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1、c =1 b =22019 年二模汇编解析几何专题一、 填空题1、（宝山 2）圆x2 +y 2 -2x +6 y =6的半径r =_【答案】4【解析】写出圆的标准方程：x2 +y 2 -2x +6y =6 ( x -1)2 +( y +3)2=422、 （宝山 3）过点 A (-2,4)，且开口向左的抛物线的标准方程是_【答案】y2=-8x【解析】设抛物线为y2=-2px, p 0，代入点A(-2,4)，则y2 =-8x3、 （宝山 6）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2,1)，若 Qxy(, ) 为平面区域 x +y 2 x 2y 1OP OQ上一个动点，则的取值范围是_【答案】
2、3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则OP OQ =(2,1)(x,y)=2x+y，令2 x +y =z则即求z的取值范围，y =-2x +z，线性规划得到分别在点(1,1)和P(2,1)取到最值，为3,54、（崇明 5）已知椭圆的焦点在 为_.x 2 y 2+ =1【答案】5 4x轴上，焦距为 2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程【解析】由题意可知， ，则a = b2 +c 2= 5，所以，椭圆方程为x 2 y 2+ =15 4- 1 -22x y2 2x y2 222x y5、 （崇明 7）已知直线l1（: a -3) x +(4 -a ) y +1 =0 与 l :2（2a -3
3、) x - 2 y +3 =0平行，则 a =_.【答案】3 或 5【解析】当两直线中一条斜率为 0，另一条斜率不存在时，轻易可知 a =3 ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，( a -3,4 -a ) 与 (2 a -6, -2)为共线向量，计算可得a =56、 （奉贤 4）参数方程x =2 +cos y =sin qq（q 为参数， q0,2 p)）表示的普通方程为【答案】(x-2)2+y2=1【解析】由圆的参数方程可知(x-2)2+y2=1.7、（奉贤 6）若 x、 yx -y 0 满足约束条件 2x +y 6，则 x +3 y的最小值为x +y 2【答
4、案】- 2【解析】由线性规划，画图可知，直线过点(4，-2)时，取到最小值 - 2 .8、（奉贤 8）双曲线的右焦点恰好是 y 2 =4 x的焦点，它的两条渐近线的夹角为p2，则双曲线的标准方程为【答案】 - =11 12 2【解析】设双曲线的标准方程，为 - =1a b。由题意得双曲线的右焦点为 (1,0)，即 c =1 。两条渐进性为 y =x，故 a =b 。从而解得双曲线为 -1 12 2- 2 -=1 。注意标准方程格式！9、（虹口 6）已知F , F1 2是椭圆 C :x 2 y 2+ =136 27的两个焦点，点 P 为椭圆 C 上的点，PF =81,若 M 为线段 PF 的中点
5、，则线段 OM1【答案】 2的长为 。【解析】椭圆定义及三角形中位线可得OM =210、（虹口 10）在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点 O ，如图所示，双曲线 G是以 C 、 F 为焦点的，且经过正六边形的顶点 A、 B、 D 、 E ，则双曲线 G的方程为【答案】x1 -2 y 2- =13 32 2【解析】c =1,2 a =|AC | -| AF |=3 -1, b2 =c 2 -a 2=32.11、（黄埔 3）椭圆x 22+y2=1 的焦距长为【答案】 2【解析】椭圆 a2=b2+c2，所以 2 =1 +c2，所以 c =1 ，焦距
