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1、向量的概念、运算和共线向量知识梳理1 .平面向量的有关概念：(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量(2)表示方法：用有向线段来表示向量 .有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a, b,或用AB, BC,表示.(3)模：向量的长度叫向量的模，记作冏或|AB|.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0;零向量的方向不确定.(5)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量 .(6)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.(7)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量2 .向量的加法：(1)定义：求两个向量和的运算，
2、叫做向量的加法(2)法则：三角形法则；平行四边形法则.(3)运算律： a+b=b+a; (a+b) +c=a+ (b+c).3 .向量的减法：(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法(2)法则：三角形法则；平行四边形法则.4 .实数与向量的积：(1)定义：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a,规定：|入a|二|入悯.当人0时， 入a的方向与a的方向相同；当 入0时，入a的方向与a的方向相反；当 入=0时，入a与 a平行.(2)运算律：入(a)=(入 w)a，(入 + w)a=入 a+ w a，入(a+b)=入 a+ 入 b.5 .两个重要定理：(1)向量共线定理：向量 b与非零向量a共
3、线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得 b=入 a,即 b / a b=入 a (aw 0).(2)平面向量基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任一向量a,有且仅有一对实数 入1、入2,使a=X1e1+入2e2.点击双基1,化简：(1)AB + BC+CD =(2)AB aD DC =(3)(AB -CD)-(AC-BD)= lL2 .若 ABC满足|CB|= |AB+AC|,则 ABC的形状必定为3 .若ABCD为正方形，E是CD的中点，且 AB =a, AD =b,则BE =4 .已知O、A、B是平面上的三个点，直线 AB上有一点 C,满足 2AC
4、+CB=0,则 OC =5 . e1、e2是不共线白向量，a=e1+ke2, b=ke+e2,若a与b共线则实数 k=6 .若a=向东走8 km”,b=向北走8 km”,则| a+b|=, a+b的方向是.7 .下列说法正确的有 (1) .对于两个非零向量 a、b,若存在一个实数 k满足a=kb,则a、b共线(2) B.若 a= b,则 |a|= |b|(3) 若a、b为两个非零向量，则 a+b|a-b|(4) 若a、b为两个方向相同的向量，则|a+ b|= |a|+ |b|典例剖析.例1.(1)在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点O, E是线段OD的中点，AE 的延长线与 CD交于点F
5、.若AC=a, BD = b,则AF =.一 二 一(2)设P是 ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP,则P点的位置在.(3)已知在平面上不共线的四点O、A、B、C,若OA3OB+2OC=0,则胆=.一|BC|例2.如图，已知 OAB中，点C是以A为中心的点 B的对称点，D在OB上，且OD= 2DB, DC 和 OA 交于 E, 设OA=a, OB=b.(1)用a和b表示向量OC、DC；(2)若OE=1A,求实数入的值.例 3.在 ABC 中，AM : AB=1 ： 3, AN ： AC=1 ： 4, BN 与 CM 交于点 E, AB =a, AC=b, 用a、b表示AE .可一例4.
6、如图，G是 ABC的重心，求证： GA+GB+GC=0.例5.设a、b是不共线的两个非零向量，A、B、C三点共线;若O)A=2ab, O)B=3a+b, (OC=a-3b,求证:(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数 k的值.c=2ei 9e2.问是否存例6.已知向量a=2ei 3e2, b=2ei+3e2,其中ei、e2不共线，向量在这样的实数 入、,使向量d=入a+ w b与c共线？例7.设OA、OB不共线，点P在AB上，求证:OP =入 OA+ OB 且入 + =1,入、变式（1） OA, OB不共线，若OP= OA+p OB，且入+科=1 ,入e R,科C R,求证: A、B、P三
7、点共线.11m .变式（2）当入=科=2时，OP=2（OA+OB）, p点在ab的什么位置上.O的直线分别交直线 AB、AC变式（3）如图，在 ABC中，点O是BC的中点.过点于不同的两点 M、N,若AB=mAM, AC=nAN,则m + n的值为变式（4）若a、b是两个不共线的非零向量（tC R）.若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、1 （a+b）三向量的终点在一直线上3课后练习1 .若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则有a、b的关系为.2 .在四边形 ABCD 中，AB - DC - CB =.3 .设四边形ABCD中，有DC = 1而且|AD |=|BC|,则这个四边形是 4 .如图所示，D、E是4ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点， 已知BC=a, BD=b，试用a、b分别表示DE、cE和mN .