《最新高考数学(理)之解析几何高频考点11 圆锥曲线定值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学(理)之解析几何高频考点11 圆锥曲线定值问题.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 第 1 页 共 11 页最新高考数学（理）解析几何11 圆锥曲线 定值问题一、具体目标：了解直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的位置关系，理解与圆锥曲线与关和定值，定点问题，能解决与圆锥曲线有关的定值、定点问题.二、知识概述：1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得2.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊
2、入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3.常见题型：（1）与椭圆有关的定值问题：x y1222已知椭圆C： 1 经过点(0， 3)，离心率为 ，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A、B 两点.a b22(1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l交y 轴于点M，且MAAF，MBBF，当直线l 的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由.c 1a 2x y2 24 3【解析】：(1)依题意得b 3，e ，a b c ，a2，c1，椭圆C 的方程为 1.222(2)因直线l 与y 轴
3、相交于点M，故斜率存在，又F 坐标为(1，0)，设直线l 方程为yk(x1)，求得l 与 y轴交于M(0，k)，设l 交椭圆A(x ，y )，B(x ，y )，1122yk（x1），由消去y 得(34k )x 8k x4k 120，2 2 2 2x y22 1，4 38k234k24k 122x x ，x x ，又由MAAF，34k2121 2 第 2 页 共 11 页x(x ，y k)(1x ，y )，1xx1 ，同理2 ，1x111112xxx x 2x x 1 2 121 21x 1x 1（x x ）x x12121 28k234k22（4k 12）234k283 .8k4k 12221
4、 34k34k2283所以当直线l 的倾斜角变化时， 的值为定值 .（2）与双曲线有关的定值问题：y2- =1 ( 0)已知点F 、F 为双曲线C ：x2b 的左、右焦点，过F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交12b22双曲线C 于点M ，且MF F = 30 .12（1）求双曲线C 的方程；uuur uuurPP（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 、P ，求证PP 为定值( ) ( )12121+ b ,01+ b , y ( 0)y【解析】（1）设F 、 的坐标分别为2 、M2020y21+ b -=1y = b =2 ，所以 MF b2 ，因为点
5、 在双曲线C 上，所以0 ，即M2b202DMF F中， MF F= 300 ， MF = bMF = 2b2 ，所以 2 .在Rt211221- MF = b = 2由双曲线的定义可知： MF.212y2x - =1故双曲线C 的方程为： 2.2: 2x - y = 0 l : 2x + y = 0（2）由条件可知：两条渐近线分别为l，.12(x , y )ltan = 2.设双曲线C 上的点Pq，设 的倾斜角为 ，则q1002x - y2x + y| PP |=00| PP |=00则点P 到两条渐近线的距离分别为，.3312y2(x , y ): - =12x - y = 2上，所以 .
6、因为P在双曲线C x22220000 第 3 页 共 11 页1- tan q 1- 21132又cos 2q = - ，从而cos= cos(p - 2q) = -cos 2q =2x - yPPP11+ tan q 1+ 2322uuur uuurPP =2 -2 +x yx y22 1 2 =00 00 cosPPP=1所以PP00.3333 9122uuur uuurPP所以PP为定值.12（3）与抛物线有关的定值问题：= -x= ( +1)与直线y k x、相交于A B 两点，求证：k kOA已知抛物线y为定值.2OB = -2yx【解析】由，消去 得，kyx2+ y - k = 0
7、 ，= k(x +1)y1(x , y )、B(x , y )y y = -1 y + y = -设A，利用韦达定理得，11221212kA、B在抛物线y= -x 上，2= -x , y = -xy y = x x y22，22，1122121 2y y1x xy y1k k = =1 2= -1.2x x1 2y y1 2OAOB12= x + mx - 21【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线y与 x 轴交于A，B 两点，点C2的坐标为(0,1) .当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦
8、长为定值.【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析( ) ( )A x ,0 ,B x ,0 ，由ACBC 得x x【解析】解答本题时，设+1= 0，由根与系数的关系得x x = -2，121 21 2矛盾，所以不存在；求出过A，B，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.（1）不能出现ACBC 的情况，理由如下： 第 4 页 共 11 页A(x ,0)B(x ,0)x，xx x = -21 2设，则满足 x2 + mx- 2 = 0，所以.1212-1 -1 = -x x12又 C 的坐标为（0，1），故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为，12所以不能出现
