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1、 习题 55-1如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端r2m m分别挂着质量为和 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定2m m2 / 2滑轮的转动惯量均为 mr，将由两个定滑轮以及质量为和 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。解：受力分析如图，可建立方程：2mg -T = 2maT2T - mg = ma 121a = rb ， J = mr / 2 2111= g T = mg，联立，解得：a。485-2如图所示，一均匀细杆长为 ，质量为m ，平放在摩擦系数为m 的水平桌面l上，设开始时杆以角速度 w 绕过中心 O 且垂直与
2、桌面的轴转动，试求：（1）作0用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。m=解：（1）设杆的线密度为： l，在杆上取l= d x一小质元dm lmd f = dmg =gxd x ，微元摩擦力矩：dM ml考虑对称性，有摩擦力矩：1lM = 2mlgxd x = mgl ；m240dwtJd ，0bw= J = J，有： -Mdt=（2）根据转动定律Mdtw00141wlmw，t =-mglt = - m l20 。123mg01w ww 0-M t = J - J=J =，ml ，2或利用：，考虑到120wl=有：t。03mgWord 文档 m5-3如图所示，一个质量为 的物体与绕
3、在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R2m g -T = maTR = Jb 1a = Rb ， J = mR222mgMmg联立，解得：a =，T =，M + 2mM + 2mdv2mg2mg t a =vdv =tdt ，有：v =考虑到，。dtM + 2mM + 2m00M / 45-4轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为，均MBM / 4的重物，如图。已知滑轮对O在绳的另一端 系了一质量为J = MR / 4轴的转动惯量2，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬B时，绳与滑轮间无相对滑动，求 端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮
4、与重物列出动力学方程Mg -T = Ma人1AMMT - g = a物442BT R -T R = Ja 滑轮12a = a = RJ = MR / 4,解上述方程组由约束方程:a 和2ABga =得到.2解二：uv选人、滑轮与重物为系统，设 为人相对绳的速度， 为重Word 文档 d udt物上升的速度，注意到u 为匀速，= 0，系统对轴的角动量为：1M3L = M v R - M (u - v)R + ( R2)w =-M v R M u R442( B物体)(人) ( A物体)v143M = -M gR + M gR = M gR ，而力矩为：4dLdt34d 3g=MgR = ( Mv
5、R - MuR)dt 2a =，根据角动量定理M有：。25-5计算质量为m 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。R3mr=解：设球的半径为 ，总重量为m ，体密度R，4p R3r sinq q j= r2drd d考虑均质球体一个微元：dm，由定义：考虑微元到轴的距离为rsinqJ = (rsinq ) dm ，有：2 2ppRdrd d( sinq) r sinq q jJ =rr2200012p= 2 r -p r(1 cos q) cosq-d= mR5 R22 。5500度系数 km = 5.0kg ，求在q = 0的位置上细棒至少应具有多大的角速度w ，才能转动到水平位置？q 0
6、q 90=解：以图示下方的三角桩为轴，从考虑机械能守恒，那么：= 0时的机械能为：ql1 1mg (重力势能) + （ ml ）w (转动动能) ，2222 31= 90k x2q时的机械能为：02Word 文档 l 1 11mg + （ ml ） = k x有：2w222 2 32(x + 0.5) = 1.5 +1= 3.28rad s根据几何关系：222 ，得：w-15-7如图所示，一质量为 m 、半径为 的圆盘，可绕O 轴在铅直面转动。若盘R自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘 A 点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：（1）设虚线位
7、置的 C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，113=Jw 2 ，而 J = mR + mR = mR有： mgR2222224g3R4Rg16Rg3=v = R = 2 =wwvRw3cA73= m（g 重力）+ mR （向心力）= mg（2） Fw，方向向上。2y2m5-8如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和的小球，杆可绕12水平光滑固定轴 O 在竖直面转动，转轴 O 距两端分别为 l 和 l 轻杆原来静33止在竖直位置。今有一质量为 m 的小球，以水平速度 与杆下端小球 m 作对心v01碰撞，碰后以 v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。2解：根据角动量守恒，
8、有：02122llmv l = -m v l + m( ) + mw 2 ( ) w222300229933003v=w02lWord 文档 5-9一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为m )，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为 m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。( 圆盘绕通过 O 的竖直轴的转动惯量为12MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)21ww= MR + mR解：（1）利用角动量守
9、恒：mvR2222mv(2m + M )R=得：w；Msqs，其中：面密度= rdrd=（2）选微分dm，pR2M23mmgr2rdr =mM gR= grdm =RMpR2f021m()w 0-，Dt = J Dw 有：M gR Dt = M R + mR由 M2232f()2 M + 2mDt =Rw知：4mMg2mv3mv2 M g=D =。将wt代入，即得：(M)+ 2m Rm5-10有一质量为 、长为 的均匀细棒，静止平放m1在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点lO 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动2A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为