6、2c =212 、（ 黄 埔 10 ） 设q0,2p)， 若 圆 ( x -c o qs2) + y( -sqin2=) r2（ r 0 ） 与 直 线2 x -y -10 =0有交点，则 r 的最小值为【答案】2 5 -1【解析 】圆心(cqo qs),到 s 直 i 线n的距离 ：d =有交点 r2cos q-sin q-10=5r =2 5 -1 取最小即可.5 cos (q+j)-1052 5 -1,2 5 +1 ；- 3 -, -1 ,1 13、（嘉定长宁 6）已知实数 x, y满足 x 0y 1，则 x -2 y的最大值为y x -1【答案】 2【解析】由已知条件画出约束条件的区域
7、图，设b =x-2y，看成直线的截距课求出答案。14、（嘉定长宁 10）已知直线x =1 +t cos a y =t sin a（t为参数）与抛物线y2=4 x相交于 A、B两点，若线段 AB 中点的坐标为 (m,2) 【答案】8，则线段 AB 的长为15、（金山 7）方程 x =t +1 y =3 -t 2（ t 为参数， t R ）所对应的曲线的普通方程为.【答案】y =3 -(x-1)2=-x2+2 x +2【解析】t =x -1，带入得y =3 -(x-1)2=-x2+2x+216、（金山 10）已知函数f (x)=sinx和 g (x)=p2-x2的定义域都是-p，p，则它们的图像围
8、城的区域面积是.【答案】p32【解析】y =p2-x2， y 0 ，所以 y2+x2=p2， y 0，所以是一个半圆。因为 p p - 和 2 2 两顶点带入y = p2-x2得py = 3 1 2，所以f (x)函数图在圆内，S =pr 22=p32如图：- 4 -( x()22222217、（闵行松江 2）抛物线1x = -【答案】2y2= 2 x的准线方程为_ 【解析】由y2= 2 px可得2 p =2，所以p =1，准线方程为x = -1218、（闵行松江 8）设不等式组 x + y - 6 ? 0 x - y + 2 ? 0 x - 3 y + 6 ? 0表示的可行域为 W ,若指数
9、函数 y = a x 的图像与W有公共点，则 a的取值范围是 864(2,4)【答案】 1,22【解析】5 10 152由图可知 1 a ，且 a2 4 ，所以 1 a ? 2419、（浦东 7）焦点在 轴上，焦距为6，且经过点(5,0)的双曲线的标准方程为_。【答案】x 2 y 2- =15 4【解析】设该双曲线的标准方程为x 2 y 2- =1a 2 b 2 2c =6由 c =a +b 5 (0)2 - =1 a bx 2 y 2则设该双曲线的标准方程为 - =15 4。20、（浦东 11）已知正方形 ABCD 边长为 8 ， BE =EC , DF =3 FA- 5 -,若在正方形边上
10、恰有6y( )y个不同的点 P，使PE PF =l,则l的取值范围_（-1,8）【答案】【解析】以 BC 为 x 轴， BA 为 轴建立空间直角坐标系。设P（x,y)，求其轨迹方程为：（x -3) 2 +( y -4) 2 =l+17.与正方形四条边有 6 个交点，则半径l+17 （4,5）可得l（-1,8）21、（普陀 2）双曲线12 【参考答案】5C :x 2 y 2- =116 9的顶点到其渐近线的距离为_.【解析】顶点为 (4,0)，渐近线为y =3 12 x ，求 4,0 到直线 3x +4 y =0 的距离为 d =4 522、（普陀 4）设直线 l经过曲线C :x =1 +2co
11、s q y =1 +2sin q（q 为参数， 0 q0）的焦点，则 p =【答案】4_ p 【解析】把 - ,0 2 代入曲线方程即可得出，注意取舍25、（青浦 8）若实数 、y 满足条件 x +y 1x -y +1 0 ，则 x +y 的最小值为_ 2 x -y -2 0【答案】12【解析】画图，数形结合， x 2 +y 2 理解为 ( x , y )到原点的距离的平方26、（徐汇 6）若 2 +i（ i是虚数单位）是关于 x的实系数方程 x 2 +mx +n =0的一个根，则圆锥曲线x 2 y 2+ =1m n【答案】 6的焦距是- 7 -222 2 l2 -1m =-4, n =5，2
