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1、12.2组合第1课时组合与组合数公式【课标要求】1理解组合与组合数的概念2会推导组合数公式，并会应用公式求值3了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明【核心扫描】1组合的概念及组合与组合数的区别(易错点)2组合数公式的推导(难点)3组合数公式的应用(重点)自学导引1组合一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合想一想：组合与排列有什么异同点？提示组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”2组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素
2、的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.表示法C组合数公式乘积形式C阶乘形式C性质C_C_；CC_C_备注n，mN*且mn规定C1试一试：试求CCC的值提示CCCCCC120.名师点睛1对组合定义的理解(1)组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”“合成一组”表示与元素的顺序无关(2)如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，如ab与ba是两个不同的排列，但它们是同一个组合；如果两个组合中的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合(3)组合与排列问题的共同点都是“从n个不同元素中任取出m个元素”；不同点：前者与元素的顺序
3、无关，为“将取出的元素合成一组”，后者是“将取出的元素按照一定顺序排成一列”2组合数公式两种形式的适用范围形式主要适用范围乘积形式计算具体含数字的组合数的值阶乘形式含字母的组合数的有关变形及证明3.对等式CC的理解从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数即CC.4对等式CCC的理解在确定从n1个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m1)个元素，所
4、以共有C种，如果不取这一元素，则需从剩下n个元素中取出m个元素，所以共有C种由分类加法计数原理得CCC.题型一组合概念的理解【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？思路探索 解答本题主要是分清取出的这m个元素是进行排列还是组合，即确定与顺序有关还是无关解(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别
5、，组合数为C45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A720.规律方法排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题【变式1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组
6、合数或排列数表示出来(1)若已知集合1,2,3,4,5,6,7，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C个(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A个电子邮件(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C种票价题型二组合数公式的应用【例2】 (1)计算：CCC；(2)求值：C
7、C；(3)解方程：CC.思路探索 利用组合数公式及其性质求解解(1)CCCCCCC5 050；(2)由组合数定义知：4n5，又nN*，n4或5.当n4时，CCCC5；当n5时，CCCC16.(3)由原方程及组合数性质可知3n64n2，或3n618(4n2)，n2，或n8，而当n8时，3n63018，不符合组合数定义，故舍去因此n2.规律方法(1)公式C，一般用于求值计算；(2)公式C(m，nN*，且mn)，一般用于化简证明在具体选择公式时要根据题目特点正确选择(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质CC，CCC，能起到简化运算的作用，需熟练掌握【变式2】 (1)计算：CC；(2)求CC的值；
8、(3)证明：CC.(1)解CCCC2004 9502005 150.(2)解由组合数定义知：即n，nN*，n10，CCCCCC31466.(3)证明CC.题型三组合的简单应用【例3】 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？审题指导 先把实际问题化归为组合问题，再利用组合数公式计算规范解答 (1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是CC56.(4分)(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种
9、取法；第二步，把1个红球取出，有C种取法故不同取法的种数是：CCCC35.(8分)(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C57C2721.(12分)【题后反思】 基本组合问题的解法：(1)判断是否为组合问题；(2)是否分类或分步；(3)根据组合相关知识进行求解【变式3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从1
10、0个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45(种)(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C种方法；第二类，选出的2名是女教师有C种方法根据分类加法原理，共有CC15621种不同选法(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有选法CC90(种)误区警示重复计算出错【示例】 从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多少种？错解 先保证各1台，再从剩下的电视机中任取一台，即分三步：第一步，从甲型电视机中取一台，有C种取法；第二步，从乙型电视机中取一台，有C种取法；第三步，从
11、剩下的七台电视机中取一台，有C种取法，根据分步乘法计数原理共有CCC140种取法 设甲型电视机中有a、b两台电视机，乙型电视机中有A、B两台电视机，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a，再选A，再选b”，另外一种取法是“先选b，再选A，再选a”而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复，究其原因是本题使用的是分步乘法计数原理而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关本题中无论是取两台甲型电视机还是乙型电视机，对于这两台电视机而言，没有先后顺序的差别，即与顺序无关，是组合问题正解根据结果分类：第一类，两台甲型机，有CC30；第二类，两台乙型机，有CC40.根据分类加法计数原理，共有CCCC70. 区分排列、组合问题的关键点：排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关