9、ACBC 的情况.x 11x，y - = x (x - )（2）BC 的中点坐标为（），可得 BC 的中垂线方程为.222 2222mx + x = -mx= -由（1）可得，所以 AB 的中 垂线方程为.212mmx = - ，x = - ，22x22+ mx - 2 = 0，可得联立又1x1y = - ，22y - = x (x - )，2 222m 1m2+ 9所以过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为（- ，-），半径 =r，2 22m2 r -（ ） = 3，即过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.故圆在 y 轴上截得的弦长为2222.【2018 年高考北京卷理数】已知
10、抛物线C： =2px 经过点 （1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与 抛物线y2PC 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（1）求直线 l 的斜率的取值范围；uuuuruuur uuuruuur1 1+（2）设 O 为原点，QM = lQO ，QN = mQO ，求证：为定值l m【解析】（1）因为抛物线 y =2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y =4x22由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 2 = 4yx设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由得2k x2 k x+ (2 -
11、4) +1= 0 = kx +1y依题意 D = (2 - 4) - 4 1 0 ，解得 k0 或 0k1: y = x + 2,1.已知点 是直线lP与椭圆y2a12+ PF设 PF取得最小值时椭圆为C .12（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；, ByQA, B 的任意一点，直线QA,QB（2）已知 A 为椭圆C 上关于 轴对称的两点， 是椭圆C 上异于 分别( ) ( )0,m , N 0,n与 y 轴交于点 M，试判断mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.2( )+1 x + 4a x + 3a = 0，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已【分析】（1）联立 ，
12、得 a2222x22+ y =12a 第 7 页 共 11 页( ) ( ) ( )( ) ( )M 0,m , N 0,n，由已知求, y ,B -x , y ,Q x , yC 2知条件能求出椭圆 的方程；（ ）设A x，且111100x y - x yx y + x y=,n =1出 m，由此能求出mn 为定值 .0 1100 110x - xx + x0101y = x + 2( )【解析】（1）联立，得 a1430，+ x + a x + a =2222x22+ y =12a( )= x + 2D =16 - 4+1 3 0，解得a2 3，a 3，直线 y与椭圆有公共点，aaa422
13、+ PF = 2aa = 3PF + PF取得最小值，又由椭圆定义知 PF，故当时，；12126x2+ y =1；离心率为C此时椭圆 的方程为233( ) ( ) ( )( ) ( )M 0,m , N 0,n，, y ,B x , y ,Q x , y（2）设 A x，且112100( )x y - yy- yy - m= k=- =，即 y m k，001 ，010x - xx0x - x0QAQM0101( )x y - yx y x y-x y x y+m = y -=0 11001，同理，得n1 0，00 1x - xx - xx + x0010101x y - x y x y +
14、x y xy- xy2222220=0 mn，01 00 11 011x - xx + xx- x010101x20xx203x213213+ y =1, + y =1y =1- , y =1-又2021，2021，3x2x21-1- x1-x2022033- x1 x20222=1， mn1x20- xx- x101 mn 为定值 1.2.已知抛物线 y 2px(p0)的焦点为 F，A(x ，y )，B(x ，y )是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：21122p2(1)y y p ，x x ；241 21 211(2)为定值；|AF| |BF|(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线
15、相切p2p2【证明】 (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ，0)由题意可设直线方程为 xmy ，代入 y 2px，2 第 8 页 共 11 页p得 y 2p my ，即 y 2pmyp 0.(*)则 y ，y 是方程(*)的两个实数根，所以 y y p .22222121 2y ypp242 24因为 y 2px ，y 2px ，所以 y y 4p x x ，所以 x x 1 2 .2222 21 224p 4p1121 21 2221111x x p(2)p2p212p2.4|AF| |BF|px x x x (x x )2121 212p11|AB|22因为 x x ，x x |AB|p，代
