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1、 2003级高等数学（）期末考试试卷（A）（工科类）专业： 姓名： 学号： 考试日期：2004.6.11.题 号一二三四五六七八九十十一总 分得 分说明：1. 本试卷共6页；2. 答案必须写在该题后的横线上或括号中或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题15分，每小题3分）1设L为椭圆，其周长记为，则 .2光滑曲面在坐标平面上的投影域为，那么该曲面的面积可用二重积分表示为 .3设L为圆周取正向，则曲线积分 .4在微分方程中，可设其特解形式（不用求出待定系数）为 .5函数的梯度在曲面 上垂直于轴. 二、选择题（本题15分，每小题3分）1设二元函数在点可微，则在点
2、处下列结论不一定成立的是（ ）(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义2由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为）对于直线的转动惯量为= ( ) （A） (B) (C ) (D) 3设a为常数，则级数 （ ）(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a的取值有关4设是由与所围成的在第一卦限的部分，则( ) （A） (B) (C) (D) 5设，而正弦级数，其中，则 三、（本题8分）设，其中具有二阶连续导数，求.四、（本题8分） 设函数，问在点处沿怎样的方向，的变化率最大？并求其最大的变化率.五、（本题8分）计算二重积分，其中.六、（本题8分）
3、计算曲面积分，其中具有连续的导数，为由曲面所围立体表面外侧.七、（本题 8分） 将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域.八、（本题 8分） 求幂级数的收敛域与和函数. 九、（本题 8分） 已知曲线积分与积分路径无关，且，求，并计算的值.十、（本题8分） 一容器在开始时盛有盐水溶液100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量.十一、（本题6分）证明，并求级数的和.2003级高等数学（）期末考试试卷（B）（工科类）专业： 姓名： 学号： 考试日期：2004.6.11.题
4、 号一二三四五六七八九十十一总 分得 分说明：1. 本试卷共6页；2. 答案必须写在该题后的横线上或括号中或写在该题下方空白处，不得写在草稿纸中，否则该题答案无效.一、填空题（本题15分，每小题3分）1设L为圆周取正向，则曲线积分 .2在微分方程中，可设其特解形式（不用求出待定系数）为 .3设L为椭圆，其周长记为，则 .4光滑曲面在坐标平面上的投影域为，那么该曲面的面积可用二重积分表示为 .5函数的梯度在曲面 上垂直于轴.二、选择题（本题15分，每小题3分）1设a为常数，则级数 （ ）(B) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a的取值有关2设是由与所围成的在第一卦限的部
5、分，则( )（A） (B) (C) (D) 3若二元函数在点可微，则在点处下列结论不一定成立的是（ ）(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义4设，而正弦级数，其中，则 5由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为）对于直线的转动惯量为= ( ) （A） (B) (C ) (D) 三、（本题8分）设函数，问在点处沿怎样的方向，的变化率最大？并求其最大的变化率.四、（本题8分）设，其中具有二阶连续导数，求.五、（本题8分）计算曲面积分，其中具有连续的导数，为由曲面所围立体表面外侧.六、（本题8分）计算二重积分，其中.七、（本题 8分）求幂级数的收敛域与和函数.八、（本题
6、 8分）将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域. 九、（本题 8分）一容器在开始时盛有盐水溶液100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量.十、（本题8分）已知曲线积分与积分路径无关，且，求，并计算的值. 十一、（本题6分）证明，并求级数的和.2003级高等数学（）期末试卷A卷答案专业年级： 姓名： 学号： 成绩： 一、填空题（本题15分，每小题3分）1函数的梯度在（ 曲面 ）上垂直于轴 2设L为椭圆，其周长记为，则 12a .3光滑曲面在坐标平面上的投影域为，那么
7、该曲面的面积可用二重积分表示为 .4设L为圆周取正向，则曲线积分 18 .5在微分方程中，可设其一个特解形式为（） .二、选择题（本题15分，每小题3分）1若二元函数在点可微，则在点处下列结论不一定成立的是（ D ）(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义2由抛物线及直线所围成的均匀薄片（密度为）对于直线的转动惯量为=( C) （A） (B) (C ) (D) 3设a为常数，则级数 （ B ）(C) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a的取值有关4 设是由与所围成的在第一卦限的部分，则 (B ) （A） (B) (C) (D) 5设，而正弦函
8、数，其中，则 C三、解下列各题（本题28分，每小题7分）1设，其中具有二阶连续导数，求. =2设函数，问在点处沿怎样的方向，的变化率最大？并求其最大的变化率. 3计算二重积分，其中.其中 ，.4.计算曲面积分，其中具有连续的导数，为由曲面所围立体表面外侧. 四、计算或证明下列各题（本题21分，每小题7分）1 将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域.2求幂级数的收敛域与和函数. 解：因为： 3证明，并求级数的和. 整理得 .得 .五、计算下列各题（本题21分，每小题7分）1已知曲线积分与积分路径无关，且，求，并计算的值. 因为，所以，于是 故 .2一容器在开始时盛有水100升，其中含净盐10公斤，
9、然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量。解：设在过程开始后t分钟容器中含盐x公斤，在时刻t的容器内含液体100+3t-2t=100+t(升)，此时溶液的浓度为x/(100+t)（公斤/升）,经过dt时间，容器内含盐改变dx（dx0），从而由微元法知：分离变量解此微分方程得：，当t=0时x=10,由此初始条件解得特解 当3(1)验证满足微分方程(2) 利用（1）的结果求幂级数的和函数解：即求的满足初始条件,的特解.2003级高等数学（）期末试卷B卷答案专业年级： 姓名： 学号： 成绩： 一
10、、填空题（本题15分，每小题3分）1设L为椭圆，其周长记为，则 12a . 2函数的梯度在曲面 上垂直于轴3光滑曲面在坐标平面上的投影域为，那么该曲面的面积可用二重积分表示为.4在微分方程中，可设其一个特解形式为.5设L为圆周取正向，则曲线积分.二、选择题（本题15分，每小题3分）1由抛物线及直线所围成的均匀薄片（密度为）对于直线的转动惯量为=( C) （A） (B) (C ) (D) 2设，而正弦函数，其中，则 C3若二元函数在点可微，则在点处下列结论不一定成立的是（ D ）(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义4设a为常数，则级数 （ B ）(D) 发散 (B
11、) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a的取值有关5 设是由与所围成的在第一卦限的部分，则 (B ) （A） (B) (C) (D) 三、解下列各题（本题28分，每小题7分）1设，其中具有二阶连续导数，求. =2设函数，问在点处沿怎样的方向，的变化率最大？并求其最大的变化率. 3计算二重积分，其中.其中 ，.4.计算曲面积分，其中具有连续的导数，为由曲面所围立体表面外侧. 四、计算或证明下列各题（本题21分，每小题7分）2 将函数展开为的幂级数，并指出其收敛域.2求幂级数的收敛域与和函数. 解：因为： 3证明，并求级数的和. 整理得 .得 .五、计算下列各题（本题21分，每小题7分）
12、1已知曲线积分与积分路径无关，且，求，并计算的值. 因为，所以，于是 故 .2一容器在开始时盛有水100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量。解：设在过程开始后t分钟容器中含盐x公斤，在时刻t的容器内含液体100+3t-2t=100+t(升)，此时溶液的浓度为x/(100+t)（公斤/升）,经过dt时间，容器内含盐改变dx（dx0），从而由微元法知：分离变量解此微分方程得：，当t=0时x=10,由此初始条件解得特解 当3(1)验证满足微分方程(2) 利用（1）的结果求幂级数的和函数解：即求的满足初始条件,的特解.