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1、习题二1. 设总体的分布密度为为其样本，求参数的矩估计量和最大似然估计量。现测得样本观测值为，求参数的估计值.解 因为总体的数学期望为 所以得到.因为总体的分布密度为 ,则该总体决定的似然函数为,当时,两边取对数得到,两边对求导得到,令得到.当测得的观测值为时,得到的估计值为, .2. 设总体服从区间上的均匀分布,即,为其样本,求参数的矩估计量和最大似然估计量;现测得一组样本观测值:试分别用矩法和最大死染发求总体均值、总体方差的估计值.解 因为总体的数学期望为，所以得到。因为总体，所以该总体的密度函数为 ，则该总体决定的似然函数为 因为似然方程，显然似然方程关于无解.这时利用似然估计的定义，当
2、时，有则，显然当时，可使似然函数取最大值，因此的最大似然估计.当测得一组样本观测值:时，用矩法得：， ；用最大似然法得：， 。3.设是来自总体的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与最大似然估计量。已知总体的分布密度为解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.，其中未知；解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.解 矩估计法：因为总体的数学期望为方差所以 解得.最
3、大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 因为似然方程，显然似然方程关于无解.这时利用似然估计的定义，当时，有，则，显然当，时，可使似然函数取最大值，因此的最大似然估计为，.解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以总体的矩估计量不存在。最大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 因为似然方程，显然似然方程关于无解.这时利用似然估计的定义，当时，有则，显然当时，可使似然函数取最大值，因此的最大似然估计.解 矩估计法：因为总体的数学期望为方差所以 解得.最大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 ,时，知，两边取对数并求偏导得到，显
4、然似然方程关于无解.关于得到.对于利用似然估计的定义，当时，有，而似然方程关递增，故当，时可使似然方程取最大值.因此的最大似然估计为，.解 矩估计法：因为总体的数学期望为方差所以 解得.最大似然估计法：因为该总体的密度函数为 则该总体决定的似然函数为 当，时知，两边取对数并求偏导得到，显然似然方程关于得到.关于无解.对于利用似然估计的定义，当时，有，而似然方程关递减，故当，时可使似然方程取最大值.因此的最大似然估计为，.解 矩估计法：因为总体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为当，又知，两边取对数得，两边对求导得，得到.其中解 矩估计法：因为总
5、体的数学期望为，所以，得到.最大似然估计法：因为总体的分布密度为其中则该总体决定的似然函数为，其中当时知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.4.设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体，则求参数的最大似然估计量.解 根据样本，定义，则样本来自于分布，由最大似然估计的定义知.5.设原件无故障工作时间具有指数分布，取1000个原件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为组中值5152535455565频数365245150100704525如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数
6、得，两边对求导得，令，得到.而，故.6.已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：h）为.设总体参数都未知，试用最大似然估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 因为总体的密度函数为，由似然函数定义 两边取对数，得对参数，分别求导，得到似然方程组解出，所以参数的最大似然估计量为.当样本观测值为时，得到，.7.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数（假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布），其化验结果如下大肠杆菌数/0123456升数1720102100试问平均每升水中大肠
7、杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率最大？解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，令，得到.所以.8.设总体，试利用容量为的样本，分别就以下两种情况，求出使的点的最大似然估计量.若时； 若均未知时.解 当时，故得到，由6题知的最大似然估计量为，所以的最大似然估计量为.当均未知时，故得到，由6题知参数的最大似然估计量为.所以的最大似然估计量为.9.设总体具有以下概率分布，01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4若给定样本观测值：求参数的极大似然估计量.解 定义似然函数，应满足 当样本观测值为时，因此参
8、数的极大似然估计量.10.设总体具有以下概率分布， 求参数的极大似然估计量.解 定义似然函数，应满足，或，取决于样本观测值.11.设是来自总体的样本，设有下述三个统计量， ，指出中哪几个是总体均值的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解 ，所以都是总体均值的无偏估计量，最小故的方差最小。12. 设总体，为其样本，求常数，使为的无偏估计量；求常数，使为的无偏估计量.解 ，所以；当时，则.，从而，所以，所以，则.则，所以时，为的无偏估计量.13.设是来自总体的样本，并且是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量.解 ，所以.14.设有二元总体 为其样本，证明：是协方差的无偏估计量.解 因为，
9、所以 .而，所以，所以 ，即是协方差的无偏估计量.15.设总体，样本为，是样本方差，定义，试比较估计量哪一个是参数的无偏估计？哪一个对的均方误差最小？解 ，.，所以，所以是参数的无偏估计，对的均方误差.16.设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解 ， .，较有效.17.设是的两个独立 无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍。试确定常数，使得为的线性最小方差无偏估计量.解 由题意得，.，.，.所以当时，为的线性最小方差无偏估计量.18.设样本来自于总体，且（Poisson分布），求，并求不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量.解 ，.因为，所以的分布密度为，其中，根据教