10、v 和 v ，如图所示。求碰撞后从细棒开1始转动到停止转动的过程所需的时间。21= m l(已知棒绕O 点的转动惯量 J2 )31Word 文档 v v解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v 和v 方向相反，以逆时针为正向，有：123m (v + v )13m v l = m l w - m v l ，得：w=21m l222 112 21又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：1mdwmmm gl ，利用-M = JM = lg xd x =，有：1l21dtff01wm l d22lw 2m (v + v ) 31t= -0=dt，得：t。221123m gm m gw0mm g l115-
11、11如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg m2，半径为7cm ；物体的质量为5kg，= 200N/m用一细绳与劲度系数k的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为 ，下落最大距离为 x 。xmax1由机械能守恒： k x= mgx2max，有：2max2mgx =max= 0.49m；k111（2）当物体下落时，由机械能守恒： k x + mv + Jw = mg x ，222222v1211w2w=k x + mR+ J = mg x考虑到w，
12、有：，222R22dw= 0欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令，有：d x1d wdwmgkk x + (mR + J )2w= mg ，将= 0 代入，有：x =m ，= 0.245( )22d xd x= 0.245当 xm 时物体速度达最大值，有：Word 文档 1mgx - kx22v =，代入数值可算出：v =1.31m / s 。212Jmaxmax(m + )r25-12设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度w 成正比，比例系数的 ，并已知叶片转子的总转动惯量为 。（1）原来静止kJ的电扇通电后 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大
13、？（3）电扇t以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？P= -kw ，而动力矩M =dw解：（1）已知 M，wf+ M = J通电时根据转动定律有：Mfdtw JPkwtwd ，可求得：w(1- e)；tdt =代入两边积分有：JwP - k020P；kw =稳定（2）见上式，当t时，电扇稳定转动时的转速：P=（3）断开电源时，电扇的转速为w，只有作用，那么：M0kfdwdtdwdtdw k wwqq0w-k = J=- d = d，考虑到，有：，dqJ0w0JJ Pk kqw=得：。k05-13如图所示，物体 A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为m ，细绳的一端系住物
14、体 A，另一端缠绕在半径为R 的圆柱形转轮 B 上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 w 绕其转轴转0动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体 A的速度多大？物体 A运动后，细绳的力多大？解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体 A和转轮 B 、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，1wwwJ = J + Rmv ，又v = R ， J = mR220AAWord 文档 13w =w0AT - mg = mam （1）-TR = Jb ，（2）约束关系：a = Rb（2）物体 运动后，由牛顿定律：B对转轮 ，由定轴转动定律：（3）1可求出：T =mg。m3mR
15、5-14. 质量为 的小孩站在半径为 、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。v当小孩突然一相对地面为 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度w 为多少？mRvm Rv + J = 0= -解：此过程角动量守恒：w，有： w。J5-15在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在1R距转轴为处，人的质量是圆盘质量的1/10开始时盘载人对地以角速度w 匀02速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示12 求：已知圆盘对中心轴的转动惯量为MR
16、R2w(1) 圆盘对地的角速度R/2v12vR(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速v度 的大小及方向？v解：(1) 设当人以速率 v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为w，则人对与地固联的转轴的角速度为v2vRw w= -w= -1R2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒设盘的质量为 M，则人的质量为 M / 10，有：12M 110 2 12M 1 22MR + R w = MR w + R w2210 2 0Word 文档 2vw w=+将式代入式得：0 21R(2) 欲使盘对地静止，则式必为零即得： v21Rw / 2w +2v / (
17、21R)000式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致2vw w=+答案：；v21Rw / 20 210R式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致思考题端分别悬有质量m 和m 的物体 ( m T。12215-2一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 以角速度w 按O等方向相反但不在同一条直线的力 沿盘面方向同时作F用到盘上，则盘的角速度w 怎样变化？答：增大5-3个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）
18、机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。答：（C）Word 文档 5-4在边长为a 的六边形顶点上，分别固定有质量都是 m 的 6 个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴、在质点所在的平面，如图 a 所示；（2）设转轴垂直于质点所在的平面，如图 所示。b= 9ma= 3ma答：以为轴转动惯量 J以为轴转动惯量 J以为轴转动惯量 J2 ；2 ；= 7.5ma2。5-5如图a 所示，半径分别是R 和 R 、转动惯量分别是J 和 J 的两个圆柱体，1212可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为 w ，现在将小圆柱体向左0靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。ww= J由 J，有小圆柱的最终角速度为：1022wJw=10。J5-6均质细棒的质量为M ，长为 L ，开始时处于水平方位，静止于支点O 上。v= d一锤子沿竖直方向在 x处撞击细棒，给棒的冲量为 I j 。试讨论细棒被球撞0击后的运动情况。答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。Word 文档