16、入上式，得 (定值)4|AF| |BF| p p2p p1 21224 2(|AB|p)4(3) 设 AB 的中点为 M(x ，y )，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，00121212则|MN| (|AC|BD|) (|AF|BF|) |AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切3.椭圆 C： 1(ab0)的离心率 e 23，ab3.x y2 2a b22(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图所示，A、B、D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP
17、的斜率为 k，MN 的斜率为 m.证明：2mk 为定值.3 c【解析】(1) 因为 e ，所以 a c，b c.2 a2133x2代入 ab3 得，c 3，a2，b1.故椭圆 C 的方程为 y 1.24 第 9 页 共 11 页12(2)证明 因为 B(2,0)，点 P 不为椭圆顶点，则可设直线 BP 的方程为 yk(x2)(k0，k )，x8k 24k .22代入 y 1，解得 P，244k214k211直线 AD 的方程为 y x1.24k2与联立解得 M2k1 2k14k ，.4k18k 24k 4k 1014k2 2k1 22由 D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知x0，解得 N，
18、0 .4k214k 18k 22204k 124k2k104k(2k1)2k1所以 MN 的斜率为m2k1.4k2 4k2 2(2k1) 2(2k1)4222k1 2k112则 2mkk (定值).24.已知椭圆 C：9x y m (m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段222AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y ).1122MM将 ykxb 代入 9x y m ，得(k 9)x 2kbxb m 0，2222222x x k
19、b9bk 2故 x 12，y kx b.2k 2M9MM9y9于是直线 OM 的斜率 k M ，即 k k9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.xkOMOMMuuur uuur uuur rFA+ FB + FC = 0( )2px p 0DABC 的三个顶点都在抛物线 y2 =5.已知上，且抛物线的焦点 F 满足，+ ny - m = 0 m,n（ 0）若 BC 边上的中线所在直线 l 的方程为mx（1）求 p 的值；为常数且mDOFA DOFB DOFCS S2 为+ +（2）O 为抛物线的顶点，、的面积分别记为 S 、S 、S ，求证：S12122233定值uuur uu
20、ur uuur r+ FB + FC = 0 ，取BC 边上的中点M ，则AF【解析】（1）因为抛物线的焦点F 满足 FA= 2AM，故( )px=1，得抛物线的焦点F 1,0= 0=1, = 2p 点 F 在直线l 上，令 y，得，于是，2uuur uuur uuur r0(A x y B x y C x y) () ()，由 FAx + x + x = 3，+ FB + FC =（2）记,知：123112233 第 10 页 共 11 页= 4x (i =1,2,3)且 y，2ii()1 2 213()+ S + S =y + y + y2 2 2 x + x + x = 2 = 34于是
21、 S=2122 212224 2161623 23123xy ( )3 5522E : - =1 a 06.已知双曲线的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 、F ，离心率为1，点Pa242uuuur uuuurPF QF = 0.a2=是直线 x上任意一点，点Q 在双曲线 E 上，且满足322（1）求实数 的值；a（2）证明：直线 PQ与直线OQ 的斜率之积是定值.2 + 4 3 5a【解析】（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为e =，由于 a 0= 5，解得a ，a5x y22- =1故双曲线 E 的方程为；5 45（2）设点 P 的坐标为，点Q 的坐标为 x y ，易知点 F( )(
22、 )3,0，, y,3002uuuur则 PF54 ( )= 3,0 - , y = ,-y， 33 2uuuur( ) ( ) ()QF = 3,0 - x , y = 3- x ,-y ，20000( )( )xuuuur uuuur4 x -3 4 -3 45( ) ( ) ( )PF QF = 3- x + -y -y = 0 y =P 的坐标为,00，因此点 ，33y3322000( )03y4 x -3y -0y - y3y - 4x +1220PQ的斜率k =PQ=故直线，050(0)533x -5 yx -0x -0030y=直线OQ 的斜率为k，0x0OQ3y - 4x +12 y 3y - 4x +122020k =OQ =因此直线 PQ与直线OQ 的斜率之积为k，(0)003x -5 yx03x -5xPQ20000 第 11 页 共 11 页( )4 x -52( )x y2020, y- =1=由于点Q x在双曲线 上，所以E，所以 y05，205 400()12x - 20x 4 3 -5 4x x2020=于是有k00（定值）.k015x - 25x 5x 3x -5 5PQOQ000