10、材中公式（2.3.2），计算信息量由教材中公式（2.3.3），关于的C-R方差下界为.因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，因此，估计量，又因为，根据教材中定理2.3.2知是参数的有效估计量.19.设总体具有如下密度函数：，是来自于总体的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定下界.解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得，所以.根据教材中定理2.3.2知是的有效估计量.下界为 .20.设总体服从几何分布：，对可估计函数，则求的有效估计量；求方差和信息量；验证的相合性.解 因为总体的分布密度为则该
11、总体决定的似然函数为，当时，由知，两边取对数得，两边对求导得所以所以为的有效估计量.由知，.，是相合估计量.21.设总体具有如下密度函数：，是来自于总体的样本，是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，若不存在，请说明为什么.解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为当时，由知，两边取对数得，两边对求导得所以，又因为所以是的有效估计量.22.设是来自于总体的样本，总体的概率分布为 .求参数的最大似然估计量；试问最大似然估计量是否是有效估计量？如果是，请求出它的方差和信息量；试问是否是相合估计量？解 因为总体的分布密度为，则该总体决定的似然函数为由知，两边取对数
12、得，两边对求导得，令得到.由知，所以是有效估计量.由知，所以.，所以是相合估计量.23.设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间.解 由题意知，.24.从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度（单位：cm）为，设钉长服从正态分布，在如下两种情况下，试求总体均值的置信度为的置信区间.若已知； 若未知.解 由题可得，.时，故的置信度为的置信区间为.未知时，故的置信度为的置信区间为.25.测量铝的密度16次，测得，试求铝的密度的置信区间为0.95的知心区间（假设绿的密度测量值服从正态分布）.解 由题意得， ，故的置信度为的置信区间为.26.在方差已知的正态总体下，问抽取容量
13、为多大的样本时，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于？解 由题意知，得到，即.27.从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于，问样本容量至少应取多大？解 由题意得到，所以，即.28.假设是总体的简单随机样本.已知.求参数的置信度为的置信区间；求的置信度为的置信区间.解 由题意可得，所以参数的置信度为的置信区间为.由得且.，因为是严格递增函数，参数的置信度为的置信区间为，所以的置信度为的置信区间为.29.随机地从批导线中抽取4根，并从批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）为批导线：批导线：设测试数据分别服从和，并且他们相互独立，又均未知，求参数的置信度为的置
14、信区间.解 由题意得，故参数的置信度为的置信区间为.30.有两位化验员，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各做了10次测定，其测定值的方差依次为和，设与分别为所测量误差的总体方差（正态总体），求方差比的置信度为的置信区间.解 ，方差比的置信度为的置信区间为.31.随机地取9发做实验，测得炮口速度的样本标准差，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为的置信区间.解 ，这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为的置信区间为.32.在次设计中，有次命中目标，试求命中率的置信度为的置信区间.解 ，命中率的置信度为的置信区间为.33.设总体，参数，是来自总体的样本，并且，求参数的
15、估计量.解 设，先验分布密度为，当时，样本的概率分布为.由教材中式知，关于的后验分布为 .所以，的后验分布，关于参数的估计量.34.设总体，参数具有指数分布，即，并且损失函数为平方差函数形式，求参数的估计量.解 设，先验分布密度为，当时，样本的概率分布为.由教材中式知，关于的后验分布为 .所以，的后验分布，关于参数的估计量.35.设总体服从几何分布：，并且参数，其中为已知参数。在平方差损失下，求参数的估计量.解 设，先验分布密度为，当时，样本的概率分布为.由教材中式知，关于的后验分布为 .所以，的后验分布，关于参数的估计量.36.设为总体的样本，.求参数的有效估计量与相应的信息量；如果，在平方
16、损失下，求参数的估计量；试比较两个估计量和.解 因为总体的分布密度为则该总体决定的似然函数为，当时，由知，两边取对数得，两边对求导得所以所以为的有效估计量.由对求导的结果知知，.设，先验分布密度为，当时，样本的概率分布为.由教材中式知，关于的后验分布为 .所以，的后验分布，关于参数的估计量. ， ，所以，是的无偏估计，不是的无偏估计；的方差比小.习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量.现在测试了炉铁水，其含碳量分别为.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化？解 由题意知，.当已知时，设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即
17、认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.当已知时，设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于.现抽取件，得其均值.已知该种元件寿命，问这批元件是否合格？解 由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接受，即认为这批元件不合格.3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为，现从某天生产的罐头中随机抽测罐，其质量分别为（单位：），假定罐头质量服从正态分布.问机器工作是否正常？能否认为这批罐头质量的方差为？解 设表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：）.由题意知，方差未知. ，