12、c =6【解析】根据题意可得27 、（徐汇 11 ）在平面直角坐标系中，设点 O(0,0)， A(3, 3)，点 P ( x , y)的坐标满足3x -y 0x - 3 y +2 0 ，则 OA 在 OP 上的投影的取值范围是 y 0【答案】【解析】-3,3A :y = 3xx - 3 y +2 =0 A(1, 3)同理， B ( -2,0), OA在OP上的投影为S =OAOPOPSmax=OA OP1OP1=3 Smin=OA OP2OP2=-328、（杨浦 10）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点 A( -a,0) ， B ( a ,0)
13、，动点 P 满足| PA | PB |=l（其中 a 和 l 是正常数，且l1），则 P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为【答案】|2 all2 -1|【解析】设 P (x, y )，由PAPB=l得 (x+a )+y2=l2(x-a)+y2， 整理得(l2-1)x2+(l2-1)y2-2a(l2+1)x+(l2-1)a2=0，l1，两边同时除以 l2 -1 得：x 2 +y 2 -2a (l2+1)x +a 2 =0 l2 -1， a (l2+1)进一步可得： x - +y l2 -1 2l2+1 = a 2-a2=4l2a 2 (l2-1)2，故 P 的轨迹是一个圆
14、，该- 8 -圆的半径为2lal2 -1二、选择题1、（宝山14）设A( a , a ), B ( b , b ), C ( c , c ) 1 2 1 2 1 2点均非原点，则“OC能表示成OA和OB的线性组合”是“方程组 a x +b y =c 1 1 1a x +b y =c 2 2 2有唯一解”的（ ）【A】充分不必要条件【B】必要不充分条件【C】充要条件【D】既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 OC 能表示成 OA 和 OB 的线性组合说明情况一：向量不共线，则a b a b1 2 2 1，情况二：可以是三者都共线，也能够表示；方程组有唯一解即是a b a b 1 2 2 1，故
15、选择B2、（宝山15）已知双曲线x 2 y 2- =1(a b 0) a 2 b2的右焦点为 F ( c,0)，直线 y =k ( x -c )与双曲线的右支有两个交点，则（ ）【A】【B】【C】【D】| k | k | k |babacaca- 9 -2C【答案】A【解析】数形结合，与右支要有两个交点，说明斜率绝对值要大于渐近线斜率，选择A3 、（崇明 15 ）已知线段AB上有动点D（D异于A、B），线段 CD AB，且满足CD =lAD BD （ l 是大于 0 且不等于 1 的常数），则点 C 的运动轨迹为（）【A】圆的一部分【B】椭圆的一部分【C】双曲线的一部分【D】抛物线的一部分 【
16、答案】BA( -1,0) B(1,0) D ( x,0)C ( x, y )【解析】令 ，建系，设 ；根据CD 2 =lAD BD，可知，y2 =l(1 +x )(1 -x ) =l-lx2，整理可得， 点运动轨迹为x2+y 2l=1，轨迹为椭圆。4、（奉贤 15）已知 ABC的周长为 12，B(0, -2)，C (0,2)，则顶点 A的轨迹方程为（ ）【A】【B】【C】【D】x 2 y 2+ =1 ( x 0) 12 16x 2 y 2+ =1 ( y 0) 12 16x 2 y 2+ =1 ( x 0) 16 12x 2 y 2+ =1 ( y 0) 16 12【答案】A【解析】由题设知A
17、B + AC =8,由椭圆的定义可知 A 的轨迹方程为x 2 y 2+ =1 ( x 0) 12 16- 10 -25 、（ 虹 口 15 ） 已 知 直 线lx -2 y +1 0 经 过 不 等 式 组 x +3 y -4 0y -2 0表 示 的 平 面 区 域 ， 且 与 圆O : x2 +y 2 =16相交于 A 、 B 两点，则当 | AB |最小时，直线l的方程为（ ）【A】 y -2 =0【B】 x -y +4 =0【C】 x +y -2 =0【D】 3x +2 y -13 =0【答案】D【解析】可行域为右图中ABC区域（含边界），AB最短意味着，弦心距最长，而圆心O到可行域内
