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1、精品资源1.1.5三个正数的算术一几何平均不等式课后导练基础达标1当x0时，求y=x2+的最小值.x解析：y=x2+1+13,且能取 一,x x1- y的最小值为3.答案：3.欢迎下载2在边长为a的正方形铁皮的四个角上剪去同样大小的四个小正方形(如图)，然后制成一个4a38a3C. -a-D.解析：设剪下的小正方形边长为x,易见容器的容积是V=(a-2x) 2 x(0x a).2_2.V=(a-2x) x1=(a- 2x) (a - 2x) (4x)4-1 (a - 2x) (a -2x) 4x 3 2 3w =-a(当且仅当a-2x=4x,即x=a时，取=),6.容器容积的最大值是a3.27
2、答案：B(允许连接，但不允许折3用长度分别为2,3,4,5,6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形断)，能够得到的三角形的最大面积为()A. 8.5 cm22B. 6. 10 cmC. 3 55 cm2D.20 cm2a b c 解析：令p= a b c ,则p=10.由海伦公式 S= , p( p _ a)( p _ b)( p - c)3知 S= . 10(10-a)(10-b)(10-c) . I0(10-a)(10-b)(10-c)= 100、3203.55.9由于等号成立的条件为 10-a=10-b=10-c,故=”不成立 . .S20 8J5,故选B.答案：B4已知a,b,c
3、6 R+,求证:9;abcbca(ac )(ca)bcaabc(2)(a+b+c)(a 2+b2+c2) 9abc.证明：运用均值不等式得(1)( a+b+与(b+c+a)之33：a.b.&33a一b c a a b c b c a abc(2)(a+b+c)(a 2+b2+cj 33. abc *33 (abc)2 =9abc.5设0x0,且 p3+q3=2,求证:p+qW2.证明：: p,q0,333p 11.p 1 K pq T TW333p 1133，p q 4p+qw pq=2.，原不等式成立.7制造一个能盛放108千克的无盖长方体形水箱，问如何选择尺寸，才能使用料最省？ 解析：所谓
4、用料最省，是指长方体的表面积最小.设长方体的长,宽为a,b（分米），高为h（分米），易知该水箱的容积为108立方分米，即abh=108,设该水箱的用料面积为S,则 S=ab+2（ah+bh尸ab+2ah+2bh 33 (ab) *(2ah) *(2bh) =33 4(abh)2 =108,即S 108（平方分米）（当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时，取“二”）.，水箱的底面是边长为6分米的正方形，高为3分米时，用料最省.8如果 a,b,c R+,求证:3( a +b +c -Vabc) 2( -ab - vab ).32证明：直接运用均值不等式可得a +b +c之Vabc ,
5、 ab至JOb ,也只能得到 32a b c 3 a b -Va b c0,-Jab 0,32尚不能证出3( a +b+c -Vabc)2( a+b -Vab),因此应该对结论式进行分析，变形，寻32找突破口 .j.、ab)2a b c 33(-vabc ) 2(3u c+ 2cab 33/abc.考虑到式右边的特点，可联想到应用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数，但式左边形式上是两个数相加，因此把它变为三个数相加，即c+ 2 ab =c+ ab + . ab 3c Jab Tab =33/abc. c, a b c 3-3(-vabc) 2(39 设 a,b,c0,求证:(a+b+c)(
6、证明：: a0,b0,c0,a-.ab).21 +3a b9)27.c一vabc ,即 a+b+c3 - 33/abc. (D又式中的“=”成立的条件不同,即“二”不同时成立1 3 927，x，得(a+b+c)( _+_+_)3 . q 3 - 3abc=27, a b cabc一1 3 9即(a+b+c)( +)27.abc拓展探究a b 10 试利用 Tab ab(a,b0),2证明 a一b_c 3/abc (a,b,c0).证法 一 ：: a,b,c0,1- a+b 2Tab ,c+ vabc 2 1c *Vabc = 26/abc4 ,a+b+c+ 3 abc 2 ab +26 abc