18、，设统计假设.，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即认为机器工作正常.当已知时，设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即为这批罐头质量的方差为.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市个集市上鸡蛋的平均售价为，标准差为.已知往年的平均售价一直稳定左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年？解 由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为，所以拒绝，接受，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度，某日抽测根纤维，其纤度分别为，问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了？解 由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以拒绝，接
19、受，即这天生产的维尼纶纤度的方差明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于，标准差不得超过.现从一批该种元件中抽取个，测得寿命均值为，标准差.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平下，确定这批元件是否合格.解 设表示这批元件的寿命，由题意知，.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即认为这批元件平均寿命不得低于.设统计假设.当时，临界值，拒绝域为.，所以接受，拒绝，即认为这批元件标准差不超过.所以这批元件合格.7.设为来自总体的样本，已知对统计假设的拒绝域为.当时，求犯两类错误的概率与；证明：当时，.解 ，.，.，.，8.设需要对某一正态总体的均值进行假设检验取检验水平
20、，试写出检验的统计量和拒绝域.若要求当中的时犯第类错误的概率不超过，估计所需的样本容量.解 .拒绝域为，统计量为.， .所需的样本容量.9.设来自总体的样本，为已知，对假设，其中，试证明.解 由题意知，且为已知，故，拒绝域为.，所以 ，即.10.设为来自总体样本，对假设的拒绝域.求犯第类错误的概率和犯第错误的.解 由题意知，查表得；，查表得.11.设总体的密度函数为，统计假设，.现从总体中抽取样本，拒绝域，求：犯两类错误的概率.解 当成立时，；当成立时，.12.设总体，根据假设检验的基本原理，对统计假设：；，试分析其拒绝域.解 因为，所以，即，当时，即，所以拒绝域为.因为，所以，即，当时,用作
21、为的近似，则，即，所以拒绝域为.13.设总体根据假设检验的基本原理，对统计假设：；，试分析其拒绝域.解 因为，当时，即，所以拒绝域为. 因为，当时，即，所以拒绝域为.14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率为甲：， 乙：假定含灰率均服从正态分布且.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异？解 设分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：.，.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。 统计假设， 当时，临界值为 拒绝域为 由于所以，接受，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为：
22、甲： 乙：假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高？解设分别表示甲乙两种零件的抗拉强度.由题意知：，.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设， 当时，临界值为 拒绝域为 由于所以，接受，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取个和个，测得其外径为：甲：乙：假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高？解 设分别表示乙甲两种车床加工零件的外径.由题意知：，.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设， 当时 拒绝域为 由于
23、所以，接受，即认为乙车床的加工精度是比甲车床的高.17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取个，各取一个组成一对，现再随机地选取架飞机，将对轮胎磨损量数据列表如下：4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别满足，且两个样本相互独立.解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为，.由题意知：，.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差.首先对两总体的方差进行检验：统计假设 ，由于未知总体的均值，所以当时，拒绝域为 ，落在接受域内，所以接受原
24、假设，即无明显差异.再对两种体的均值进行检验 设立统计假设， 由于，所以当时，临界值，拒绝域为.由于，所以接受，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.18.设总体，总体，由两总体分别抽取样本； 能否认为？ 能否认为？解 由题意知，设立统计假设，当时，临界值，拒绝域为，由于，所以接受，可以接受.统计假设 ，由于未知总体的均值，所以当时，拒绝域为 ，落在接受域内，所以接受原假设，即.19.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈个癌症病人，其中有个治好了，这个医生断言这种
25、样本中的治愈率足够证实他的看法.试用假设检验方法检验这个医生的看法；如果该医生实际得到了治愈率，问检验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？解 设采用化学疗法的治愈率为.设立统计假设检验. 由于是大样本，所以当时，拒绝域为由题意知 ，落入接受域中，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.由于是大样本，所以，由题意知， .20.在某公路上，之间，观察每内通过的汽车辆数，得下表：通过的汽车数量（辆）01234数量9268281110问能否认为通过的汽车数量服从分布？解 设表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为
