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1、四面体外接球、内切球的存在性临邑一中 夏明亮对于三角形而言，都有外接圆和内切圆，那么对于四面体来讲，是否也都存在外接球和内切球呢？（注：四面体的外接球是指四面体的四个顶点都内接于该球；四面体的内切球是指与四面体的各面都相切的球；球与平面相切是指球与此平面仅有一个公共点。）一、四面体外接球的存在性我们知道，任一三角形都存在外接圆，且三角形外接圆的圆心是三角形各边中垂线的交点。是不是四面体也存在相似的性质呢？假设任一四面体都存在外接球，其外接球的球心，就是到四面体各顶点距离相等的点如图（1-1），假设球心为O，直线O（其中点O为的外心，即AO1=BO1=CO1）上任意一到ABC的三个顶点A、B、C
2、的距离都相等，并且有OO1面ABC（为什么？这是因为ABC所在平面截球O的截面为O1，而ABC是截面O1的内接三解形。球心O与截面圆的圆心O1的连线与截面圆O1垂直）。下面证明直线OO1上任意一点P，均有PA=PB=PC（如右图1-2）。因为POO1，可连接AO1，BO1，CO1，PA、PB、PC得RtAO1P、RtBO1P 、RtCO1P。因为AO1=BO1=CO1所以AP2=AO12+PO12=BO12+PO12=PB2即AP=PB同理可得：AP=CP，所以PA=PB=PC即直线OO1上任意一点到顶点A、B、C的距离都相等。同理有OO1面BCD，OO3面ACD，OO4面ABD（其中O2、O
3、3、O4分别为BCD，ACD和ABD的外接圆的圆心且OO2、OO3、OO4上任一点到相对应顶点的距离相等。）由此可得：若四面体存在外接球，则外接球的球心和各面三角形的外心的连线分别垂直相应的各面，且连线上任一点到相对应各面三角形的顶点距离相等。命题1：任意四面体都存在外接球已知：四面ABCD，ABD的外心为O1，BCD的外心为O2，EO1面ABD，FO2面BCD。求证：EO1与PO2相交于一点O，O到各顶点距离相等。证明：右图（1-3），在面ABD上过O1作O1GBD，则BG=DG，连接O2G，有O2GBD。由O1G和O2G确定的平面为面O1O2G，所以BD面O1O2GBD面ABD面O1O2G
4、 面ABD同理，面O1O2G面BCDEO1面O1O2G同理FO2面O1O2G，所以O1E与O2F共面设O1EO2F=0（显然O1E与O2F不可能重合或平行），则O点到A、B、C、D各点距离相等。因为OO1E，所以O点到A、B、D三点距离相等（）O O2F知点O到B、C、D三点距离相等。所以O点到A、B、C、D四项点距离相等。其中（）式可证明如下：（图1-4）证明：O1E上任一点P到ABD，各顶点距离为PA、PB、PD。设PO1=a，O1A=O1B=O1D=r（r为ABD外接圆半径）则：由此可知，点O为四面体ABCD的外接球的球心，从而证明了任意四面体都有外接球。二、四面体内切球的存在性任一三角
5、形均有内切圆，相应地，任意的四面体也应该有内切球。（四面体的内切球是指存在于四面体内且与四面体各侧面相切的球）。对三角形而言，三角形各角角平分线的交点即为三角形内切圆的圆心。假设四面体都存在内切球。根据三角形内切圆圆心的确定，我们推纳四面体内切球球心的确定方法，四面体ABCD有内切球，其球心为O。则点O到四面体各侧面的距离相等。在平面几何中，到角的两边距离相等的点的集合是角平分线。那么在立体空间中，到两个相交平面距离相等的点的集合，定义为二面角的角平分面。命题2：二面角的角平分面是一个平面已知：二面角的角平分面为r。求证：r是一个平面证明：设M、NI上不重合两点，过M、N作二面角 平面角M1M
6、M2，N1NN2。显然，M1MM2=N1NN2且对应边平行MM3，NN3为M1MM2，N1NN2的角平分线。则MM3/NN3，二者确的平面为r，空间中任一点P到二面角两半平面距离相等，作PQI于Q。在，内AQI，BQI，即AQB为二面角平面角，PQ为AQB的角平分线，易知PQ/MM3/NN3所以PQr即r是一个平面。命题3：四面体有内切球如右图（2-2），设二面角A-BC-D的角平分面为，二面角A-BC-C的角平分面为。显然与不重合（若与重合，则有C，从而得出与面BCD重合），与也不平行（因为I1，I1上任一点P到面ABC、面BCD、ABD距离相等。证明如下：设PI1，=I1，P，P由二面角角
7、平分面定义知，P到面ABC和面BDC距离相等。设二面角A-CD-B的角平面为r ，则与r相交，与r也相交。证明：（图2-3）二面角A-BD-C的角平分面交于AC于点E，二面角A-CD-B的角平分面r交AB于F。因为CFBE所以CF，即CF与面相交。2、因为CFr，所以r同理：r设r=I2，r=I3，即I2，I3（）I2与I3的位置关系有三种可能：（1）I2/I3（2）I2与I3重合（3）I2与I3相交显然前两种位置关系是不存在的,令I2I3=0，由（）知O,O又因为=，所以O也就是说O是I1、I2、I3三条直线的交点。由二面角的角平分面定义知，点O到四面体的四个侧面ABC，面ABD，面BCD和面ACD的距离都相等。由四面体内切球的定义知点O为四面体ABCD的内切球的球心，球心O到每个侧面的距离为内切球的半径，所以，任何四面体都存在内切球。三、结论通过以上两部分的论述，我们得出下面结论：任何四面体都存在外接球和内切球。5