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1、第二章 点、直线及平面的投影目的要求：1）建立中心投影与平行投影的明确概念2）掌握点、线、面在第一角中各种位置的投影特性和作图方法 3）掌握直线上点的投影特性以及在平面上作点和直线的方法 4）掌握直线与直线的相对位置及其投影特性5）了解直角定理的原理及其运用 6）掌握直线与平面、平面与平面相交的作图及可见性的判断重点难点：1） 熟练的运用点、线、面在各种位置的投影规律进行作图2） 掌握和正确运用直线上的点和平面上的点和直线的投影规律3） 熟练求出直线与平面、平面与平面相交的交点、交线并完成及可见性的判断授课学时：6学时本章主要作图练习：1） 已知点的两投影，完成其第三投影，或已知点的三坐标，完
2、成其三面投影和轴测投影；2） 判断两点的相对位置和作重影点的投影，并判断重影点的可见性。3） 完成直线的三面投影及找出直线上点的投影。4） 判断两直线的位置关系，利用直线的相对位置关系完成直线的投影作图，并作出交叉直线的重影点的投影。5） 直角投影定理的应用，两直线是否垂直的判断。6） 完成平面的三投影并判断平面相对投影面的位置关系。7） 已知点或直线在平面上，而且已知其一个投影，完成其另外两投影及判断点或直线是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。 8）求直线与平面、平面与平面的交点和交线并判断可见性。授课内容：2-1 投影法基本知识一、投影法及其分类1、投影法的建立在一定投影条件下，求得空间形
3、体在投影面上的投影的方法，称为投影法。投影中心、投影面、投射线、投影 2、投影法的分类中心投影法（投射线相交于一点，投影随物体与投影中心和投影面的距离变化而改变大小，故不反映空间形体表面的真实大小和形状，但富有真实感）平行投影法（投射线相互平行，当物体平行移动时，投影的形状和大小不改变）斜投影和正投影。本课程研究平行投影且主要是正投影，以后“投影”指正投影。 图2-1 中心投影法及平行投影法二、正投影的基本性质1、实形性当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。2、积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成点或直线。3、类似性当直线或平面图形既不平行也不垂直于投影面时，直线
4、的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图形的类似形，但直线或平面图形的投影小于实长或实形。此外，正投影还有平行性（即空间平行线段的投影仍然平行）；定比性（即空间平行线段的长度比在投影中保持不变）；从属性（即几何元素的从属关系在投影中不会发生改变，如属于直线的点的投影必属于直线的投影，属于平面的点和线的投影必属于平面的投影）等性质。 图2-2 正投影的基本性质三、工程中常用的两种作图方法1、多面正投影图：采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别用正投影法获得物体的投影。它有良好的度量性，作图简便，但直观性差。由这些投影能确定几何形体的空间位置货物形状。2、轴测图：将物体连同其参考直
5、角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的具有立体感的图形。它能反映长、宽、高的形状，但作图较繁且度量性差，作辅助图样。 2-2 三面投影体系与三视图只根据物体的一个投影，是不能确定物体形状的。要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向得到的几个视图，互相补充，才能把物体表达清楚。一、三投影面体系由正立投影面V、水平投影面H和侧立投影面W三个相互垂直的投影面构成的投影面体系称为三投影面体系。正立投影面简称为正面或V面、水平投影面简称为水平面或H面、侧立投影面简称为侧面或W面。三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ，称为投影轴，简称X轴、Y轴、Z轴。 图
6、2-3 三面投影体系二、三视图的形成将物体放在三投影面体系中，用正投影法，分别向三个投影面投影可得到物体的三视图。国标规定的视图名称是：主视图由前向后投影，在正面上所得的视图；俯视图由上向下投影，在水平面上所得的视图；左视图由左向右投影，在侧面上所得的视图。三、三视图的投影规律 1、三视图的位置关系 三视图的位置关系为：主视图在上，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。按照这种位置配置视图时，国家标准规定一律不加任何标注。 2、投影对应关系及其投影规律每个视图只能反映物体长、宽、高中的两个方向的大小：主视图反映物体的长（x）和高（z）；俯视图反映物体的长（x）和宽（y）；左视图反映物
7、体的宽（y）和高（z）。 从物体的投影和投影面的展开过程中，还可看到： 主、左视图反映了物体上、下方向的同样高度（等高）；物体上各个面和各条线在主、左视图上的投影，应在高度方向上分别平齐。简称“高平齐”；主、俯视图反映了物体左、右方向的同样长度（等长）；物体上各个面和各条线在主、俯视图上的投影，应在长度方向分别对正。简称“长对正”；俯、左视图反映了物体前、后方向的同样宽度（等宽）；物体上各个面和各条线在俯、左视图上的投影，应在宽度方向上相等。简称“宽相等”。上述三条投影规律，尤其是最后一条，必须在初步理解的基础上，经过画图和看图的反复实践，逐步达到熟练和融会贯通的程度。 3、物体的方位关系主视