7、4= 2Vab(Vab +3/02) 26/ab *2v3,ab Vc2 =43/abc.故 a+b+c 3 - 3 abc,即 a b c 3/abc ,其中等号当且仅当 a=b,c= 3/abc且 3/ab =3c2 ,3即a=b=c时成立.abc证法一：设 A=,由 a,b,c0,得 A0,且 a+b+c=3A,3A A a b c A 1 a b c A于是A=()-34222(Jab +、cA)之；Mab *7cA = VabcA.A4abcA,A Vabc,abc 3 即3一 abc ,3等号当且仅当a=b,c=A,且Jab+可cA,即a=b=c时成立.备选习题11甲，乙两人同时从
8、 A地出发走向B地，甲先用1的时间以速度p行走，再用1的时间以速度33q行走，最后用1的时间用速度r行走；乙在前1的路程用速度p行走，中f间-的路程用速333度q行走，最后1的路程用速度r行走(p wqwr).问甲，乙两人谁先到达 B地，为什么？3解析：设A,B两地间的距离为s(s0).甲从A地到B地所用的时间为11,乙从A地到B地所用时间为t2由题意,得 s=p +q +r 0,得 11=3s333 p q rssss, 111而 12= + p+q+ + r= (+ ).3333 pqr由均值不等式，得t231pqr_3s_=t133. pqrpqr（,pwqwr,二”不成立）.t10,由
9、不等式x4x+ xx+ 1 2,xx4=+ +2 3,22x2启发我们可以得出以下结论a一 *x+ n n+1(n C N),贝U a=xa解析：x+ 一 n xx x x a十 + + + nn n n x三个-(n 1) *n亘=(n+1) . n#nInn=n+1,故 a=nn.答案：nn13已知实数 x,y满足:xy0且x2y=2,则xy+x2的最小值应是 ,取最小值时 x=,y=2 1121 , 2、2解析：xy+x = xy+ xy+x 3 - 3 (x y) =3, 224，xy+x2的最小值为 3,此时x=1,y=2.答案：3 1 214已知1xy0,求证:x+ 3.(x -
10、y)y1+(x - y) *y证明：x=(x-y)+y, 由 xy0,知 x-y0,1, 、 x+= (x-y)+y(x -y)y(x -y) *y=3,当且仅当x=2,y=1时取=”.，原不等式成立.15已知x,y,z是三角形的三边长,求证:xyz+yzx xzy xyz3.证明：x,y,z是三角形白三边长, x+y-z0,x+z-y0,y+z-x0.(y+z -x)+(z+x-y)+(x+y-z)3 , 3/(y+z x)(z+x y)(x + y z) , 111+ +yzxzx-yxy-z3 3(y z-x)(z x - y)(x y -z)由X得(y+z-x)+(z+x-y)+(x+
11、y-z) 3 , V(y+z x)(z+x y)(x +y z) (y+z-x)(z + x-y)(x + y-z)二9,即(x+y+z)(+y z xz x - y)9.2x 八, +1)+(y z -x2y +1)+( z x - y2z+1)9. x y - z2xy z - x2yx z - y2zx y - z6.xy z -xx z -y+z3,x y -z即原不等式成立.16某地区农民的年总收入:第一年至第二年增长的百分率为m,第二年至第三年增长的百分率为m2,第三年至第四年增长的百分率为R3,若m+m+m为定值,则年平均增长的百分率 m的最大值为 （）A.3 m1m2m3B.m1m2m3 C. D.3解析：设农民第一年总收入为a,则a(1+m)3=a(1+mi)(1+m 2)(1+m3)一 ,11 1 m2 1 m3、3 wa()3“ m1m2 m3、3 =a(1+123),3mm2m33(1m1)(1m2)(1m3)所以平均增长率 m的最大值为 m1 +m2 +m33答案：B