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1、 空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1棱长为 2的正四面体的表面积是( C )A. 3B4C4 3D1613解析 每个面的面积为： 22 3.正四面体的表面积为：4 3.222把球的表面积扩大到原来的 2倍，那么体积扩大到原来的 ( B)3D. 2倍A2倍B2 2倍C. 2倍4VR解析 由题意知球的半径扩大到原来的 2倍，则体积 ，知体积扩大到原来的 2 2倍333如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )1423284328031403A.B.C.D.解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，
2、所以所求多面体的体积1 1284V VV长方体222 .446 3 2正三棱锥34某几何体的三视图如下，则它的体积是(A)23B8 C8223A8D.3解析 由三视图可知该几何体是一个边长为 2 的正方体内部挖去一个底面半123V径为 1，高为 2的圆锥，所以 2 28 .335已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何3B24D24体的体积为( A)A24 C24232据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分132V别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积 234 1 324 .226某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm
3、)，则该几何体的表面积为(C ) A.95 cmB.94 cm22222 C.94 cmD.95 cm222解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为 23312144130 ；中间部分的表面积为 2 1 ，下面部分的表面2442积为 244162 64 .故其表面积是 94 .SCA BABASC7已知球的直径 4， ， 是该球球面上的两点， 3， 30，则棱锥BSCS-ABC的体积为(A3 3C)B2 3C. 3D1ABSCABSC D解析 由题可知 一定在与直径 垂直的小圆面上，作过 的小圆交直径 于 ，设 ，SD xDCxS-ABD
4、C-ABD，在SAD和SBD则 4 ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 和 中，由已知条件AD BD可得 3xSC SBC SAC DCB DCA，又因为 为直径，所以 90，所以 60，在3BDCBD x中 ， 3(4 )，所以3xx 3(4 )，所以 3， 3，所以三角形 为xAD BDABD31V S正三角形，所以 4 3.ABD3二、填空题8三棱锥 PABCPA中， 底面ABC PA， 3，底面ABCPABC的体是边长为 2的正三角形，则三棱锥113PABCV SPA| | 2 3 3.2积等于_ 3_解析 依题意有，三棱锥的体积 33 4ABC9一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球
5、的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 32_rrr rr2解析 设圆柱的底面半径是 ，则该圆柱的母线长是 2 ，圆柱的侧面积是 2 2 4 ，设球的RRRrR rr r半径是 ，则球的表面积是 4 ，根据已知 4 4 ，所以 .所以圆柱的体积是 22222r423rr32 ，球的体积是 ，所以圆柱的体积和球的体积的比是32.334r3310如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1的正方形和 4个边长为 1的正三角形2组成，则该多面体的体积是_ _6 3解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 ，连2212接顶点和底面中心即为高，可求得高
6、为 ，所以体积 11 .2V2326RO11如图，半径为 的球 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面R积之差是_2 _2RRr解析 由球的半径为 ，可知球的表面积为 4 .设内接圆柱底面半径为 ，高为2r h22hh r Rr hrhR22 ，则 .而圆柱的侧面积为 2 2 4 42 (当且仅2222r hR2当 时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2 ，此时球的表面积与内R接圆柱的侧面积之差为 2 .2ABCAB C112如图，已知正三棱柱的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点11AA1出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 的最短路线的长为_13_c
7、m.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 51213 (cm)22三、解答题13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1所示，墩的上PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图半部分是正四棱锥3分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积解析 (1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为1 40 60402064 000(cm )V V V2233PEFGHABCDEFGH14 .一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1的平行四
8、边形，侧视图是一个长为 3，宽为 1的矩形，俯视图为两个边长为 1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3，所以 V11 3 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平面 BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S2(111 312)62 3.15已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为VS4 的等腰
9、三角形(1)求该几何体的体积 ；(2)求该几何体的侧面积 .解析 由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为8 和 6 的矩形，正侧面h及其相对侧面均为底边长为 8，高为 的等腰三角形，左、1h右侧面均为底边长为 6，高为 的等腰三角形，如右图所示21(1)几何体的体积为： 1VSh 68464.33矩形(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 4 3 5.左、右侧面的底边上的高为：h 4 4 22221212124 2.故几何体的侧面面积为：S2 85 64 24024 2.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）. .aa2解：设展开图的正
10、方形边长为 a，圆柱的底面半径为 r，则 2r=a， r =，底面圆的面积是，2p4pa2+ a21+ 2p2p于是全面积与侧面积的比是=，a22p2在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与 8 个顶点相关的 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.2解：正方体的体积为 1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是1 1 1 1 1 115( ) = ，于是 8 个三棱锥的体积是 ，剩余部分的体积是 ，3 2 2 2 2 48663一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是 5cm，则这个
11、直棱柱的全面积是3答案：148 cm2。解：底面菱形中，对角线长分别是 6cm 和 8cm，所以底面边长是 5cm，侧面面积是 455=100cm ，两个底面面积是 48cm ，22所以棱柱的全面积是 148cm .24已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为。4答案：2 2 ： 5解：设圆柱的母线长为 l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2p 4p2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，332prl2l由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式q =，得 = ， = ，r1r2l33 ll - ( )22
12、2 253所以它们的高的比是=.2ll - ( )2235已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_5答案：1cm3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是 1，高为 3，1则它的体积是 13=1cm .336矩形两邻边的长为 a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为b6答案：aab aba b2解：矩形绕 边旋转，所得几何体的体积是 V = ，矩形绕 边旋转，所得几何体的体积是 V = ，212ppV1Vb a
13、b2所以两个几何体的体积的比是=a b a22a16四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 .(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积ABCDAB BC CD AC BD a AD x AD P中，设 ， ，取 的中点为 ，解析 (1)如图，在四面体BCEBP EP CPAD的中点为 ，连接 、 、 .得到 平面BPC，VA-BCDV VA-BPCD-BPCx aa1 11 1 12 SBPCAP SPDSADaa2xa x x2 2 2 3 2BPC3334 412BPCa a3 (当且仅当 16a12a3xa3时取等号)该四面体的体积的最大值为 .12 2 828(2)由(1)知，ABC 和BCDa都是边长为 的正三角形，ABD 和ACD是全等的等腰三角形，其腰6aS， 23a12 6aa2 6 a长为 ，底边长为a22242 24表3610a4315a 2 3 152 a a a a .22222244