8、图反映了物体上下、左右的方位关系；俯视图反映了物体左右、前后的方位关系；左视图反映了物体上下、前后的方位关系。初学者应特别注意对照直观图和平面图，熟悉展开和还原过程，以便在平面图上准确判断物体不同的方位关系，尤其是前后方位。 图2-4 三视图的形成及其投影规律2-3 点的投影一、点的三面投影及投影规律点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有惟一的投影。但已知点的一个投影，不能惟一确定点的空间位置。将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影a、侧面投影a。（关于空间点及其投影的标记规定为：空间点用大写字母A、B、C表示，水平投影相应用a、b
9、、c表示，正面投影相应用a、b、c表示，侧面投影相应用a、b、c表示。） 图2-5 点的投影及其投影规律将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图。由图2-5可以得出点在三投影面体系的投影规律是：（1）点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即aaOX；（长对正）（2）点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即aaOZ；（高平齐）（3）点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离，即aax= aaz（宽相等），可以用圆弧或45线来反映该关系。二、点的三面投影与其直角坐标的关系水平投影由X与Y坐标确定；正面投影由X与Z坐标确定；侧面投影由Y与Z
10、坐标确定。点的任何两个投影可反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。三、点的轴测投影点的轴测投影图即根据点的投影图绘制的直观图。可以把投影面当作坐标面，把投影轴当作坐标轴，这时O点即为坐标原点。规定X轴从O点向左为正，Y轴从O点向前为正，Z轴从O点向上为正。X（Y，Z）坐标用A点到W（V，H）面的距离表示。四、两点的相对位置在投影图上判断空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上下、左右和前后的关系。由正面投影或侧面投影判断上下关系（Z坐标差）；由正面投影或水平投影判断左右关系（X坐标差）；由水平投影或侧面投影判断前后关系（Y坐标差）。 图2-6 两点
11、的相对位置五、重影点及其投影的可见性当空间两点位于某一投影面的同上条投射线（即其有两对坐标值分别相等），则此两点在该投影面上的投影重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。为区分重影点的可见性，规定观察方向与投影面的投射方向一致，即对V面由前向后，对H面由上向下，对W面由左向右。因此，距观察者近之点的投影为可见，反之为不可见。当空间两点有两对坐标值分别相等时，则该两点必有重合投影，其可见性由重影点的一对不等的坐标值来确定，坐标值大者为可见，小者为不可见。 图2-7 重影点2-4 直线的投影一、直线的投影图作直线投影图，只需作出直线上任意两点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影即可。三面投影
12、面体系中，空间形体距投影面的远近不影响投影的形状大小，所以不画投影图。空间直线在某一投影面上的投影长度，与直线对该投影面的倾角大小有关。二、各种位置直线的投影特性按照直线对三投影面的相对位置，可以将直线分为三种：一般位置直线与三投影面都倾斜的直线；投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另两投影面的直线；投影面垂直线垂直于一个投影面，平行于另两投影面的直线。投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。1、一般位置直线一般位置直线的投影特性如下（图2-15）：（1）三面投影都倾斜于投影轴；（2）投影长度均比实长短，且不能反映与投影面倾角的真实大小。2、投影面平行线投影面平行线又可分为三种：（1）平
13、行于V面的直线称为正平线；（2）平行于H面的直线称为水平线；（3）平行于W面的直线称为侧平线。投影特性：在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，不反映实长；在它所平行的投影面上的投影反映实长，其与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两投影面的真实倾角。3、投影面垂直线投影面垂直线同样可以分为三种：（1）垂直于正面的直线称为正垂线；（2）垂直于水平面的直线称为铅垂线；（3）垂直于侧面的直线称为侧垂线。投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，反映实长。三、直线上的点点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线的两线段长度之比等
14、于其投影长度之比；反之亦然。 四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。1） 两直线平行：其同面投影必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。注意：当直线为某投影面平行线时，应检查在该投影面上的投影是否平行。2） 两直线相交：其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。3） 两直线交叉：异面两直线。注意：当交叉直线的投影的交点为重影点时，应判别其可见性。图2-7 直线位置关系的判断举例：见图2-7，判断所示两直线位置关系，可以有三种方法：1）定比性；2）补投影；3）将AD与BC相连，判断其是否相交，进而判断AB与CD是否平行。五、直角的投影直角投影定理空间垂直的
