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1、32空间几何体的表面积与体积训练题1(2019深圳摸底)过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则 所得截面的面积与球的体积的比值为( )A.C.93238B.D.916316解析：选 A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为 r，则 2212r2，所以 r23， 3 9所以所得截面的面积与球的体积的比值为 ，故选 A.4 32 232如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A4C16B8D20解析：选 B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为 6，高为 2 的三角1 1形，三棱锥的高为 4，所以体积为 V 6248.故选 B.3 23.九章算术是我国
2、古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )A14 斛C36 斛B22 斛D66 斛 16解析：选 B 设米堆的底面半径为 r 尺，则 r8，所以 r ，所以米堆的体积为 V2 1 1 16 320 320 r 5 25 (立方尺)故堆放的米约有 1.6222(斛) 4 3 12 9 94(2018贵阳摸底考试)
3、某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其 三视图如图所示，则该几何体的体积为( )四边形 ABCDA35 cm3 C70 cm3B40 cm3 D75 cm3解析：选 A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、 宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm的长方体，长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm的长方体，棱 长为 1 cm 的正方体，故该组合体的体积 V55133111135(cm3)故选 A.5(2019安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A11C31B21D4解析：选 C 法一：该几何体的直观
4、图为四棱锥 S ABCD，如图，SD平面 ABCD，且 SD1，四边形 ABCD 是平行四边形，且 ABDC1，连接 BD，由题意知 BDDC，BDAB，且 BD1，所以 S 1，所以 V四边形 ABCD S ABCD1 1 S SD ，故选 C.3 31法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即3俯视图中四边形的面积，易知 S1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h1，所 1 1以 V Sh ，故选 C.3 36(2019重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )22 28 3 8 3 A 3 34 3 4 3 C 3 3
5、4 3 8 3 B 3 38 3 4 3 D 3 3解析：选 B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为 2、高为 42222 3，三棱锥的底面是斜边为 4、高为 2 的等腰直角三角1 1 1 1形，三棱锥的高为 2 3，所以该组合体的体积 V 2 2 3 422 32 3 3 24 3 8 3 ，故选 B.3 37(2019湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同， 则该几何体的表面积为( )A1612 C2412B3212 D3220解析：选 A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为 2，底面对
6、角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为 2 2，该1几何体的表面积 S 4 2 2 2 2 2412 16，故选 A.28(2019福州质检)已知正三棱柱 ABC A B C 中，底面积为1 1 16 3，则正三棱柱 ABC A B C 外接球的表面积为( )1 1 1A 4B 8C 16D 323 34，一个侧面的周长为232 2解析：选 C 如图所示，设底面边长为 a，则底面面积为3 3 3a2 ，4 4所以 a 3.又一个侧面的周长为 6 3，所以 AA 2 3.设 E，D 分别为1上、下底面的中心，连接 DE，设 DE 的中点为 O，则点 O 即为正三棱柱AB
7、C A B C 的外接球的球心，连接 OA ，A E，则 OE 3，A E 3 1 1 1 1 1 13 22 31.在直角三角形 OEA 中，OA 121 1322，即外接球的半径 R2，所以外接球的表面积 S4 R 16 ，故选 C.9(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面 积为 18，则这个球的体积为_解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3.3设该正方体外接球的半径为 R，则 2R3，R ，24 4 27 9所以这个球的体积为 R .3 3 8 29答案：210某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_解析：由题意知该四棱柱为直四棱
8、柱，其高为 1，底面为上底长为 1，下底长为 2，高为 1 的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为 V231 .23答案：2211一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的高为3_解析：设圆锥底面半径是 r，母线长为 l，所以 r rl ，即 r rl1，根据圆31 1 1 1 2 22 2 r 1 3心角公式 ，即 l3r，所以解得 r ，l ，那么高 h l2r2 2.3 l 2 2答案： 212(2017全国卷)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的 直径若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 S ABC 的体积为 9
9、，则球 O 的表面 积为_解析：如图，连接 AO，OB，SC 为球 O 的直径，点 O 为 SC 的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC，AO平面 SCB，设球 O 的半径为 R，则 OAOBR，SC2R.1V V AOS ABC A SBC SBC SCOBAO，3 2 即 9 2RR 3 2 R，解得 R3，球 O 的表面积 S4 R 4 3 36 .答案：3613.如图是一个以 A B C 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何1 1 1体，截面为 ABC，已知 A B B C 2，A B C 90，AA 4，BB 3，1
10、1 1 1 1 1 1 1 1CC 2，求：1(1) 该几何体的体积；(2) 截面 ABC 的面积解：(1)过 C 作平行于 A B C 的截面 A B C，交 AA ，BB 分别于点 A ，1 1 1 2 2 1 1 2B .2由直三棱柱性质及 A B C 90可知 B C 平面 ABB A ，则该几何体的体积1 1 1 2 2 2VA B C A B CVC ABB A1 1 1 2 2 2 2V 23 21 1 1 222 (12)226. 2 3 2(2)在ABC 中，AB 222 5，BC 222 5，AC 22 22 3.1则 2 3 ABC52 32 6.14.如图，四边形 AB
11、CD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平 面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 E ACD 的体积 三棱锥 E ACD 的侧面积63，求该解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 BEAC.因为 BDBEB，BD 平面 BED，BE 平面 BED，所以 AC平面 BED.又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC 因为 AEEC，3 x x，GBGD .2 2所以在 AEC 中，可得 EG32x.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE22x.由已知得，三棱锥 E ACD 的体积1 1V ACGDBE 三棱锥 E ACD6 6x3 ，24 3故 x2.从而可得 AEECED 6.所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E ACD 的侧面积为 32 5.