18、的点 D以选C (3,2)的距离最长，所以所求直线 l 过点C (3,2)，且以OC 为法向量，所6、（嘉定长宁 15）已知圆(x-2)+y2 =9的圆心为 C，过点 M (2,0)且与 x轴不重合的直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，点 A 在点 M 与点 B 之间.过点 M 作直线 AC 的平行线交直线BC于点 ,则点P的轨迹是（ ）【A】圆的一部分【B】椭圆的一部分【C】双曲线的一部分【D】抛物线的一部分 【答案】C【解析】由题目条件圆以及平行易得PC =PB，得PC -PM =3 0, b 0) a2 b2的两个焦点， P 是 C 上一点，若PF +PF =6a 1 2，PF F1
19、2是PF F1 2的最小内角，且PF F =301 2，则双曲线 C 的- 11 - ，04渐近线方程是（ ）【A】【B】x 2 y =02 x y =0【C】 x 2 y =0【D】 2 x y =0【答案】B【解析】PF -PF =2a 1 2，PF +PF =6a1 2，得到PF =4a, PF =2a 1 2,在PF F1 2中，由正弦定理可得2 a 4a=sin 30 sin PF F2 1,得到PF F =902 1，所以F PF =60 1 2，再根据正弦 定 理2c 4a=sin 60 sin 90， 得 到c = 3a, b = c2-a2= 2a， 所 以 渐 近 线 方
20、程 是by = x = 2 x a，所以答案是B8、（金山 16）若实数 a, b【A】-2,0a +b -2 0 满足 b-a -1 0a 1b2 -3ab，则 的取值范围是（ ） a 2【B】9- ，+4【C】【D】 9 - , -2 4 9 【答案】D- 12 -,2 22 2 【解析】画出a , ba x可行域的区域图如下图，其中 b y可行域为 DABC，且 A (1,1)、B1 3 、 C (1,2)，则b2 -3ab a2b = -3 a b b，令a a=k ，则 k k , k =1,3OA OB在 k 1,3的范围内， 3 9 9 k 2 -3k = k - - - ,0
21、2 4 4 ，故选 D9、（闵行松江 14）过点(1,0)与双曲线x42- y =1仅有一个公共点的直线有（ ）【A】1 条【B】2 条【C】3 条【D】4 条【答案】D【解析】过点 (1,0)作平行于渐近线的直线有两条，且都与双曲线有一个公共点；过点 曲线右支相切的直线有两条，且都与双曲线有一个公共点- 13 -(1,0)作与双10、（浦东 14）点 P (2,0) 到直线 x =1 +4t y =2 +3t（t为参数，t R）的距离为 ( )【A】【B】【C】【D】354565115【答案】D【解析】直线方程3x -4 y +5 =0,点到直线的距离为d =6 -0 +5 32 +4 2=
22、115，故选 Dx +y 5011、（浦东 15）已知点P( x, y )满足约束条件：2 x +5 y 200 0 x 40，则目标函数z =x -y的最y 0小值为（ ）【A】40【B】-40【C】30【D】-30【答案】B【解析】画出线性域及目标函数，分析目标函数 为-40- 14 -y =x -z 图像 y 截距的最大值，易得答案)12、（普陀 13）若椭圆的焦点在 x轴上，焦距为2 6,且经过点(3, 2)，则该椭圆的标准方程为（ ）【A】【B】【C】【D】y 2 x 2+ =19 3x 2 y 2+ =136 12y 2 x 2+ =136 12x 2 y 2+ =19 3【参考答