26、若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得； 在成立的条件下，的概率理论估计值为 ， ， ， ，； 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1920.44932989.86580.05068452680.35946371.89260.21076343280.14378528.770.02060824110.0383437.66861.4472296510.009081.8160.36666072001.00002002.0959由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以通过的汽车数量服从分布.21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行次抽样检验，测得数据分组列表如下：组
27、限频数582034组限频数17664试检验螺栓口径的检验值的分布是否为正态分布.解 设表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得，； 在成立的条件下，的概率理论估计值为 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1130.144614.460.14741352200.192119.210.03248823340.246524.653.54655174170.211321.130.8072361560.125912.593.44941226100.07967.960.5228141
28、001.00001008.5059157由于样本值为落在拒绝域内，因而拒绝，所以螺栓口径的检验值的分布不为正态分布.22.检查产品质量时，每次抽取个产品检验，共抽取次，得下表：次品数012345678910频数35401851100000问次品数是否服从二项分布？解 设表示每次检查产品时的次品数，分布函数为，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得； 在成立的条件下，的概率理论估计值为 ， ， ， ； 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1350.348678334.867830.0005012400.3874
29、20438.742040.04084613180.193710219.371020.09703649470.07019117.019110.0000521001.00001000.1384355由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以每次检查时次品数服从.23.请人比较两种型号电视机的画面好坏，认为好的有人，认为好的有人，拿不定主意的有人，是否可以认为的画面比的好？解 设表示型号电视机的画面，表示型号电视机的画面.用符号检验法：由题意知 ，当时，拒绝域为，落入拒绝域内，故拒绝，即认为的画面比的好.24.为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取件产品进行测量，得下表：甲
30、1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同？解 设表示甲车间生产的产品的某项指标的波动，表示乙车间生产的产品的某项指标的波动.用符号检验法：由题意知 ，当时，拒绝域为，落入拒绝域内，故拒绝，即认为两车间所生产的产品的该项指标分布显著不同.25.观察两班组的劳动生产率（单位：件/小时），得下表：第1班组283339404142454647第2班组344041424344464849问两班组劳动生产率是否
31、相同？解 设表示第1班组的劳动生产率，表示第2班组的劳动生产率.1)用符号检验法：由题意知，当时，落入拒绝域内，故拒绝，即认为两组劳动生产率不同.2)用秩和检验法：由题意知，数据的秩见下表.秩1245.57.59.51314.516731组数据283339404142454647秩35.57.59.5111214.51718982组数据344041424344464849，当时，落入接受域内，故接受，即认为两组劳动生产率相同.26.观察两样本值如下：2.363.147.523.482.765.436.547.414.384.256.543.287.216.54问这两样本是否来自同一总体？解 设
32、表示第组样本值，表示第组样本值.用秩和检验法：由题意知，数据的秩见下表.秩1314528101356数据2.363.147.523.482.765.436.547.41秩76104121049数据4.384.256.543.287.216.54，当时，落入接受域内，故接受，即认为这两样本是否来自同一总体.27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：按照某种遗传模型其比率之比应为：，问数据与模型是否相符？解 设表示某种动物配偶后代体格的属性，分布函数为，由题意知，统计假设是 .选择检验统计量；将的取值划分为若干区间，； 在成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得； 在成
33、立的条件下，的概率理论估计值为 ， ， ， 拒绝域为； 计算的样本值，计算过程见表3.3.4.1100.11215912.2253310.40506862530.445483948.5577450.4063953460.44235848.2170220.10193881091.00001090.9134024由于样本值为落在接受域内，因而接受，所以数据与模型相符.28.在某地区的人口调查中发现：个男人中有个是聋哑人，个女人中有个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设.解 设表示某地区人口的聋哑情况，表示某地区人口的性别情况.如下表：男女合计聋哑349730726569正常157257481
34、679595932521707合计157292451679903132528276由题意知，当时，落入拒绝域内，不能认为“聋哑人与性别无关”.29.下表为某药治疗感冒效果的联列表：年龄疗效儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300是问该疗效是否与年龄有关？解 设表示某感冒药的疗效，表示调查人口的年龄.如下表：年龄疗效儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300由题意知，当时，落入拒绝域内，即认为药的疗效与年龄有关.30.某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂生产的一批产品的不合格率不超过时以高于的概率接收，当不合格率超过时，将以不低于的概率接受。试问验收者制定验收抽样方案.解 由题意知代入下式得到，解得.因此，抽样方案是：抽取件产品，如果抽得的不合格品，则接受这批产品，否则拒绝这批产品.