15、两直线（相交或交叉），若其中的一直线平行于某投影面时，则二直线在该投影面上的投影仍为直角。反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。 图2-8 直角投影定理 应用直角投影定理可以解决空间成直角的情况在投影图上的作图，例如求距离、直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题。图2-9就是一个求距离的例子。 图2-9 求两交叉直线间的距离2-5 平面的投影一、平面的表示法由几何学可知，平面可由下列几何元素确定：不在同一条直线上的三点；一直线及直线外一点；两相交直线；两平行直线；任意的平面图形。 二、各种位置平面的投影特性平面
16、对投影面的位置有三种：一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面；投影面垂直面垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面；投影面平行面平行于一个投影面，垂直于另两个投影面的平面。1、一般位置平面 倾斜于V、H、W面，是一般位置平面。一般位置的平面的投影特性：它的三个投影仍是平面图形，而且面积缩小，平面与三个投影面的倾角也不能在投影上反映出来。 图2-10 一般位置平面的投影 2、投影面垂直面投影面垂直面可分为三种：（1）垂直于V面的平面称为正垂面；（2）垂直于H面的平面称为铅垂面；（3）垂直于W面的平面称为侧垂面。投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，此投影与相应投影轴的夹角分别反映该
17、平面与另两个投影面的倾角；该平面在另两个投影面上的投影均为类似性。判定：若平面的三个投影中有一个投影是斜直线，则它一定是该投影面的垂直面。 3、投影面平行面 投影面平行面又可分为三种：（1）平行于V面的平面称为正平面；（2）平行于H面的平面称为水平面；（3）平行于W面的平面称为侧平面。投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形，其它两个投影都积聚成直线且平行于相应的投影轴。判定：若平面的三个投影中有一个投影积聚成直线，并与该投影面的投影轴平行或垂直，则它一定是某个投影面的平行面。小结： 平面垂直于投影面时，它的投影积聚成一条直线积聚性。平面平行于投影面时，它的投影反映实形实形性（真实性）平面倾
18、斜于投影面时，它的投影为类似图形类似性平面图形的三个投影中，至少有一个投影是封闭线框。反之，投影图上的一个封闭线框一般表示空间的一个面的投影。三、平面内的点和直线1） 平面内的直线 直线在平面内的几何条件：若一直线通过平面上的两点或通过平面内的一点，并且平行于平面上的另一直线，则此直线必在该平面内。2） 平面内的点点在平面内的几何条件；若点位于平面内任一直线上，则此点在该平面内。即平面内取点，必先在平面内作辅助线，然后在该直线上取点。 图2-11 平面上的点和直线四、直线与平面、平面与平面平行直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内的任一直线。平面与平面平行的几何条件是：一平面内的两相交直
19、线平行于另一平面内的两相交直线。 图2-12 直线与平面 平面与平面平行五、直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面的相对位置，凡不符合平行几何条件的，则必然相交。在此只讨论平面处于与投影面垂直的特殊位置，即平面的投影具有积聚性的情况。1、直线与平面相交直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点，当需判断直线投影的可见性时，交点又是直线各投影可见与不可见的分界点。 图2-13 一般位置直线与特殊位置平面相交（2）平面与平面相交两平面相交的交线是两平面的共有线，当需要判断平面投影的可见性时，交线又是平面 图2-14 投影面垂直面与一般位置平面相交各投影可见与不可见的分界线。两平面的交线是直
20、线，只要求出两个共有点，交线就可以确定了。可以利用求投影面垂直面与一般位置直线的交点的方法来求交线。 图2-15 两铅垂面相交当两铅垂面相交时，交线MN是铅垂线。两铅垂面的H面积聚投影的交点就是交线MN的水平投影。由此可求出交线MN的正面投影，并由水平投影直接判断出可见性。六、直线与平面、平面与平面垂直 1、直线与平面垂直 由几何学可知：一直线若垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于该平面上的所有直线。在此只讨论平面是投影面垂直面的特殊情况。当直线垂直于投影面垂直面时，该直线必平行于平面所垂直的投影面。图中直线AB垂直于铅垂面CDEF，AB必定是水平线，且abcdef。
21、 同理，与正垂面垂直的直线是正平线，它们的正面投影相互垂直；与侧垂面垂直的直线是侧平线，而且它们的侧面投影互相垂直。 图2-16 直线与铅垂面垂直2、平面与平面垂直两平面相互垂直的几何条件是：若一直线垂直于平面，则包含这条直线所作的任何平面均与已知平面垂直。直线ABP，则包含AB所作的平面Q、R均与P面垂直。反之，若两平面垂直，则由一个平面内任一点作另一平面的垂线，该垂线必然属于前一平面。 特殊情况，当两个互相垂直的平面垂直于同一投影面时，两平面有积聚性的同面投影必定垂直，交线是该投影面的垂直线。 如图2-17所示，两铅垂面ABCD、CDEF互相垂直，它们的H面具有积聚性的投影互相垂直相交，交点是两平面的交线铅垂线的积聚投影。 图2-17 两铅垂面相互垂直