23、案】D【解析】易知c =6，设x 2 y 2+a 2 a 2 -6=1,代入(3, 2 解得 a2=9 ，所以b2=3，故选 D13、（青浦 15）已知曲线 G: x =3sec qy =tan q（q 是参数），过点 P (6, 2)作直线与曲线G有且仅有一个公共点，则这样的直线l 有（ ） 【A】1 条【B】2 条- 15 -【C】3 条【D】4 条【答案】B【解析】由题意曲线G：x 29-y2=11，所以其渐近线方程为 y = x3，故点 P (6,2)在其中一条渐进线上，所以过点 P (6,2)与其中一条渐近线平行的存在一条，还有结合图像联立过点 P (6,2)的直线与双曲线，进而可解
24、的还有另一条是相切的情况，故一共有两条.14、（徐汇 15）已知直线 l : 4 x -3 y +6 =01和直线 l : x =-12，则抛物线 y 2 =4 x上一动点 P到直线 l 和直线 l 的距离之和的最小值是（ ） 1 2【A】【B】3716115【C】2【D】74【答案】C【解析】原问题可等价为PF +d FM , FM =1 14 -0 +6 4 2 +3 2=215、（杨浦 13）若 x、 yx -y 0 满足 x +y 2 y 0，则目标函数 f =x +2 y 的最大值为（ ）【A】 1【B】 2【C】 3【D】 4【答案】C- 16 -2 2 2【解析】可行域如右图，在
25、点A(1,1)处，目标函数取得最大值 316、（杨浦 14） 已知命题 a：“双曲线的方程为 x -y =a（ a 0）”和命题 b：“双曲线的两条渐近线夹角为p2”，则 a是b的（ ）【A】 充分非必要条件【B】 必要非充分条件 【C】 充要条件【D】 既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】命题 b:“双曲线的两条渐近线夹角为p2”即双曲线为等轴双曲线，也即双曲线的方程为x 2 -y2 =a2(a0)，充分性成立，必要性不成立，选 A三、解答题1、（宝山 20）已知椭圆G:x 2 y 2+ =19 b2的左右焦点为F , F ， M 1 2是椭圆上半部分的动点，连接 M 和长轴的左右两个端
26、点所得两直线交y正半轴于A，B两点（点 A 在B的上方或重合）（1）当 DM F F 面积1 2SDMF F1 2最大时，求椭圆的方程；- 17 -1 2 M1 2MB A 0,00（2）当b =2时，若B是线段OA的中点，求直线MA的方程；（3）当 b =1 时，在 x 轴上是否存在点 P 使得 PM PA 为定值，若存在，求 P 点的坐标， 若不存在，说明理由x 2 y 2【答案】（1） + =1 ；（2）2 x -3 y +6 =0 9 91；（3）存在 P ( - ,0) ，定值为3PM PA =109.2【解析】（1）SDMF F1 21 1 b 2 +c 2 a 2 = |F F
27、| y |F F | b=bc =2 2 2 2，当且仅当 b =c 时等号成立；则：b2 =c 2 =a 2 9=2 2，此时椭圆方程为：x 29y 2+ =19；（2）点 M 在 y 轴或其左侧，则图形如本题图，设M ( x , y ) 0 02，那么：lMA: y =y y0 ( x +3) ，l : y = 0 ( x -3) x +3 x -30 0，令 y =0 得：A 0,3 y -3y 0 , B 0, 0x +3 x -3 0 0；B是线段OA的中点，则：3 y -3y 0 =2 0x +3 x -3 0 0，解得：x =-10，则4 M ( -1, )3，则：l: y =M
28、A23(x +3)，即： 2 x -3 y +6 =0；（3）G:x 29+y 2 =1，设 P ( m ,0)，M ( x , y ) 0 0若同（ 2 ）点 M在 y轴左侧，则 3 y0x +30，PM =( x -m, y ), PA =( -m, 0 03 y0x +30)PM PA =-m( x -m ) +03 y 2 1 ( x +3)(3 -x ) 10 =-m( x -m ) + 0 0 =-(m + ) x +m 2 +1 x +3 3 x +3 30 0，使其与x0取值无关，则m =-1 10 ， PM PA =3 9；- 18 -2 1 21综上，故存在点 P ( - ,0) 使得 PM PA 为定值.32、（崇明 20）对于直线 l与抛物线G：x 2 =4 y，若 l