Pk1而 2k 2k1 2k 22k1k1 22在 k 5范围内， k1 22 0 恒成立则 2k 2k 1 2 ，即 SK 1Pk1由（ 1）（2）可得，猜想正确，即 n 5时， SnPn综述：当 n=2,4 时， SnPn 当 n=3 时， SnPn n=1 或 n5 时， SnPn 。作业1 5
14、、CCDCC欢下载精品资源9.证： n 1时 左 11右2 假设 nk 时 成立即： 1111k232k12当 n k 1时左 11111k11122 k1 2 k2 k 11 2 2 k2k12k1k111k2kk 1 k 12 2k 11 2k 112k 11 2 2k 11 2 22即： nk1命题成立综上所述 由对一切 nN 命题成立 .10. 分析： （ 1）由递推式 a 12， a n 1a n2nan 1可求 a2 ， a 3， a 4 ，再猜想证明。（ 2）证1时要利用 a n1a n ( ann )，及归纳假设放缩。证2 时要充分利用1的结论，需将1向可求和方向放大，故由1a kak a k1 (ak 1k )1ak1 (k12 k1)1入手。欢下载